포물선 운동 공식: 평지와 절벽에서 푸는 예제

공을 지면에서 수평선보다 30도 위로 20 m/s의 속력으로 던지면 약 35 m 떨어진 곳에 착지합니다. 같은 공을 같은 방식으로 높이 15 m 절벽에서 던지면 약 53 m 떨어진 곳에 착지합니다. 그런데 많은 학생이 절벽에서도 35 m를 얻습니다. 수평 도달 거리 공식의 전제 조건을 확인하지 않고 썼기 때문입니다. 포물선 운동 공식 자체는 어렵지 않습니다. 눈앞의 발사 조건에 어떤 식이 맞는지 알아보는 것이 핵심입니다.

이 글에서는 부호 관례 하나를 정하고 각 식의 적용 조건을 표에 모은 다음 같은 발사를 평지와 절벽에서 각각 풉니다. 마지막에는 탁자에서 수평으로 굴러 떨어지는 공도 다룹니다. 모든 수치에는 $g=9.81\ \mathrm{m/s^2}$를 쓰고 공기 저항은 무시합니다.

발사를 두 운동으로 나누세요

먼저 간단히 그리세요. 발사점, 지면, 초기 속도 $v_0$가 수평선보다 각도 $\theta$만큼 위를 향하는 화살표를 표시합니다. 원점을 발사점에 놓고 위쪽을 양, 앞쪽을 양으로 정합니다. 이어 초기 속도를 성분으로 나눕니다.

$$v_{0x}=v_0\cos\theta,\qquad v_{0y}=v_0\sin\theta.$$

이제 시간만 공유하는 1차원 문제 두 개가 됩니다. 수평 방향에는 공을 놓은 뒤 미는 힘이 없으므로 $a_x=0$이고 $v_x$는 $v_{0x}$로 유지됩니다. 수직 방향에서는 중력 때문에 일정한 $a_y=-g$가 작용합니다. OpenStax의 포물선 운동 단원은 공기 저항을 무시할 때 서로 수직인 두 방향의 운동이 독립적이라는 점에서 설명을 시작합니다. AP Physics 1 과정 체계도 포물선 운동을 한 방향의 가속도는 0이고 수직인 방향의 가속도는 0이 아닌 일정한 2차원 운동이라고 한 줄로 설명합니다(College Board, AP Physics 1 CED, 주제 1.5).

두 성분으로 나누는 것부터 어렵다면 운동학 가이드에서 각 축에 쓰는 1차원 등가속도 계산을 살펴보세요.

지금 쓸 수 있는 식은 무엇인가요?

이 모형에서 포물선 운동은 네 개의 일반식으로 설명할 수 있습니다. 여기서 나온 지름길 세 개에는 잊기 쉬운 적용 조건이 붙습니다.

OpenStax는 두 한계를 직접 밝힙니다. 착지 높이가 다르면 비행 시간의 지름길은 적용되지 않고, 수평 도달 거리 식도 발사와 착지가 같은 높이의 수평면에 있을 때만 맞습니다. 최고 높이 식은 절벽에서도 유효합니다. 곡선의 꼭대기에 도달할 때까지의 수직 운동만 사용하고 그때 $v_y=0$이기 때문입니다. 이 식이 주는 높이는 발사점 위로 올라간 높이지 절벽 아래 지면에서 잰 높이가 아닙니다.

처음 두 식에서 $t$를 없애면 포물선 궤적 식이 됩니다.

$$y=x\tan\theta-\frac{g\,x^2}{2v_0^2\cos^2\theta}.$$

절벽 예제에서 보듯 독립적으로 답을 확인할 때 유용합니다.

예제 1: 20 m/s, 30도, 같은 높이의 평지

먼저 성분을 구합니다: $v_{0x}=20\cos 30^\circ=17.32\ \mathrm{m/s}$, $v_{0y}=20\sin 30^\circ=10.0\ \mathrm{m/s}$입니다.

비행 시간. 발사점과 착지점의 높이가 같아 지름길을 쓸 수 있습니다.

$$T=\frac{2(10.0)}{9.81}=2.04\ \mathrm{s}.$$

다른 방법으로도 확인하세요. 공은 $v_y=0$일 때 꼭대기에 도달하며 시간은 $t=10.0/9.81=1.02\ \mathrm{s}$입니다. 평지에서는 내려오는 과정이 올라가는 과정과 대칭이므로 전체 시간은 두 배인 2.04 s입니다.

