도플러 효과 공식: 부호 선택과 소리 문제 풀이 예제

경적은 일정한 주파수로 소리를 냅니다. 그런데 경적을 울리는 차가 다가올 때는 더 높은 음으로, 지나간 뒤에는 더 낮은 음으로 들립니다. 경적의 조율이 바뀐 것은 아닙니다. 움직임에 따라 파면이 귀에 도착하는 빈도가 달라진 것입니다. 도플러 효과 공식은 그 변화를 수치로 나타내지만, 분자와 분모의 부호를 암기만 하면 쉽게 뒤바꾸게 됩니다.

여기서는 정지한 공기 중을 전파하는 소리와 음원, 관측자가 둘 사이의 직선을 따라 움직이는 경우를 다룹니다. 먼저 표로 부호 선택을 분명히 한 다음, 같은 방출음을 두 번 계산합니다. 첫 번째는 음원을 움직이고 두 번째는 관측자를 같은 속력으로 움직입니다. 마지막에는 둘 다 움직입니다. 소리에는 매질이 있으므로 앞의 두 경우는 비슷해도 수학적으로 완전히 같지는 않습니다.

음원, 관측자, 매질부터 정하세요

방출 주파수를 $f_s$, 관측자가 듣는 주파수를 $f_o$라고 하겠습니다. $v$는 공기에 대한 소리의 속력, $v_s$는 공기에 대한 음원의 속력, $v_o$는 공기에 대한 관측자의 속력입니다. 세 속력의 단위는 모두 같아야 하며 보통 m/s를 씁니다. 예제의 $v=340\ \mathrm{m/s}$는 문제에서 정한 값이지, 모든 공기 조건에 적용되는 보편적인 음속이 아닙니다.

음원과 관측자를 구별해야 하는 데는 물리적인 이유가 있습니다. 움직이는 음원은 다음 파동의 마루를 새로운 위치에서 내보냅니다. 앞쪽의 마루 간격이 좁아져 공기 중 파장이 짧아집니다. 움직이는 관측자는 이 파장을 바꾸지 않고 이미 지나가는 마루를 더 자주 또는 덜 자주 만납니다. OpenStax는 두 경우를 유도합니다.

값을 대입하기 전에 음원에서 관측자를 향해 화살표를 하나 그리세요. 각 물체가 그 화살표를 따라 어느 쪽으로 움직이는지 표시하세요. 시야를 가로질러 이동하는 차의 전체 속력을 이 1차원 공식에 그대로 넣을 수는 없습니다. 비스듬한 경로에서는 그 순간 시선 방향의 속도 성분이 중요합니다. 입문 문제라면 수업에서 정한 기하적 조건과 부호 관례를 따르세요.

소리의 공식과 부호 선택 표

정지한 공기 중에서 한 직선을 따라 움직일 때 공식은 다음과 같습니다.

$$f_o=f_s\frac{v\pm v_o}{v\mp v_s}.$$

쌍으로 적힌 부호는 간단히 쓰기 위한 표기이지 위쪽 부호 둘을 한꺼번에 고르라는 뜻이 아닙니다. 분자는 관측자의 움직임, 분모는 음원의 움직임을 보고 각각 따로 정합니다.

움직이지 않는 물체의 속력은 0으로 두세요. 두 물체가 서로 다가가면 두 선택 모두 결과를 높입니다: $f_o=f_s(v+v_o)/(v-v_s)$. 서로 멀어지면 둘 다 결과를 낮춥니다: $f_o=f_s(v-v_o)/(v+v_s)$. 물체가 관측자를 지나면 방향이 바뀔 수 있으므로, 지난 뒤에도 다가오는 경우의 부호를 쓰면 안 됩니다.

