일과 에너지를 직관적으로 이해하기: 경로를 건너뛰는 계산법

뉴턴의 제2법칙은 매 순간의 가속도를 알려 줍니다. 하지만 많은 문제에는 그만큼 자세한 정보가 필요하지 않습니다. 굽은 미끄럼틀 위에서 공을 떨어뜨리고 바닥에서 얼마나 빠른지 묻는다고 해 봅시다. 제2법칙으로 풀면 곡선이 휘는 방향에 따라 달라지는 각 지점의 힘이 필요합니다. 경로 전체를 적분해야 합니다.

일과 에너지는 그 경로를 건너뛰는 지름길입니다. 운동과 위치라는 두 칸의 장부를 만들고, 두 순간 사이에 들어오거나 나간 양을 세면 잔고가 맞는다고 봅니다. 가속도를 구하지 않습니다. 맨 위와 맨 아래의 잔고를 비교합니다.

이 글은 운동학을 직관적으로 이해하기와 뉴턴 운동 법칙을 직관적으로 이해하기에 이은 역학 시리즈의 세 번째 글입니다. 일이 실제로 무엇을 세는지, 운동 에너지와 퍼텐셜 에너지가 어디에서 나오는지, 보존 법칙이 마술이 아니라 계산 장부인 이유, 마찰력을 장부에 넣는 법, 일률이 나타내는 양, 에너지를 쓸지 뉴턴 법칙으로 돌아갈지를 결정하는 규칙을 다룹니다.

에너지는 눈에 보이는 물체가 아니라 추적하는 수입니다

에너지를 눈으로 본 사람은 없습니다. 공이 움직이거나 높은 곳에 놓인 모습만 보입니다. 물리는 그런 상태에 수를 부여해 특정한 합이 일정하게 유지되도록 합니다. 이것이 에너지라는 개념을 쓰는 이유입니다. 19세기에 물리학자들은 운동과 위치에 해당하는 양을 알맞게 정의하면, 중간 운동이 아무리 복잡해도 마지막의 합이 처음의 합에 외부의 힘이 넣거나 빼낸 양을 더하고 뺀 값과 같다는 사실을 알아냈습니다.

그러니 에너지를 계좌로 생각하세요. 운동 에너지는 운동에 담긴 잔고이고 퍼텐셜 에너지는 위치에 담긴 잔고입니다. 일은 입금이나 출금입니다. 에너지 보존은 계좌 내역의 합을 맞추는 일입니다.

일은 힘과 그 힘이 작용한 이동 거리의 곱입니다

일은 힘이 작용하는 동안 물체가 움직일 때 그 힘이 하는 것입니다. 힘이 물체를 자신이 미는 방향으로 거리 $d$만큼 밀면 한 일은 다음과 같습니다.

$$W = F d$$

단위는 줄이며 1뉴턴의 힘이 1미터에 걸쳐 작용한 양입니다. 힘이 운동 방향과 다르면 그 방향의 성분만 셉니다.

$$W = F d \cos\theta$$

여기서 $\theta$는 힘과 변위 사이의 각도입니다. 시험 문제에서는 세 경우가 특히 중요합니다.

• 힘이 운동 방향일 때 $\theta = 0$입니다. 힘이 운동을 돕고 $\cos 0 = 1$이므로 일은 양수입니다. 장부에 입금합니다.
• 힘이 운동 반대 방향일 때 $\theta = 180^\circ$입니다. 힘이 운동을 방해하고 $\cos 180^\circ = -1$이므로 일은 음수입니다. 장부에서 출금합니다. 운동 마찰력은 항상 이렇게 작용합니다.
• 힘이 운동 방향에 수직일 때 $\theta = 90^\circ$입니다. 일은 0입니다. 평평한 바닥에서의 수직항력, 원을 그리며 도는 공을 묶은 줄의 장력, 수평으로 움직이는 물체에 작용하는 중력은 크기가 아무리 커도 일을 하지 않습니다.

수직인 경우를 의외로 느끼는 사람도 있습니다. 힘이 크면 계산에 들어가야 할 것 같지만 일의 정의에 따라 그렇지 않습니다. 일은 운동 방향을 따라 전달된 에너지를 나타냅니다. 직각 방향의 힘은 운동 방향을 바꾸지만 에너지는 바꾸지 않습니다. 그래서 궤도를 도는 위성은 같은 속력을 계속 유지합니다.

일은 스칼라량입니다. 부호는 있지만 방향은 없어서 입금과 출금을 보통 수처럼 더할 수 있습니다.

