Elektromagnetische inductie: de wet van Faraday met uitgewerkte voorbeelden

Duw een magneet naar een spoel van draad en een aangesloten meter kan uitslaan. Houd de magneet stil en de uitslag verdwijnt. Trek hem weg en de uitslag draait om. Ook met stilstaande magneet bevindt de spoel zich nog in een magnetisch veld. Wat veranderde, was de magnetische flux door de spoel.

Elektromagnetische inductie zet een verandering van die flux om in een elektromotorische kracht, vaak afgekort als emk of inductiespanning. De wet van Faraday geeft de grootte ervan; de wet van Lenz de richting. Beide zijn eenvoudiger te gebruiken als je drie vragen uit elkaar houdt: wat gaat door de lus, hoe verandert dat en is er een gesloten weg voor stroom?

Magnetische flux telt het veld door een oppervlak

Stel je een vlak vel voor dat over een draadlus is gespannen. Magnetische flux meet het magnetisch veld door dat vlak, met behoud van richting. De algemene definitie is

$$\Phi_B=\int_A\mathbf{B}\cdot\hat{\mathbf n}\,dA.$$

$\mathbf B$ is het magnetisch veld, $dA$ een klein stukje van het vlak en $\hat{\mathbf n}$ een gekozen eenheidsnormaal loodrecht op het vlak. Het inproduct zegt dat alleen de veldcomponent loodrecht op het vlak telt. Kies naar welke kant van de lus de normaal wijst en houd die keuze aan; als de lus draait, draait de normaal mee. Als je de normaal omdraait, draaien de tekens van flux en inductiespanning om, maar de werkelijke stroomrichting niet.

Voor een vlakke lus met oppervlakte $A$ in een uniform veld met grootte $B$ wordt de integraal

$$\Phi_B=BA\cos\theta,$$

waar $\theta$ de hoek tussen het veld en de normaal op het oppervlak is. Als het veld recht door de lus loopt, is $\theta=0^\circ$ en de grootte van de flux $BA$. Loopt het veld in het vlak van de lus, dan is $\theta=90^\circ$ en de flux nul. Gebruik niet de hoek tussen veld en vlak zonder die eerst om te rekenen.

De SI-eenheid is weber, Wb: $1\ \mathrm{Wb}=1\ \mathrm{T\,m^2}$. Flux hoort bij één lus. Bij een spoel met $N$ identieke windingen die elk dezelfde flux zien, is de totale fluxkoppeling $N\Phi_B$. De uitleg van OpenStax over de wet van Faraday geeft de algemene definitie en de korte formule voor een uniform veld.

Een eerste voorbeeld met magnetische flux

Neem een vlakke lus met oppervlakte $0.040\ \mathrm{m^2}$ in een uniform veld van $0.30\ \mathrm T$. Het veld maakt een hoek van $60^\circ$ met de normaal op de lus. Kies de normaal zo dat de flux positief is:

$$\Phi_B=(0.30)(0.040)\cos60^\circ =0.0060\ \mathrm{Wb}.$$

Laat de normaal van dezelfde lus langs het veld wijzen. De flux wordt $0.012\ \mathrm{Wb}$, hoewel veldsterkte en oppervlakte niet veranderden. Een andere stand kan dus in een constant veld inductiespanning opwekken.

De wet van Faraday meet de veranderingssnelheid

Voor $N$ identieke windingen met door elke winding dezelfde flux geldt:

$$\mathcal E=-N\frac{d\Phi_B}{dt}.$$

De inductiespanning $\mathcal E$ wordt gemeten in volt. Eén weber per seconde is één volt. Haar grootte neemt toe als de flux sneller verandert en is evenredig met het aantal windingen. De gekozen normaal legt via de rechterhandregel ook de positieve richting rond de lus vast: wijs je duim langs de normaal, dan krullen je vingers in positieve richting. Het minteken bevat de richtingsregel van Lenz; het vraagt niet om een negatieve grootte.

Geeft de opgave alleen een begin- en eindflux over een tijdsinterval, bereken dan de gemiddelde inductiespanning:

$$\mathcal E_{\mathrm{avg}}=-N\frac{\Phi_{B,\mathrm{final}}-\Phi_{B,\mathrm{initial}}}{\Delta t}.$$

Dit gemiddelde geeft niet de spanning op elk moment, tenzij de flux gelijkmatig verandert. Ook is een veranderend veld maar één manier om de flux te veranderen. De oppervlakte of hoek van de lus kan veranderen terwijl $B$ constant blijft. Een veldverandering ergens buiten de lus is op zichzelf niet genoeg: de flux door juist deze lus moet veranderen.

Uitgewerkt voorbeeld: gemiddelde inductiespanning

Een spoel telt 80 windingen, elk rond een oppervlakte van $0.025\ \mathrm{m^2}$. Een uniform veld loodrecht op de windingen stijgt van $0.10\ \mathrm T$ naar $0.35\ \mathrm T$ in $0.20\ \mathrm s$. Kies de positieve normaal langs het veld. De fluxverandering per winding is

$$\Delta\Phi_B=A\Delta B =(0.025)(0.35-0.10) =0.00625\ \mathrm{Wb}.$$

De gemiddelde inductiespanning wordt

$$\mathcal E_{\mathrm{avg}} =-80\frac{0.00625}{0.20} =-2.5\ \mathrm V.$$

De grootte is $2.5\ \mathrm V$. Het negatieve teken betekent dat de geïnduceerde werking volgens onze positieve normaal en lusrichting de andere kant rondgaat. Als het veld niet gelijkmatig toenam, bleef $2.5\ \mathrm V$ de gemiddelde grootte in dit interval, maar kon de momentane waarde afwijken.