간단한 극한 검산으로 심한 부호 오류를 잡을 수 있습니다. $v_s=v_o=0$으로 놓으면 반드시 $f_o=f_s$가 나와야 합니다. 다가오면 방출 주파수보다 높고, 멀어지면 보다 낮아야 합니다. 답이 둘 중 하나라도 어긋나면 계산보다 먼저 그림을 다시 보세요. 이동 속력이 느릴 때 변화량은 크지 않습니다. 10배 차이가 난다면 단위를 섞었거나 분모의 부호를 잘못 넣었을 가능성이 큽니다.

예제 1: 음원이 정지한 관측자에게 다가갈 때

경적이 $f_s=680\ \mathrm{Hz}$로 울립니다. 차가 경적을 싣고 $v_s=34\ \mathrm{m/s}$로 정지한 관측자에게 다가갑니다. $v=340\ \mathrm{m/s}$를 사용합니다. 관측자는 정지해 있으므로 $v_o=0$입니다. 음원이 다가가므로 분모에서 그 속력을 뺍니다.

$$f_o=680\frac{340}{340-34} =680\frac{340}{306} =755.6\ \mathrm{Hz}.$$

방출음보다 약 $75.6\ \mathrm{Hz}$ 높습니다. 계수를 확인하면 $340/306=1.111\ldots$로 1보다 큽니다. 다가오는 음원에 맞는 결과입니다. 속력의 단위는 약분되고 헤르츠만 남습니다. 이 값은 단순한 등속 운동 상황의 이상적인 순간 주파수이지 소리 크기에 대한 예측은 아닙니다.

같은 차가 관측자를 지나 같은 속력으로 멀어진다면 어떨까요? 분모의 부호만 바뀝니다.

$$f_o=680\frac{340}{340+34} =618.2\ \mathrm{Hz}.$$

접근할 때와 멀어질 때의 주파수는 $680\ \mathrm{Hz}$를 기준으로 위아래 같은 거리만큼 떨어져 있지 않습니다. 분모가 각각 $306$과 $374$이므로 변화량이 대칭인 역수 관계가 아닙니다. 접근할 때의 증가량을 방출 주파수에서 그냥 빼서 후퇴할 때의 음을 추측하지 마세요.

파장으로도 수치를 확인할 수 있습니다. 마루를 방출하는 주기는 $1/680\ \mathrm{s}$입니다. 이 시간에 음원은 $34/680=0.050\ \mathrm{m}$ 앞으로 이동하고, 파면은 공기 중에서 $340/680=0.500\ \mathrm{m}$ 이동합니다. 움직이는 음원 앞에서 연속된 마루의 간격은 $0.500-0.050=0.450\ \mathrm{m}$입니다. 정지한 관측자가 받는 주파수는 $340/0.450=755.6\ \mathrm{Hz}$로, 다른 방법으로도 같은 답을 얻습니다.

예제 2: 이번에는 관측자를 움직일 때

경적을 공기 중에 정지시키고 계속 $680\ \mathrm{Hz}$로 울리게 합니다. 이제 관측자가 $v_o=34\ \mathrm{m/s}$로 경적에 다가갑니다. 공기 중 파장은 $v/f_s=340/680=0.500\ \mathrm{m}$로 유지됩니다. 관측자는 $340+34=374\ \mathrm{m/s}$의 상대 속력으로 마루를 만납니다.

$$f_o=680\frac{340+34}{340} =748.0\ \mathrm{Hz}.$$

$748.0\ \mathrm{Hz}$를 예제 1의 $755.6\ \mathrm{Hz}$와 비교해 보세요. 둘 다 $680\ \mathrm{Hz}$보다 높지만, 이 속력에서는 음원이 움직일 때 변화가 조금 더 큽니다. 두 경우를 하나의 일반적인 “상대 속력”으로 처리하면 매질 속 소리에서 생기는 이 차이가 가려집니다. 음원은 파장을 바꾸고, 관측자는 파면을 만나는 빈도를 바꿉니다.

관측자가 반대로 멀어진다면 분자에 $v-v_o$를 씁니다: $680(340-34)/340=612.0\ \mathrm{Hz}$. 이는 음원이 멀어질 때 얻은 $618.2\ \mathrm{Hz}$보다 낮습니다. 같은 속력의 비교는 지나간 뒤에도 성립합니다.

