자유 물체도를 그리는 법: 실수를 줄이는 5단계

입문 역학에서 오답의 원인은 공식을 쓰기 전에 이미 정해지는 경우가 많습니다. 힘을 잘못 그리거나, 빠뜨리거나, 힘이 아닌 것을 화살표로 넣습니다. 그림을 바로잡으면 대개 그다음의 대수 계산도 풀립니다.

자유 물체도는 간단한 도구입니다. 물체 하나를 따로 그리고 그 물체에 작용하는 모든 힘을 화살표로 표시합니다. 핵심은 그 과정에서 요구하는 엄격한 구분에 있습니다. 뉴턴의 제2법칙을 쓰기 전에 물체를 정하고, 각 힘과 그 힘을 가하는 대상을 이름 붙이고, 방향을 결정해야 합니다.

이 글에서는 5단계 방법을 설명하고 대표적인 사례를 풀어 보며 시험에서 자주 나오는 실수를 정리합니다. 뉴턴의 제2법칙을 이미 알고 있다고 가정합니다. 먼저 설명이 필요하다면 자유 물체도를 문맥 속에서 소개하는 뉴턴 운동 법칙 가이드를 읽어 보세요.

1단계: 물체를 정하고 따로 그리세요

“그 물체”가 정확히 무엇인지 결정하세요. 경사면 위의 상자, 상자와 경사면을 합친 것, 상자를 미는 사람은 서로 다른 세 계이며 자유 물체도도 각각 다릅니다. 선택한 대상을 적어 두세요.

그다음 물체만 따로 그립니다. 점 하나나 작은 상자 하나면 충분합니다. 바닥, 줄, 벽과 접촉하는 다른 모든 물체는 지우세요. 그 물체들은 오직 선택한 물체에 가하는 힘으로만 나타납니다.

자유 물체도의 “자유”는 바로 여기서 나옵니다. 물체를 주변 환경에서 분리해 모든 상호 작용을 분명히 나타내는 것입니다. 상자 아래 경사면을 그대로 그려 두면 경사면이 상자를 밀고 있다는 사실을 놓치기 쉽습니다.

2단계: 실제 힘과 그 힘을 가하는 대상을 모두 적으세요

빠뜨리지 않도록 접촉력과 장에 의한 힘을 일정한 순서로 확인하세요.

무게. 지구 근처에서 질량이 있는 모든 물체에는 지구가 아래쪽으로 가하는 무게 $mg$가 있습니다. 물체가 정지해 있어도 작용합니다.

수직항력. 물체가 닿는 모든 표면은 접촉면에 수직으로, 표면에서 물체를 밀어내는 방향으로 힘을 가합니다. 바닥은 위로, 벽은 옆으로, 경사면은 경사면에 수직으로 밉니다.

마찰력. 물체가 닿는 거친 표면은 그 표면과 나란한 힘을 가할 수도 있습니다. 이 힘은 미끄러짐 또는 미끄러지려는 경향을 방해합니다. 운동 마찰력은 운동을 방해하고, 정지 마찰력은 마찰이 없다면 일어날 움직임을 방해합니다.

장력. 물체에 연결된 줄, 끈, 케이블은 줄을 따라 물체에서 바깥쪽으로 당깁니다. 줄은 밀지 않습니다.

가해진 힘. 문제에 나온 미는 힘이나 당기는 힘을 주어진 각도대로 적으세요.

용수철 힘, 항력, 양력, 부력, 전기력 또는 자기력도 문제에 필요하면 넣으세요.

힘마다 그것을 가하는 대상을 말해 보세요. “바닥이 가하는 수직항력”, “왼쪽 줄이 가하는 장력”처럼요. 힘의 출처를 말할 수 없다면 자유 물체도에 그릴 힘이 아닙니다. 이 한 가지 점검만으로 존재하지 않는 힘 대부분을 걸러낼 수 있습니다.

3단계: 실제 방향을 따라 물체에서 힘 화살표를 그리세요

모든 화살표를 점에서 시작해 힘이 작용하는 방향으로 그리세요. 큰 힘의 화살표를 더 길게 그리면 도움이 되지만 필수는 아닙니다. 중요한 것은 방향입니다.

각 화살표에 식에서도 사용할 기호를 적으세요: $W$ 또는 $mg$, $N$, $f$, $T$, $F$. 같은 종류의 힘이 두 개라면 구별하세요: $T_1$과 $T_2$, $N_{\text{floor}}$와 $N_{\text{wall}}$처럼요.