De wet van Lenz: werk de verandering tegen, niet het veld

Bepaal vóór je rechtsom of linksom kiest of de oorspronkelijke flux door de lus stijgt of daalt. De geïnduceerde stroom, als de stroomkring gesloten is, maakt een magnetisch veld dat die verandering tegenwerkt. Het deel van OpenStax over de wet van Lenz verbindt die richtingsregel met behoud van energie.

Neem een lus die plat op de pagina ligt. Het magnetisch veld wijst het papier in en wordt sterker. De flux door het papier neemt toe. Het geïnduceerde veld moet uit het papier wijzen om die stijging tegen te werken. Krul de vingers van je rechterhand in de stroomrichting terwijl je duim uit het papier wijst: van boven bekeken loopt de stroom linksom.

Laat nu het veld nog steeds het papier in wijzen, maar zwakker worden. Het geïnduceerde veld wijst het papier in om het fluxverlies tegen te gaan. De rechterhandregel geeft een stroom rechtsom. In beide gevallen wijst het oorspronkelijke veld dezelfde kant op. De verandering bepaalt de geïnduceerde richting.

Dezelfde stappen werken bij een bewegende magneet. Geef aan welke pool naar de lus wijst en vanaf welke kant je kijkt, bepaal de fluxverandering en gebruik de rechterhandregel. Alleen ‘rechtsom’ zeggen is onvolledig als je kijkzijde niet vaststaat.

Er kan inductiespanning zijn zonder rondgaande stroom

Een geïnduceerde spanning drijft lading rond de lus aan. Voor een aanhoudende rondgaande geleidingsstroom is een gesloten geleidende weg nodig. Knip de draad door en de veranderende flux wekt nog steeds spanning op, maar lading kan niet door de opening blijven rondgaan. Als de lus gesloten is en haar weerstand bekend, geeft een eenvoudig weerstandmodel de stroomgrootte $I=|\mathcal E|/R$. Inductiespanning alleen bepaalt de stroom niet: ook de weerstand telt. Onze gids over serie- en parallelschakelingen legt de schakelingkant uit.

Een generator gebruikt dit principe door een spoel te draaien ten opzichte van een magnetisch veld. Daardoor veranderen hoek en flux. Een stilstaande lus in een onveranderd, uniform veld heeft constante flux en volgens Faraday geen inductiespanning, ook al gaat er veld doorheen. Bij een bewegende geleider kan een nauwkeuriger schakelingmodel nodig zijn, maar de fluxregel voor een gesloten lus is voor deze voorbeelden het juiste begin.

Verwar geïnduceerde spanning niet met het elektrostatische potentiaalverschil uit een probleem met stilstaande lading. Beide meet je in volt, maar een veranderende magnetische flux kan lading langs een gesloten pad aandrijven. Zie elektrische potentiaal versus elektrisch veld voor de vergelijking met een statisch veld.

Drie oefenopgaven met oplossingen

1. Veranderende oppervlakte in een constant veld. Een enkele rechthoekige geleidende lus ligt loodrecht op een uniform veld van $0.40\ \mathrm T$. De omsloten oppervlakte daalt van $0.030\ \mathrm{m^2}$ naar $0.010\ \mathrm{m^2}$ in $0.50\ \mathrm s$. Hoe groot is de gemiddelde inductiespanning? Kies de normaal langs het veld. De fluxverandering is $0.40(0.010-0.030)=-0.0080\ \mathrm{Wb}$. Dus $|\mathcal E_{\mathrm{avg}}|=0.0080/0.50=0.016\ \mathrm V$. Het veld was constant; de veranderende oppervlakte veroorzaakte de spanning.

2. Een spoel draaien. Een spoel met 20 windingen en oppervlakte $0.010\ \mathrm{m^2}$ staat in een uniform veld van $0.50\ \mathrm T$. In $0.10\ \mathrm s$ draait de normaal van evenwijdig aan het veld naar loodrecht erop. Bereken de gemiddelde grootte van de inductiespanning. De flux per winding gaat van $BA=0.0050\ \mathrm{Wb}$ naar nul. Dus $|\mathcal E_{\mathrm{avg}}|=20(0.0050)/0.10=1.0\ \mathrm V$. Voor dit gemiddelde hoeft de draaisnelheid niet constant te zijn.

3. Richting en stroom. Van boven gezien wordt een veld uit het papier door een gesloten spoel met 5 windingen sterker. Welke kant loopt de geïnduceerde stroom? De flux uit het papier neemt toe, dus het geïnduceerde veld moet het papier in wijzen. De rechterhandregel geeft rechtsom, van boven gezien. Maak je de spoel open, dan is er nog inductiespanning maar geen rondgaande stroom door de onderbreking.

Oefen fluxberekeningen en inductiespanning in het onderwerp Magnetisme en inductie van Physics Zen. Inductie komt voor bij zowel A-Level Physics als het Duitse Abitur. Onze gids voor A-Level Physics en Abitur-gids laten zien hoe ze tussen de andere onderwerpen over velden en elektriciteit passen.