Halveringstijd berekenen: formule en uitgewerkte voorbeelden

Een monster heeft om 12 uur 's middags een activiteit van 1200 becquerel. De isotoop heeft een halveringstijd van 6,0 uur. Wat geeft de detector de volgende ochtend om 6 uur aan? Het antwoord is niet 1200 min drie gelijke stappen. Elke halveringstijd haalt de helft weg van wat er nog is, dus de metingen lopen 1200, 600, 300, 150. Dat vermenigvuldigende patroon is de hele inhoud van de formule voor de halveringstijd.

Deze gids werkt de formule uit van het eenvoudige geval met een heel aantal halveringstijden tot de gevallen waarop leerlingen bij toetsen vaak struikelen: een gebroken aantal halveringstijden, de halveringstijd uit twee metingen, de overstap naar de vervalconstante, de activiteit uit een aantal kernen en het dateren van een monster met het resterende koolstof-14. Het onderwerp Kernfysica toont welke vervalvaardigheden deze voorbeelden oefenen.

Twee vormen van dezelfde vervalwet

Radioactief verval is voor één kern toevallig, maar voor een groot aantal kernen heel regelmatig. Zijn er aan het begin $N_0$ niet-vervallen kernen en is de halveringstijd $T_{1/2}$, dan is het aantal dat na een tijd $t$ over is

$$N(t)=N_0\left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}.$$

De exponent $t/T_{1/2}$ is gewoon het aantal verstreken halveringstijden. Dat hoeft geen heel getal te zijn.

Studieboeken schrijven de wet ook met de vervalconstante $\lambda$. OpenStax University Physics, deel 3, §10.3 geeft

$$N(t)=N_0e^{-\lambda t},\qquad \lambda=\frac{\ln 2}{T_{1/2}}\approx\frac{0.693}{T_{1/2}}.$$

De twee vormen zijn gelijk omdat $\left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}=e^{-(\ln 2)t/T_{1/2}}$. Gebruik de halveringstijdvorm als de opgave in halveringstijden denkt, en de exponentiële vorm als $\lambda$ gegeven of gevraagd wordt. Dezelfde relatie geldt voor de massa van de moederisotoop en voor de activiteit ervan, omdat beide evenredig zijn met $N$.

Zet vóór elke berekening $t$ en $T_{1/2}$ in dezelfde eenheid. Uren gedeeld door dagen geeft een getal dat redelijk lijkt en fout is.

Voorbeeld 1: een heel aantal halveringstijden

Terug naar het monster van het begin: $A_0=1200\ \mathrm{Bq}$ en $T_{1/2}=6.0\ \mathrm h$. Van 12 uur 's middags tot 6 uur 's ochtends is 18 h, dus $18/6.0=3$ halveringstijden.

$$A=1200\ \mathrm{Bq}\times\left(\frac{1}{2}\right)^{3}=\frac{1200\ \mathrm{Bq}}{8}=150\ \mathrm{Bq}.$$

Een korte tabel maakt het patroon zichtbaar en vangt rekenfouten op:

Het verleidelijke foute antwoord trekt elke 6 h 600 Bq af en komt na 12 h op nul uit. Verval is evenredig met wat er over is, dus de stappen worden kleiner.

Voorbeeld 2: een gebroken aantal halveringstijden

Een hypothetische isotoop heeft een halveringstijd van 8,0 dagen, en een bron bevat aan het begin 40 mg ervan. Hoeveel van die isotoop is er na 20 dagen nog over?

Het aantal halveringstijden is $20/8.0=2.5$. De formule verwerkt dat direct:

$$m=40\ \mathrm{mg}\times\left(\frac{1}{2}\right)^{2.5}\approx40\ \mathrm{mg}\times0.177\approx7.1\ \mathrm{mg}.$$

Controleer de orde van grootte: na 2 halveringstijden zou er 10 mg over zijn, na 3 halveringstijden 5 mg. Een uitkomst tussen 5 en 10 mg klopt, en ligt dichter bij 5 dan bij 10, omdat de kromme aan het begin van elk interval het snelst daalt. Het midden tussen 10 en 5, dus 7,5 mg, zou een lineaire schatting zijn, niet de vervalwet.

De 7,1 mg is de resterende moederisotoop. Het monster verliest geen 33 mg aan totale massa; de meeste vervallen atomen zijn er nog als dochterkernen.

Voorbeeld 3: halveringstijd uit twee metingen

Een detector geeft voor een zuivere bron 800 Bq aan en 3,0 h later 500 Bq, met de achtergrond al afgetrokken. Wat is de halveringstijd?

Los uit de halveringstijdvorm het aantal halveringstijden op:

$$\frac{t}{T_{1/2}}=\log_2\left(\frac{A_0}{A}\right)=\log_2(1.6)=\frac{\ln 1.6}{\ln 2}\approx0.678.$$

Dan geldt

$$T_{1/2}=\frac{3.0\ \mathrm h}{0.678}\approx4.4\ \mathrm h.$$

Controle: de activiteit daalde in 3,0 h met minder dan de helft, dus de halveringstijd moet langer zijn dan 3,0 h. Krijg je een negatieve halveringstijd, of een die korter is dan de verstreken tijd terwijl de meting nog niet gehalveerd is, dan was de verhouding omgedraaid.