이 표는 이 글에서 직접 계산한 비교 검산표입니다. 각 열은 방출음의 주파수, 음속, 움직이는 물체의 속력이 같고 어느 물체가 움직이는지만 다릅니다. 도플러 효과 문제를 푼 뒤 스스로 점검할 때 유용합니다.

예제 3: 두 물체가 서로 다가갈 때

같은 $680\ \mathrm{Hz}$ 경적과 $340\ \mathrm{m/s}$ 음속을 사용합니다. 이번에는 음원이 $20\ \mathrm{m/s}$로 관측자에게 다가가고, 관측자는 $10\ \mathrm{m/s}$로 음원에게 다가갑니다. 두 움직임 모두 관측 주파수를 높여야 합니다. 관측자의 속력은 분자에 더하고 음원의 속력은 분모에서 뺍니다.

$$f_o=680\frac{340+10}{340-20} =680\frac{350}{320} =743.75\ \mathrm{Hz}.$$

계수 $350/320=1.09375$는 1보다 큽니다. 한 번 더 확인해 보겠습니다. 관측자의 움직임을 없애면 $680(340/320)=722.5\ \mathrm{Hz}$입니다. 관측자가 다가오게 하면 그림에서 예상한 대로 $743.75\ \mathrm{Hz}$까지 올라갑니다. 음원은 계속 다가오지만 관측자가 $10\ \mathrm{m/s}$로 멀어진다면 두 효과가 경쟁해 $680(330/320)=701.25\ \mathrm{Hz}$가 됩니다. 상황 전체를 그냥 “다가간다”로 묶지 말고 두 부호를 따로 고르세요.

결과를 올바르게 해석하기 위한 적용 범위

이 예제들은 고전적인 소리를 다룹니다. 속력은 지정된 매질, 여기서는 정지한 공기를 기준으로 하며, 직선 운동 공식에는 소리가 전파되는 방향의 운동을 넣습니다. 바람이 불면 공기에 대한 속도가 달라지고, 옆으로 비스듬히 움직일 때는 속도 성분이 필요합니다. 음원의 속력은 음속보다 낮게 유지합니다. 다가오는 음원의 속력이 $v_s=v$에 가까워지면 분모가 0에 가까워집니다. 이는 이 공식에 쓰인, 분리된 파면이 퍼져 나가는 모형이 성립하지 않는다는 신호이지 관측자가 무한대의 주파수를 듣는다는 뜻이 아닙니다. 음속 폭음과 충격파에는 다른 모형이 필요합니다.

빛에도 도플러 효과가 나타나지만, 빛은 공기 같은 매질 없이 진공에서 전파됩니다. 소리 공식에 빛의 속력을 넣고 가상의 정지 공기를 기준으로 음원과 관측자의 속력을 따로 적용하지 마세요. OpenStax의 빛에 관한 단원은 상대 운동을 이용한 상대론적 관계식을 제시합니다. 다가갈 때 주파수가 올라간다는 물리적 생각은 이어지지만 계산법은 달라집니다.

새로운 소리 문제를 풀 때는 단위를 붙여 $f_s$, $v$, $v_s$, $v_o$를 적고 운동을 간단히 그린 다음 부호 표를 쓰세요. 접근 또는 후퇴와 속력이 0일 때의 극한으로 답을 확인하세요. 움직이는 물체의 방향 설정이 어렵다면 운동학 가이드에서 속도의 부호를 일관되게 다루는 방법을 확인할 수 있습니다. Physics Zen의 파동과 소리 주제에서는 새로운 값으로 도플러 효과 문제를 풀고 즉시 채점과 풀이 과정을 볼 수 있습니다. 부호 한 줄을 외우는 것보다 분명한 그림 하나와 두 가지 검산이 더 도움이 됩니다.