단진동을 직관적으로 이해하기: 진동이 반복되는 이유

용수철에 연결된 물체를 평형 위치에서 당겨 놓아 보세요. 용수철이 물체를 되당기지만 물체는 가운데에서 멈추지 않습니다. 속력을 가진 채 도착해 중앙을 지나 용수철을 압축하고 다시 밀려납니다.

이렇게 반복되는 교환이 단진동입니다. 사인과 코사인 식으로 설명할 수 있지만 출발점은 식이 아닙니다. 물체를 언제나 원래 자리로 되돌리려 하고, 그 자리에서 멀수록 그 거리에 정비례해 커지는 힘이 핵심입니다.

평형 위치는 운동의 중심입니다

평형 위치는 합력이 0인 곳입니다. 이상적인 수평 용수철에서는 이 위치를 $x = 0$으로 정합니다. 오른쪽으로 늘리면 양의 변위, 왼쪽으로 압축하면 음의 변위입니다.

훅 법칙은 다음과 같습니다.

$$F = -kx$$

용수철 상수 $k$는 용수철이 얼마나 단단한지를 나타냅니다. 마이너스 부호는 힘이 변위의 반대 방향임을 뜻합니다. 물체가 평형 위치의 오른쪽에 있으면 힘은 왼쪽, 왼쪽에 있으면 힘은 오른쪽을 향합니다.

뉴턴의 제2법칙을 적용하면,

$$a = -\frac{k}{m}x$$

이 관계가 운동 형태를 정의합니다. 가속도는 변위에 비례하면서 평형 위치를 향합니다. 뉴턴 운동 법칙 가이드에서 힘을 다루는 틀을 살펴봤습니다. 단진동은 그 틀에서 복원력이 변위에 선형으로 비례할 때 예측되는 운동입니다.

OpenStax University Physics는 훅 법칙에서 같은 관계를 유도하고 질량-용수철 계의 주기를 구합니다. 이 유도가 중요한 이유는 이상적인 모형이 어디에서 시작하는지 정확히 보여 주기 때문입니다.

모든 반복 운동이 단진동은 아닙니다. 튀어 오르는 공의 운동은 반복되지만 가속도는 중앙의 평형 위치로부터의 변위에 비례하지 않습니다. 실제 진동자도 복원력이 비선형이 되거나 감쇠가 강하면 단진동에서 벗어날 수 있습니다.

물체가 중심을 지나치는 이유

오른쪽 끝점의 변위는 $+A$입니다. 여기서 $A$는 진폭입니다. 용수철 힘과 가속도는 왼쪽을 향하고 물체는 그 순간 정지합니다.

중심으로 이동하는 동안 물체는 빨라집니다. 평형 위치에서 용수철 힘과 가속도는 0이지만 속력은 가장 큽니다. 한 순간 힘이 0이라고 속도도 0인 것은 아닙니다. 물체에는 관성이 있어 중심을 지나갑니다.

중심을 지나면 변위가 음수가 됩니다. 이제 복원력은 오른쪽을 향해 물체를 느리게 하고 물체는 $-A$에서 멈춥니다. 그 후 과정이 반대로 반복됩니다.

이를 다음처럼 정리할 수 있습니다.

• $x = \pm A$에서는 속력이 0이고 가속도의 크기가 가장 큽니다.
• $x = 0$에서는 속력이 가장 크고 가속도가 0입니다.
• 그 사이에서는 변위, 속도, 가속도가 모두 연속적으로 변합니다.

가속도가 언제나 속도의 반대 방향인 것은 아닙니다. 물체가 평형 위치로 향할 때 둘은 같은 방향이므로 속력이 커집니다. 평형 위치를 지난 후에는 서로 반대여서 속력이 줄어듭니다.