Is de daling een nette macht van twee, dan heb je geen logaritme nodig. Een daling van 960 Bq naar 240 Bq in 10 h is een factor 4, dus 2 halveringstijden, en daarmee $T_{1/2}=5.0\ \mathrm h$.

Voorbeeld 4: vervalconstante en activiteit uit een aantal kernen

Een bron bevat $N=2.0\times10^{15}$ kernen van een isotoop met $T_{1/2}=8.0$ dagen. Wat is de activiteit in becquerel?

Activiteit is het aantal vervallen per seconde, dus reken eerst de halveringstijd om naar seconden: $8.0\ \mathrm{d}=8.0\times86400\ \mathrm s=6.91\times10^{5}\ \mathrm s$. Daarna

$$\lambda=\frac{\ln 2}{T_{1/2}}=\frac{0.693}{6.91\times10^{5}\ \mathrm s}\approx1.0\times10^{-6}\ \mathrm{s^{-1}},$$ $$A=\lambda N\approx1.0\times10^{-6}\ \mathrm{s^{-1}}\times2.0\times10^{15}\approx2.0\times10^{9}\ \mathrm{Bq}.$$

Had je de halveringstijd in dagen gelaten, dan kwam de uitkomst in vervallen per dag, ongeveer 86 400 keer groter dan het aantal becquerel. De eenheid van $\lambda$ bepaalt de eenheid van $A$.

Voorbeeld 5: koolstofdatering met een niet-rond antwoord

OpenStax geeft koolstof-14 een halveringstijd van 5730 jaar. Een houten voorwerp heeft per gram 30% van de koolstof-14-activiteit van vergelijkbaar levend hout. Hoe oud is het, als je die beginverhouding aanneemt?

$$t=T_{1/2}\log_2\left(\frac{A_0}{A}\right)=5730\times\log_2\left(\frac{1}{0.30}\right)\approx5730\times1.74\approx9.95\times10^{3}.$$

Het voorwerp is ongeveer 10 000 jaar oud. Controleer de grenzen: 25% over zou precies 2 halveringstijden betekenen, 11 460 jaar. Dertig procent is iets meer dan 25%, dus de leeftijd moet iets kleiner zijn, en dat is ook zo.

Het antwoord hangt af van de aanname dat de beginverhouding gelijk was aan die van levend materiaal. Echte koolstof-14-laboratoria kalibreren voor schommelingen in het koolstof-14 in de atmosfeer, dus zie dit als een natuurkundeoefening, niet als een laboratoriumdatering.

Fouten die punten kosten

• Gelijke hoeveelheden aftrekken. Elke halveringstijd halveert de huidige hoeveelheid. Lineaire stappen bereiken nul, de vervalwet nooit.
• Gemengde tijdeenheden. $t$ en $T_{1/2}$ moeten dezelfde eenheid hebben, en $\lambda$ moet in $\mathrm{s^{-1}}$ staan als je de activiteit in becquerel wilt.
• log en ln door elkaar halen. $\ln 2\approx0.693$, terwijl $\log_{10}2\approx0.301$. Neem je de $\log_{10}$ van de verhouding, deel dan door $\log_{10}2$, niet door 0,693. Ons artikel over natuurkundefouten die eigenlijk wiskundefouten zijn laat er meer zien.
• Moederisotoop en monster verwarren. De formule volgt de niet-vervallen moederkernen, niet de totale massa van het monster.
• Achtergrond vergeten. Telsnelheden in het lab bevatten achtergrondstraling. Trek die af voordat je verhoudingen neemt.

Drie oefenopgaven met antwoorden

Opgave 1. Een isotoop met $T_{1/2}=15\ \mathrm h$ begint bij 6400 Bq. Wat is de activiteit na 60 h? Vier halveringstijden: $6400/16=400\ \mathrm{Bq}$.

Opgave 2. Welke fractie van een monster is na 1,5 halveringstijd over? $\left(\frac{1}{2}\right)^{1.5}\approx0.354$, ongeveer 35%, niet 25%.

Opgave 3. Een telsnelheid daalt in 36 min van 1000 naar 125 tellen per minuut, achtergrond al afgetrokken. Wat is de halveringstijd? De verhouding 8 is 3 halveringstijden, dus $T_{1/2}=12\ \mathrm{min}$.

Vragen over halveringstijd komen in bijna elke natuurkundemethode voor; onze gids voor A-level Physics laat zien waar radioactief verval staat tussen de andere vaardigheden uit de moderne natuurkunde. Welke cursus het ook is, de aanpak blijft gelijk: eenheden gelijktrekken, halveringstijden tellen als $t/T_{1/2}$, de exponent gebroken laten als dat moet, en controleren of de uitkomst tussen de waarden van de omliggende hele halveringstijden valt.