최고 높이.

$$H=\frac{(10.0)^2}{2(9.81)}=5.10\ \mathrm{m}.$$

꼭대기까지 걸린 시간을 높이 식에 넣어 검산하면 $y=10.0(1.02)-4.905(1.02)^2=5.10\ \mathrm{m}$입니다.

수평 도달 거리.

$$R=\frac{(20)^2\sin 60^\circ}{9.81}=35.3\ \mathrm{m}.$$

지름길 없이 확인하면 $x=v_{0x}T=17.32\times 2.04=35.3\ \mathrm{m}$입니다. 다른 두 방법에서 답이 같아야 다음으로 넘어갈 수 있습니다. Physics Zen의 AP Physics 1 연습처럼 $g=9.8\ \mathrm{m/s^2}$를 쓴다면 결과는 세 번째 자리에서만 달라집니다. 반올림하면 2.04 s, 5.10 m, 35.3 m가 그대로입니다.

예제 2: 같은 발사를 높이 15 m 절벽에서

이번에는 20 m/s와 30도는 같고 평평한 지면 위 15 m인 절벽 끝에서 던집니다. 발사점을 원점으로 놓았으므로 착지할 때 $y=-15\ \mathrm{m}$입니다. 처음보다 낮은 곳에 떨어져 수평 도달 거리 지름길은 쓸 수 없습니다. 일반적인 높이 식을 씁니다.

$$-15=10.0\,t-4.905\,t^2.$$

정리하면 $4.905t^2-10.0t-15=0$입니다. 이차방정식의 근의 공식으로,

$$t=\frac{10.0\pm\sqrt{(10.0)^2+4(4.905)(15)}}{2(4.905)}=\frac{10.0\pm 19.86}{9.81},$$

$t=3.04\ \mathrm{s}$ 또는 $t=-1.00\ \mathrm{s}$입니다. 음의 해는 같은 포물선 위의 공이 위로 올라가면서 지면 높이를 지나던 발사 이전의 시각을 뜻합니다. 수학적으로는 유효하지만 이 물리 문제와는 무관하므로 버립니다. 선택한 양의 해를 다시 대입하면 $10.0(3.044)-4.905(3.044)^2=-15.0$입니다. 근을 고르는 문제는 물리 문제에서 자주 나타나는 수학 실수에서도 다룹니다.

절벽에서의 수평 도달 거리.

$$x=17.32\times 3.044=52.7\ \mathrm{m}.$$

궤적 식으로 한 번 더 확인합니다. $x=52.7\ \mathrm{m}$에서 $y=52.7\tan 30^\circ-\dfrac{9.81(52.7)^2}{2(20)^2\cos^2 30^\circ}=30.4-45.4=-15.0\ \mathrm{m}$입니다. 공이 정확히 지면에 있습니다.

지름길을 잘못 쓰면 생기는 오차. 여기에 $R=v_0^2\sin 2\theta/g$를 쓰면 평지의 답인 35.3 m가 나옵니다. 실제 도달 거리는 52.7 m입니다. 지름길의 답은 **17.4 m 짧으며 실제 거리의 약 33%**에 해당하는 오차인데 식 자체에는 경고가 없습니다. 최고 높이는 여전히 발사점보다 5.10 m 위이며 절벽 아래 지면보다 20.1 m 위입니다.

충돌 순간 속도. 착지할 때 $v_y=10.0-9.81(3.044)=-19.86\ \mathrm{m/s}$이고 $v_x$는 여전히 17.32 m/s입니다. 따라서,

$$v=\sqrt{17.32^2+19.86^2}=26.3\ \mathrm{m/s},$$

방향은 수평선 아래로 $\arctan(19.86/17.32)=48.9^\circ$입니다. 에너지로도 속력을 확인할 수 있습니다: $v=\sqrt{v_0^2+2gh}=\sqrt{20^2+2(9.81)(15)}=26.3\ \mathrm{m/s}$. 일과 에너지 가이드에서 그 이유를 설명합니다.

