얇은 렌즈 방정식 풀이 예제: 실상과 허상

물체를 볼록렌즈 앞에 놓고 유리 쪽으로 움직여 보세요. 어떤 위치에서는 반대편에 스크린을 세워 선명한 상을 볼 수 있습니다. 초점 거리보다 가까이 옮기면 스크린에는 더는 상이 맺히지 않습니다. 하지만 렌즈를 통해 보면 물체가 확대돼 보일 수 있습니다. 얇은 렌즈 방정식은 광선이 실제로 만나는 쪽과 만나는 것처럼 보이는 쪽을 부호로 구분하면 두 경우를 모두 설명합니다.

대수 계산은 짧습니다. 대부분의 실수는 그림을 생략하거나 허상의 거리를 양수로 쓰거나 배율의 부호를 크기로 읽는 등 그 이전에 생깁니다. 여기서는 하나의 부호 관례를 끝까지 쓰고 답을 광선 그림과 비교합니다.

부호를 고르기 전에 렌즈를 그리세요

수평인 주축과 렌즈를 나타내는 세로선을 그립니다. 물체를 왼쪽에 놓으세요. 아래 상황에서 빛은 왼쪽에서 오른쪽으로 진행합니다. 렌즈 양쪽에 거리 $|f|$만큼 떨어진 초점을 표시하세요. 풀이 뒤에 상을 그려 넣을 자리가 생깁니다.

볼록렌즈에서는 물체의 맨 위에서 주축과 나란히 진행한 광선이 렌즈를 지나 먼 쪽 초점으로 향합니다. 렌즈 중심을 지나는 광선은 얇은 렌즈 모형에서 거의 직진합니다. 나가는 두 광선이 만나는 곳이 실상입니다. 광선이 벌어지면 점선으로 뒤로 연장하세요. 뒤로 연장한 선들이 만나는 곳이 허상이며 실제로 나간 빛이 그곳에서 모이는 것은 아닙니다. 오목렌즈는 나란히 들어온 광선이 가까운 쪽 초점에서 나온 것처럼 벌어지게 합니다.

이는 이상화한 광선입니다. 실제 렌즈에는 두께가 있고 영상은 얇은 렌즈와 근축 근사를 벗어날 수 있습니다. 여기의 식과 그림은 주축에 가까운 작은 각도의 광선을 가정합니다. OpenStax의 얇은 렌즈 단원에 이 식, 광선 그리기, 여기서 사용하는 부호 관례가 나와 있습니다.

방정식과 하나의 부호 관례

렌즈에서 물체까지의 거리를 $d_o$, 상까지의 거리를 $d_i$, 초점 거리를 $f$라고 하겠습니다. 그러면,

$$\frac{1}{f}=\frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i}.$$

세 거리는 같은 단위를 써야 합니다. 모두 센티미터여도 되고 모두 미터여도 됩니다. 결과도 그 단위를 따릅니다. 숫자를 넣기 전에 상 거리 식으로 정리하세요.

$$\frac{1}{d_i}=\frac{1}{f}-\frac{1}{d_o}, \qquad d_i=\frac{fd_o}{d_o-f}.$$

빛이 들어오는 쪽에 실제 물체가 놓인 일반적인 상황에서 실상이 양수인 관례를 사용합니다.

어떤 수업에서는 위치의 부호가 다른 데카르트 좌표 관례를 씁니다. 계산 중간에 서로 다른 관례의 부호를 섞지 마세요. 수업의 식이 다르다면 그 식의 정의를 끝까지 일관되게 쓰세요. 물리적인 질문은 같습니다. 광선이 어느 쪽으로 가고 어디서 만나며 상이 어떤 방향인가요?

풀이 예제: 볼록렌즈의 실상

물체를 볼록렌즈 앞 $30\ \mathrm{cm}$에 놓습니다. 렌즈의 초점 거리는 $f=+10\ \mathrm{cm}$입니다. 물체가 초점보다 멀어 렌즈 반대쪽에 실상이 생길 수 있습니다. $d_o=+30\ \mathrm{cm}$를 대입하면,

$$\frac{1}{d_i}=\frac{1}{10}-\frac{1}{30} =\frac{2}{30}=\frac{1}{15}\ \mathrm{cm^{-1}}.$$

따라서 $d_i=+15\ \mathrm{cm}$입니다. 양의 부호는 상이 렌즈 반대쪽에 있음을 뜻합니다. 다시 대입하면 $1/10=1/30+1/15$로 맞습니다. 그림에서 평행 광선은 먼 초점을 통과하도록 굴절되고 중심 광선과 그 지점에서 만납니다. 실상이므로 이상적인 스크린을 그 평면에 놓으면 모이는 광선을 받을 수 있습니다.

상은 작고 거꾸로입니다. 추측하지 않고 배율로 확인해 봅시다.

배율: 방향과 크기를 나누세요

같은 관례에서 부호가 있는 가로 배율은,

$$m=\frac{h_i}{h_o}=-\frac{d_i}{d_o},$$

여기서 $h_o$와 $h_i$는 주축에서 잰 물체와 상의 높이입니다. 배율 $m$이 음수면 거꾸로 선 상, $m$이 양수면 바로 선 상입니다. 절댓값 $|m|$이 상 높이의 비율입니다. 길이가 아니어서 단위도 없습니다.

첫 예제에서는 $m=-15/30=-0.50$입니다. 높이가 $4.0\ \mathrm{cm}$인 물체라면 $h_i=(-0.50)(4.0)=-2.0\ \mathrm{cm}$입니다. 음의 부호는 상의 맨 위가 주축 아래에 있음을 뜻하고 높이의 크기는 $2.0\ \mathrm{cm}$입니다. 음의 높이를 물리적으로 음수인 크기라고 설명하지 마세요.