코사인 식은 한 주기의 시계입니다

진동자가 양의 최대 변위에서 정지한 채 출발한다면 위치는 다음과 같습니다.

$$x(t) = A\cos(\omega t)$$

각진동수 $\omega$는 한 주기 안에서 상태가 얼마나 빠르게 변하는지를 나타냅니다. 더 일반적인 시작 조건에는 위상 상수가 필요합니다.

$$x(t) = A\cos(\omega t + \phi)$$

위상 $\phi$는 시계를 0으로 맞춘 순간 진동자가 주기의 어디에 있었는지 정합니다. 진폭이나 반복 속도는 바꾸지 않습니다.

위치 식을 미분하면 속도와 가속도를 얻습니다.

$$v(t) = -A\omega\sin(\omega t + \phi)$$ $$a(t) = -A\omega^2\cos(\omega t + \phi) = -\omega^2x(t)$$

마지막 등식은 정의로 돌아옵니다. 가속도는 변위에 비례하고 반대쪽을 향합니다.

최대 크기는 곧바로 구할 수 있습니다.

$$v_{\max} = A\omega$$ $$a_{\max} = A\omega^2$$

위치, 속도, 가속도는 세 가지 다른 운동이 아닙니다. 서로 위상이 다른 같은 주기의 세 가지 모습입니다.

주기, 진동수, 각진동수

주기 $T$는 한 번 완전히 진동하는 데 걸리는 시간입니다. 진동수 $f$는 1초당 진동 횟수입니다.

$$f = \frac{1}{T}$$

각진동수는 같은 비율을 초당 라디안으로 나타냅니다.

$$\omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T}$$

이상적인 질량-용수철 진동자에서는,

$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$$

따라서,

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$$

질량이 크면 진동이 느려지고 용수철이 단단하면 빨라집니다. 이상적인 모형의 주기 식에는 진폭이 없습니다. 더 멀리 당기면 힘은 커지지만 물체가 이동할 거리도 길어집니다. 두 효과가 균형을 이루어 한 주기에 걸리는 시간은 같습니다.

용수철 풀이 예제

이상적인 용수철에 질량 $0.50\ \mathrm{kg}$의 물체를 연결하고 $k = 200\ \mathrm{N/m}$라고 합시다. 마찰이 없는 표면 위에서 물체를 평형 위치로부터 $0.080\ \mathrm{m}$만큼 당긴 뒤 정지 상태에서 놓습니다.

먼저 각진동수를 구합니다.

$$\omega = \sqrt{\frac{200}{0.50}} = 20\ \mathrm{rad/s}$$

주기는 다음과 같습니다.

$$T = \frac{2\pi}{20} \approx 0.314\ \mathrm{s}$$

양의 최대 변위에서 놓으므로 $\phi = 0$이며,

$$x(t) = 0.080\cos(20t)\ \mathrm{m}$$

최대 속력은,

$$v_{\max} = A\omega = 0.080(20) = 1.6\ \mathrm{m/s}$$

최대 가속도의 크기는,

$$a_{\max} = A\omega^2 = 0.080(20)^2 = 32\ \mathrm{m/s^2}$$

두 최대값이 나오는 위치는 다릅니다. 속력은 평형 위치에서 1.6 m/s이고 가속도의 크기는 끝점에서 32 m/s²입니다.

에너지로 시간을 구하지 않고 같은 운동 설명하기

이상적인 진동자는 용수철 퍼텐셜 에너지와 운동 에너지를 계속 바꿉니다.

$$U = \frac{1}{2}kx^2$$ $$K = \frac{1}{2}mv^2$$

양 끝점에서 물체는 정지하므로 역학적 에너지가 모두 용수철 퍼텐셜 에너지입니다. 평형 위치에서는 이를 기준으로 한 용수철 퍼텐셜 에너지가 0이고 운동 에너지는 가장 큽니다. 전체 에너지는 다음과 같이 유지됩니다.

$$E = \frac{1}{2}kA^2$$

앞의 예제에서는,

$$E = \frac{1}{2}(200)(0.080)^2 = 0.64\ \mathrm{J}$$

임의의 위치에서 에너지 보존으로 시간을 풀지 않고 속력을 구할 수 있습니다.

$$\frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}kA^2$$

일과 에너지 가이드와 연결되는 부분입니다. 시간과 위상이 중요하면 사인파 식을, 특정 위치에서의 속력이 중요하고 언제 도착하는지는 묻지 않는다면 에너지를 사용하세요.