운동 에너지는 눈에 보이는 일이 쌓인 결과입니다

질량이 $m$인 물체를 정지 상태에서 시작해 일정한 합력 $F$로 거리 $d$만큼 밀어 봅시다. 뉴턴 법칙으로 가속도 $a = F/m$를 구하고 운동학 식 $v^2 = 2ad$로 마지막 속력을 구합니다. 값을 넣어 정리하면,

$$F d = \tfrac{1}{2} m v^2$$

왼쪽은 힘이 한 일입니다. 오른쪽은 이제 물체가 가진 양이며 이름을 붙일 만합니다. 바로 운동 에너지입니다.

$$K = \tfrac{1}{2} m v^2$$

처음 속력이 0이 아닐 때도 같은 대수 계산을 하면 일-에너지 정리가 됩니다.

$$W_{\text{net}} = \Delta K = \tfrac{1}{2} m v^2 - \tfrac{1}{2} m v_0^2$$

운동 에너지가 무엇에 쓰이는지 보여 주는 식으로 읽으세요. 물체에 작용하는 모든 힘이 한 일을 부호를 살려 더한 합력의 일은 운동 에너지 변화와 같습니다. 합력이 양의 일을 하면 빨라지고, 음의 일을 하면 느려집니다. 힘이 아무리 거세도 합력이 한 일이 0이면 속력은 변하지 않습니다.

두 가지를 확인해 보세요. 운동 에너지에는 $v^2$가 들어가므로 속력이 두 배가 되면 에너지는 네 배입니다. 따라서 100 km/h인 차는 50 km/h인 차보다 정지 거리가 네 배 필요합니다. 또 운동 에너지는 음수가 될 수 없습니다. 뒤로 움직이는 물체도 같은 속력으로 앞으로 움직이는 물체와 운동 에너지가 같습니다.

퍼텐셜 에너지는 되찾을 수 있는 일입니다

질량이 $m$인 책을 일정한 속력으로 높이 $h$만큼 들어 올립니다. 중력에 맞서 $mgh$의 일을 했는데 처음과 마지막의 운동 에너지는 같습니다. 한 일은 어디로 갔을까요?

위치에 담겼습니다. 책을 놓으면 중력이 내려오는 동안 $mgh$의 일을 하고, 바닥에 도착할 때 책은 정확히 $\tfrac{1}{2} m v^2 = mgh$의 운동 에너지를 갖습니다. 한 일이 사라진 것이 아니라 저장된 것입니다. 이 저장된 양이 중력 퍼텐셜 에너지입니다.

$$U_g = m g h$$

AP 코스에서는 $g = 9.8\,\mathrm{m/s^2}$, A-Level 코스에서는 $9.81\,\mathrm{m/s^2}$를 사용합니다. 문제에 제시된 값을 쓰세요.

용수철에서도 같은 일이 일어나 탄성 퍼텐셜 에너지가 생깁니다. 용수철 상수 $k$인 용수철을 자연 길이에서 거리 $x$만큼 압축하거나 늘리면 저장되는 에너지는 다음과 같습니다.

$$U_s = \tfrac{1}{2} k x^2$$

2분의 1이 붙는 이유는 용수철을 압축하는 동안 용수철 힘이 0에서 $kx$까지 커져 평균 힘이 마지막 힘의 절반이기 때문입니다.

퍼텐셜 에너지는 특정한 성질이 있는 힘에 대해서만 정의할 수 있습니다. 그 힘이 한 일이 경로가 아니라 출발점과 도착점에만 의존해야 합니다. 중력과 용수철 힘은 그렇습니다. 마찰력은 경로가 길수록 더 많은 일을 하므로 그렇지 않습니다. 그래서 마찰력에 해당하는 퍼텐셜 에너지는 없고 다른 방식으로 다뤄야 합니다. 이 성질을 가진 힘을 보존력이라고 하며 각각 장부의 한 칸으로 바꿀 수 있습니다.

유용한 자유도 하나가 있습니다. $h = 0$인 지점을 직접 정할 수 있습니다. 퍼텐셜 에너지는 변화량만 중요하므로 문제의 가장 낮은 지점을 0으로 잡으면 모든 높이가 양수가 됩니다.

에너지 보존: 장부의 양쪽이 맞습니다

두 칸을 합쳐 봅시다. 일을 하는 힘이 중력과 용수철 힘 같은 보존력뿐이라면 전체 역학적 에너지는 변하지 않습니다.

$$K_1 + U_1 = K_2 + U_2$$

경로를 건너뛰게 해 주는 식입니다. 높이 $h$인 곳에서 굽은 미끄럼틀을 따라 내려온 공은 맨 아래에서 $\tfrac{1}{2} m v^2 = m g h$이므로 $v = \sqrt{2gh}$입니다. 미끄럼틀 모양은 계산에 들어가지 않았습니다. 가장 낮은 점보다 $h$ 높은 곳에서 놓은 진자도 줄 길이와 상관없이 맨 아래에서 $\sqrt{2gh}$의 속력에 도달합니다. 처음 정지한 롤러코스터가 두 번째 언덕 꼭대기에 올랐을 때 그 언덕이 첫 번째보다 $\Delta h$만큼 낮다면 속력은 $\sqrt{2 g \Delta h}$입니다.

질량이 약분되는 경우가 많습니다. 우연이 아닙니다. 모든 물체가 같은 비율로 낙하한다는 사실을 에너지로 다시 본 것입니다.