45도에서 가장 멀리 가나요? 절벽에서는 아닙니다. 속력 20 m/s와 낙하 높이 15 m를 고정하고 여러 각도에 대해 같은 이차방정식을 풀었습니다.

이 중에서는 37도에서 가장 멀리 가고 45도는 30도보다도 짧습니다. 높은 곳에서 발사하면 이미 공중에 머무는 시간이 추가되므로 더 낮은 각도로 수평 속도를 높이는 편이 유리합니다.

예제 3: 탁자에서 굴러 떨어지는 공

공이 높이 0.90 m 탁자에서 3.0 m/s로 굴러 떨어집니다. $\theta=0$이므로 $v_{0x}=3.0\ \mathrm{m/s}$, $v_{0y}=0$입니다. 여기서도 착지 높이는 발사 높이와 달라 일반식만 적용할 수 있습니다.

낙하 시간. $v_{0y}=0$이면 높이 식은 $-0.90=-4.905t^2$가 됩니다.

$$t=\sqrt{\frac{2(0.90)}{9.81}}=0.428\ \mathrm{s}.$$

탁자 끝에서 곧바로 떨어뜨린 공과 낙하 시간이 같습니다. 수평 속도가 떨어지는 속도를 늦추지는 않습니다.

착지 위치. 탁자 다리에서 $x=3.0\times 0.428=1.29\ \mathrm{m}$ 떨어진 곳입니다. LibreTexts의 포물선 운동 페이지는 높이에서 수평으로 발사하는 운동을 같은 방식으로 다루며 낙하 시간 $\sqrt{2H/g}$를 보여 줍니다.

충돌 순간의 속력과 각도. $v_y=-9.81(0.428)=-4.20\ \mathrm{m/s}$이므로,

$$v=\sqrt{3.0^2+4.20^2}=5.16\ \mathrm{m/s},\qquad \alpha=\arctan\frac{4.20}{3.0}=54.5^\circ$$

수평선 아래 방향입니다. 에너지 식으로 검산해도 $\sqrt{3.0^2+2(9.81)(0.90)}=5.16\ \mathrm{m/s}$입니다.

연습 문제 두 개와 답

1. 평지. 공을 평지에서 수평선 위 60도 방향으로 15 m/s로 찹니다. 비행 시간, 최고 높이, 도달 거리를 구하세요. 답은 $v_{0y}=13.0\ \mathrm{m/s}$, $T=2.65\ \mathrm{s}$, $H=8.60\ \mathrm{m}$, $R=19.9\ \mathrm{m}$입니다. 세 지름길 모두 사용할 수 있습니다. $v_{0x}T=7.5\times 2.65$로 도달 거리를 확인하세요.

2. 수평 발사. 수면보다 20 m 높은 절벽에서 돌을 수평으로 12 m/s로 던집니다. 공중에 있는 시간, 수평으로 떨어진 거리, 충돌 순간 속력을 구하세요. 답은 $t=\sqrt{2(20)/9.81}=2.02\ \mathrm{s}$, $x=24.2\ \mathrm{m}$, $v=\sqrt{12^2+2(9.81)(20)}=23.2\ \mathrm{m/s}$이고 방향은 수평선 아래 $58.8^\circ$입니다. 같은 높이의 평지 착지에만 쓰는 지름길은 적용할 수 없습니다.

두 방향으로 나누는 일이 자연스러워질 때까지 연습하세요

포물선 운동은 대부분 주요 교육과정 초반에 나옵니다. AP Physics 1에서는 1단원에 있으며 AP Physics 1 대비 가이드에서 전체 학습 계획 속 운동학의 위치를 설명합니다. 시험이 달라도 위의 방법은 같고 $g$와 숫자만 달라집니다.

Physics Zen의 운동학 주제는 iPhone과 Android에서 처음부터 끝까지 무료입니다. 포물선 운동 소주제에서는 발사 속력, 각도, 높이가 매번 달라지는 문제를 풀고 즉시 채점과 답마다 풀이 과정을 볼 수 있습니다. 몇 문제를 풀면서 매번 표의 질문을 먼저 하세요. 공이 처음과 같은 높이에 떨어지나요? 아니라면 지름길을 건너뛰고 시간부터 구하세요.