단진자는 작은 각도 모형에서만 단진동입니다

단진자에는 중력의 복원 성분이 작용합니다. 정확한 각도에 관한 식에는 $\sin\theta$가 들어가므로 정확히 선형은 아닙니다. 각도가 작고 라디안으로 측정하면 $\sin\theta \approx \theta$여서 운동이 단진동에 가깝습니다.

작은 각도에서의 주기는,

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$$

질량은 식에 들어가지 않습니다. 이상적인 작은 각도 모형에서는 같은 길이와 같은 장소의 진자라면 무거운 추가 가벼운 추와 같은 주기를 가집니다. 길어지면 주기가 늘고 중력이 강해지면 줄어듭니다.

$L = 0.90\ \mathrm{m}$, $g = 9.81\ \mathrm{m/s^2}$일 때,

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{0.90}{9.81}} \approx 1.90\ \mathrm{s}$$

진폭이 커지면 작은 각도 근사가 나빠지고 실제 주기는 이 식의 예측보다 길어집니다. 모든 진자 운동을 정확한 단진동으로 취급하지 말고 근사라는 점을 밝혀 주세요.

실제 진동자는 에너지를 잃습니다

이상적인 단진동은 계에서 에너지가 빠져나가지 않으므로 영원히 계속됩니다. 실제 진동자에는 마찰, 공기 저항, 내부 손실이 있습니다. 시간이 흐르며 진폭이 작아지는 현상이 감쇠입니다.

주기적으로 작용하는 외력이 잃은 에너지를 보충하고 진동자를 구동할 수 있습니다. 외력의 진동수가 계의 고유 진동수에 가까우면 반응이 커질 수 있습니다. 이것이 공명입니다. 감쇠는 증가를 제한하고 반응이 얼마나 뾰족한지도 바꿉니다.

진동수의 다른 응용으로는 도플러 효과 공식 가이드에서 움직이는 음원과 관측자가 듣는 소리를 비교합니다.

이 효과들은 기본 모형을 없애는 것이 아니라 확장합니다. 먼저 평형 위치, 복원력, 고유 진동수, 에너지 교환을 확인하세요. 문제에 감쇠나 외력이 있다면 그다음에 추가합니다.

믿고 따를 수 있는 문제 풀이 순서

평형 위치와 양의 방향을 먼저 정하세요. 변위는 용수철의 자연 길이에서 무조건 재는 것이 아니라 평형 위치에서 재야 합니다. 수직 용수철에서는 중력 때문에 평형 위치가 옮겨집니다. 그 옮겨진 위치를 중심으로 하는 진동도 이상적인 모형에서는 같은 질량-용수철 주기를 따릅니다.

다음으로 문제가 무엇을 묻는지 판단하세요. 반복 속도를 묻는다면 주기 관계식을 쓰고 특정 시간의 위치를 묻는다면 처음 조건에 맞는 위상을 고르세요. 특정 위치에서의 속력을 묻는다면 에너지가 더 간단한 경우가 많습니다.

마지막으로 운동의 물리적 형태를 점검하세요. 가속도는 평형 위치를 향해야 합니다. 속력은 끝점에서 0이고 중앙에서 가장 커야 합니다. 용수철이 단단할수록 주기는 짧아지고 질량이 클수록 길어져야 합니다.

Physics Zen의 단진동 주제에서 용수철, 진자, 단진동의 에너지를 연습할 수 있습니다. 공식보다 그림을 먼저 떠올리세요. 변위가 복원력을 만들고 물체가 평형 위치를 지나치며 에너지가 오가는 동안 주기가 반복됩니다.