마찰력은 제어할 수 있는 방식으로 이 등식을 바꿉니다. 운동 마찰력은 미끄러지는 물체에 음의 일 $-f d$을 합니다. 여기서 $f$는 마찰력, $d$는 실제로 미끄러진 거리입니다. 장부에 더하면,

$$K_1 + U_1 = K_2 + U_2 + f d$$

$f d$는 역학적 에너지 계좌에서 나와 열이 된 양입니다. 우주에서 사라진 것은 아니지만 이 문제의 역학적 장부에서는 빠져나간 것입니다. 길이 $d$인 거친 경사면을 내려온 물체의 운동 에너지는 $mgh$보다 작으며 그 차이는 정확히 $f d$입니다. 이때 $f = \mu N$은 뉴턴 법칙 글의 마찰력 부분에서 구한 값입니다.

거친 바닥을 미끄러지다 멈춘 물체도 같은 항으로 설명할 수 있습니다. 모든 운동 에너지가 $f d$로 바뀌므로 정지 거리는 $d = \tfrac{1}{2} m v^2 / f = v^2 / (2 \mu g)$입니다. 질량과는 무관합니다.

일률은 전달되는 빠르기입니다

일은 에너지가 얼마나 전달됐는지, 일률은 얼마나 빠르게 전달됐는지 나타냅니다.

$$P = \frac{W}{t}$$

단위는 초당 줄인 와트입니다. 60 W 전구는 매초 60줄의 에너지를 전달합니다. 1 kW 주전자는 매초 1000줄을 전달합니다.

일정한 속력으로 물체를 미는 힘에 대해서는 더 유용한 식이 있습니다. 일은 $F d$이고 시간 $t$ 동안 이동한 거리는 $v t$이므로,

$$P = F v$$

자동차 문제에서 자주 쓰는 식입니다. 일정한 속력으로 달리는 차의 합력은 0이므로 엔진이 앞으로 미는 힘은 전체 저항력과 같고 엔진 출력은 그 저항력과 속력의 곱입니다. 고속도로에서 속력을 두 배로 올리면 공기 저항은 대략 $v^2$에 비례해 커지므로 필요한 일률은 대략 $v^3$에 비례해 늘어납니다.

단위 함정 하나를 기억하세요. 킬로와트시는 일률이 아니라 에너지입니다. 1000 W를 3600 s 동안 유지한 양으로 $3.6 \times 10^6$줄입니다. 전기 요금은 에너지를 계산하고 주전자에 적힌 수치는 일률입니다.

에너지를 쓸 때와 뉴턴 법칙을 쓸 때

두 방법은 서로 다른 질문에 답합니다. 잘못 고르면 역학에서 시간을 가장 많이 낭비하게 됩니다.

에너지를 선택할 때:

• 두 지점의 상태를 알고 그중 한 지점의 속력이나 높이를 구할 때.
• 경로가 휘어 있거나 힘의 방향이 경로를 따라 바뀔 때.
• 시간, 가속도, 힘을 묻지 않을 때.
• 보존력이 아닌 힘이 알려진 거리에 걸친 마찰력뿐일 때.

뉴턴 법칙을 선택할 때:

• 힘, 장력, 수직항력 또는 가속도를 구할 때.
• 시간이 필요할 때. 에너지 식에는 시간이 없기 때문입니다.
• 보존력이 아닌 힘이 경로에 따라 변해서 $f d$로 간단히 나타낼 수 없을 때.
• 원운동에서 구심 조건이 필요할 때.

두 방법을 모두 쓰는 문제도 많습니다. 에너지로 고리의 맨 아래에서 속력을 구하고, 뉴턴 법칙으로 그곳의 수직항력을 구합니다. 반대 순서로 이어질 수도 있습니다. 중요한 것은 문제가 실제로 어떤 양을 묻는지 알아보는 것입니다.

일과 에너지를 배우는 이유

운동학은 운동을 설명하고 뉴턴 법칙은 원인을 설명합니다. 일과 에너지는 중간 과정을 건너뛰고 처음과 끝을 비교하게 해 줍니다. 대신 잃는 정보도 있습니다. 에너지로는 걸린 시간이나 특정 순간에 작용한 힘을 알 수 없습니다. 얻는 것은 경로의 모양이 중요하지 않게 된다는 점입니다. 뉴턴 법칙으로 풀기 어렵던 바로 그 부분입니다.

이후의 역학에서도 장부를 다시 씁니다. 운동량은 같은 방식으로 기록하는 두 번째 보존량입니다. 단진동은 운동 에너지와 용수철 에너지 칸 사이를 오가는 에너지입니다. 열역학은 열에 별도 칸을 마련한 같은 계산입니다.

방법을 익히려면 물리를 효과적으로 공부하는 법의 흐름을 따르세요. 두 순간을 고르고 각 시점의 잔고를 적은 다음 보존력이 아닌 힘이 한 일을 모두 더해 풀고 단위와 극한을 확인합니다. Physics Zen의 일과 에너지 주제에서는 비스듬한 힘이 한 일, 운동 및 퍼텐셜 에너지, 마찰력 유무에 따른 보존을 새로운 값으로 연습할 수 있습니다. 마지막 일률 소주제는 프리미엄 전용입니다. 특정 답보다 장부 방식이 기억에 남게 됩니다.