풀이 예제: 확대된 허상

초점 거리 $f=+12\ \mathrm{cm}$인 볼록렌즈를 그대로 쓰되 물체를 $8.0\ \mathrm{cm}$ 거리로 가까이 놓습니다. $d_o<f$이므로 나오는 광선들이 벌어집니다. 뒤로 연장한 광선은 물체 쪽에서 만납니다. 계산 전 $d_i<0$을 예측하세요.

$$\frac{1}{d_i}=\frac{1}{12}-\frac{1}{8} =-\frac{1}{24}\ \mathrm{cm^{-1}}, \qquad d_i=-24\ \mathrm{cm}.$$

허상은 렌즈에서 물체 쪽으로 $24\ \mathrm{cm}$ 떨어져 있습니다. 배율은,

$$m=-\frac{-24}{8.0}=+3.0.$$

이 이상적인 모형에서 상은 바로 서 있고 물체보다 높이가 세 배입니다. 허상 위치에 스크린을 놓아도 그곳에서 만나는 광선 다발을 받을 수 없습니다. 나가는 광선을 뒤로 연장해서 찾은 위치이기 때문입니다. 허상을 보는 것과 실상을 스크린에 투영하는 것의 핵심 차이입니다.

풀이 예제: 오목렌즈

이번에는 초점 거리 $f=-15\ \mathrm{cm}$인 오목렌즈를 사용합니다. 실제 물체를 렌즈 앞 $30\ \mathrm{cm}$에 둡니다. 음의 초점 거리가 중요합니다. $+15\ \mathrm{cm}$를 쓰면 다른 렌즈가 됩니다.

$$\frac{1}{d_i}=\frac{1}{-15}-\frac{1}{30} =-\frac{3}{30}=-\frac{1}{10}\ \mathrm{cm^{-1}}.$$

따라서 $d_i=-10\ \mathrm{cm}$로 물체 쪽에 허상이 있습니다. 배율은 $m=-(-10)/30=+1/3$입니다. 바로 선 상이고 높이는 원래의 3분의 1입니다. 그림에서 렌즈를 떠난 광선들이 벌어지고 뒤로 연장한 선들은 렌즈와 가까운 쪽 초점 사이에서 만납니다. 부호를 유지해 식을 확인하면 $-1/15=1/30-1/10$입니다.

이 모형에서 실제 물체와 단순한 오목렌즈라면 허상, 바로 선 상, 축소된 상을 예상할 수 있습니다. 위 계산은 한 거리 조합에서 이를 보여 줍니다. 음의 $f$가 그 결과를 만듭니다.

물체가 초점면에 있으면 어떻게 될까요?

정리한 식 $d_i=fd_o/(d_o-f)$에서 실제 물체가 볼록렌즈의 초점 거리에 다가가면 분모가 0에 가까워집니다. $f$보다 조금 밖에 있을 때 $d_i$는 크고 양수, 조금 안에 있을 때는 크고 음수입니다. 정확히 $d_o=f$에서는 $1/d_i=0$입니다. 이상적인 모형에서 나오는 광선이 평행하여 보고할 유한한 상 거리가 없습니다.

분수에 $d_o=f$를 넣고 계산기의 0으로 나누기 오류를 물리적 결과로 부르지 마세요. 평행 광선을 그리고 이상적인 모형에서 상이 무한대에 있다고 쓰세요.

세 문제를 풀고 확인하세요

1. 실상의 위치와 높이. 볼록렌즈의 초점 거리는 $f=+20\ \mathrm{cm}$입니다. 높이 $3.0\ \mathrm{cm}$인 실물체를 $60\ \mathrm{cm}$ 떨어진 곳에 놓습니다. 상 거리와 높이를 구하세요. 계산하면 $1/d_i=1/20-1/60=1/30\ \mathrm{cm^{-1}}$이므로 $d_i=+30\ \mathrm{cm}$입니다. 이어서 $m=-30/60=-0.50$, $h_i=-1.5\ \mathrm{cm}$입니다. 실상은 거꾸로이고 높이는 절반입니다.

2. 초점 거리 안쪽. 볼록렌즈의 초점 거리가 $f=+9.0\ \mathrm{cm}$이고 실물체는 $d_o=+6.0\ \mathrm{cm}$에 있습니다. 상과 배율을 구하세요. $1/d_i=1/9-1/6=-1/18\ \mathrm{cm^{-1}}$이므로 $d_i=-18\ \mathrm{cm}$입니다. 이어 $m=-(-18)/6.0=+3.0$입니다. 상은 허상이며 바로 서 있고 확대됩니다.

3. 오목렌즈. 실제 물체가 렌즈에서 $24\ \mathrm{cm}$ 떨어져 있습니다. 초점 거리는 $f=-12\ \mathrm{cm}$입니다. 상 거리와 종류를 구하세요. $1/d_i=-1/12-1/24=-1/8\ \mathrm{cm^{-1}}$이므로 $d_i=-8.0\ \mathrm{cm}$입니다. 물체 쪽이므로 허상입니다. 또한 $m=-(-8)/24=+1/3$이어서 바로 서 있고 축소됩니다.

렌즈 현상은 빛이 방향을 바꾸는 것에서 시작합니다. 스넬 법칙 가이드는 한 경계면의 굴절을 설명합니다. 렌즈 계산과 상의 종류는 Physics Zen의 광학 주제에서 연습해 보세요. A-Level Physics, Abitur Physik, Bac physique 가이드는 더 넓은 학습 계획에서 광학의 위치를 설명합니다.