선택한 물체가 다른 물체에 가하는 힘은 그리지 마세요. 상자가 바닥을 아래로 누르지만 그 힘은 바닥에 작용하므로 바닥의 자유 물체도에 들어가고 상자의 그림에는 들어가지 않습니다. 뉴턴의 제3법칙에 따른 두 힘은 서로 다른 물체에 작용하므로 같은 자유 물체도에 함께 나타나지 않습니다.

4단계: 운동에 맞춰 좌표축을 정하세요

그림 옆에 작은 좌표축 두 개를 그리세요. 한 축을 가속도 방향에 맞추거나, 물체가 표면을 따라 움직인다면 그 표면과 나란히 놓으세요. 평평한 바닥에서는 보통 수평축과 수직축을 씁니다. 경사면에서는 경사면을 따르는 축과 그에 수직인 축을 씁니다.

이유는 실용적입니다. 축을 경사면에 맞추면 수직항력과 마찰력이 각각 축과 정확히 나란해지고, 무게만 성분으로 나누면 됩니다. 경사면에서 수평·수직축을 쓰면 힘 하나 대신 세 힘을 성분으로 나눠야 하므로 대수 계산도 세 배로 늘어납니다.

가속도가 0이라면 어떤 방향으로 축을 잡아도 되지만, 같은 원칙을 따르면 나눠야 할 성분이 가장 적습니다.

5단계: 각 축에 뉴턴의 제2법칙을 쓰세요

그림을 축마다 읽으세요. 첫 번째 축의 힘 성분을 모두 더해 그 축의 $ma$와 같다고 쓰고, 두 번째 축도 같은 방식으로 적으세요. 음의 방향을 향하는 힘에는 마이너스 부호를 붙입니다. 가속도가 없는 축에서는 오른쪽이 0입니다.

이제 그림이 제 역할을 했습니다. 식은 새로 추측한 결과가 아니라 그림을 옮겨 적은 것입니다. 그림이 맞으면 식도 맞습니다.

답을 구한 뒤에는 그림과 대조하세요. 마찰력이 음수라면 실제 방향은 그린 화살표의 반대쪽입니다. 수직항력이 음수라면 표면이 물체를 당겨야 한다는 뜻인데 표면은 그렇게 할 수 없습니다. 물체가 표면에서 떨어져 모형이 바뀐 것입니다.

풀이 예제: 거친 바닥을 가로질러 미는 상자

질량이 10 kg인 상자를 수평 방향으로 40 N의 힘을 가해 바닥 위에서 밉니다. 운동 마찰 계수는 0.3입니다. 가속도를 구하세요.

대상 물체는 상자입니다. 힘은 아래쪽의 무게 $mg$(지구), 위쪽의 수직항력 $N$(바닥), 운동을 방해하는 마찰력 $f$(바닥), 앞쪽의 가해진 힘 $F$(미는 힘)입니다. 화살표는 네 개입니다.

좌표축은 $x$를 미는 방향, $y$를 위쪽으로 둡니다. 수직 방향으로는 가속도가 없으므로,

$$N - mg = 0$$

따라서 $N = 98\ \text{N}$입니다. 수평 방향에서는,

$$F - f = ma$$

여기에 $f = \mu N = 0.3 \times 98 = 29.4\ \text{N}$이므로 $a = (40 - 29.4)/10 = 1.06\ \text{m/s}^2$입니다.

마찰력은 수직항력에 따라 달라지고, 수직항력은 수직 방향의 식에서 구했습니다. 그림은 이 관계를 드러냅니다. 마찰력과 수직항력은 같은 표면이 가하는 두 힘입니다.

풀이 예제: 경사면 위의 물체

물체가 각도 $\theta$인 경사면 위에 있습니다. 힘은 바로 아래를 향하는 무게 $mg$, 경사면에 수직인 수직항력 $N$, 경사면을 따라 작용하는 마찰력 $f$입니다. 화살표 세 개를 그립니다.

좌표축을 경사면을 따라 그리고 경사면에 수직으로 둡니다. 무게는 경사면 아래쪽으로 $mg\sin\theta$, 경사면 안쪽으로 $mg\cos\theta$의 두 성분으로 나뉩니다. 수직 방향에서,

$$N - mg\cos\theta = 0$$

운동 마찰력이 작용하며 물체가 경사면 아래로 미끄러질 때 경사면 방향에서는,

$$mg\sin\theta - \mu N = ma$$

따라서 $a = g(\sin\theta - \mu\cos\theta)$입니다.

여기서 가장 흔한 실수는 수직항력을 지면에 수직인 위쪽으로 그리는 것입니다. 수직항력은 접촉면에 수직입니다. 경사면에서는 곧바로 위쪽이 아니며, 바로 그래서 $N$은 $mg$보다 작습니다. 두 번째로 흔한 실수는 무게의 성분에서 사인과 코사인을 바꾸는 것입니다. 이는 물리보다는 기하를 확인할 문제입니다. 물리 속 수학 실수에 관한 글에서 매번 이를 가려내는 방법을 설명합니다.

풀이 예제: 줄에 매달린 물체

물체가 줄에 매달려 위쪽으로 당겨지며 $a$로 가속합니다. 힘은 아래쪽의 무게 $mg$와 위쪽의 장력 $T$입니다. 화살표는 두 개입니다. 수직축에서 위쪽을 양의 방향으로 두면,

$$T - mg = ma$$

따라서 $T = m(g + a)$입니다. 물체가 아래로 가속한다면 $a$는 음수가 되고 $T$는 $mg$보다 작습니다. 줄이 느슨해지면 $T$는 0이 되고 그림에는 화살표 하나만 남습니다.

힘 두 개가 한 줄에 있을 뿐인데도 이 그림은 끈질긴 오류 하나를 잡아냅니다. 물체가 아래로 움직일 때 아래쪽의 “운동하는 힘”을 추가하는 오류입니다. 운동은 힘이 아닙니다. 무게가 장력보다 크기 때문에 물체가 아래로 움직이며, 그림에는 이미 그 두 힘이 모두 있습니다.

채점자가 자주 보는 다섯 가지 실수

1. 합력을 별도 화살표로 넣기. 합력은 그린 화살표를 모두 더한 결과이지 추가 힘이 아닙니다. 또 그리면 두 번 셈하는 셈입니다.
2. 구심력을 별도 화살표로 넣기. 원운동에서 안쪽을 향하는 힘은 이미 그림에 그린 장력이나 마찰력 같은 실제 힘이 제공합니다. 원운동 가이드에서 이를 읽는 방법을 설명합니다. 별도의 “구심력” 화살표를 추가하지 마세요.
3. 속도나 가속도를 힘으로 그리기. 둘 다 힘이 아닙니다. 가속도를 표시하고 싶다면 그림 옆에 다른 방식으로 적으세요.
4. 접촉을 빠뜨리기. 물체에 닿는 모든 표면, 줄, 손이 힘을 가합니다. 화살표를 그리기 전에 물체 둘레를 따라 접촉 대상을 모두 적어 보세요.
5. 경사면에서 수직항력을 곧바로 위로 그리거나 마찰력을 표면에 수직으로 그리기. 수직항력은 표면에 수직이고 마찰력은 표면에 나란합니다. 화살표를 그리기 전에 이 두 문장을 소리 내어 말해 보세요.

30초 점검표

• 물체 하나만 따로 그리고 이름을 적었나요?
• 지구가 가하는 무게를 아래쪽으로 그렸나요?
• 접촉하는 표면마다 수직항력 하나를 그 면에 수직으로 그렸나요?
• 거친 표면마다 마찰력을 표면에 나란하게, 미끄러짐을 방해하는 방향으로 그렸나요?
• 줄마다 장력을 줄을 따라 물체에서 바깥쪽으로 당기는 방향으로 그렸나요?
• 가해진 힘을 문제에 나온 각도대로 그렸나요?
• 합력, 구심력, 속도, 가속도를 힘 화살표로 넣지 않았나요?
• 좌표축을 가속도 방향 또는 표면을 따라 놓았나요?
• 축마다 뉴턴의 제2법칙을 한 식씩 쓰고 음의 방향에는 마이너스 부호를 붙였나요?

Physics Zen의 힘과 운동 주제에서 연습해 보세요. 뉴턴 운동 법칙, 마찰력, 경사면 문제마다 새로운 조건을 제시하고 힘의 식을 확인할 수 있습니다. 같은 방법을 원운동 주제에도 적용해 보세요. 이때는 그림이 안쪽을 향하는 힘을 올바르게 판단하는 핵심입니다.

자유 물체도는 본격적인 풀이 전의 형식적인 절차가 아닙니다. 그림을 그리는 것 자체가 핵심 작업입니다. 제대로 그리면 물리 문제는 훨씬 다루기 쉬운 대수 문제가 됩니다.