Fórmula da meia-vida: exemplos resolvidos de decaimento radioativo

Uma amostra marca uma atividade de 1200 becquerels ao meio-dia. O isótopo tem meia-vida de 6,0 horas. O que o detector vai mostrar às 6 da manhã do dia seguinte? A resposta não é 1200 menos três passos iguais. Cada meia-vida remove metade do que ainda resta, então as leituras seguem 1200, 600, 300, 150. Esse padrão multiplicativo é todo o conteúdo da fórmula da meia-vida.

Este guia trabalha a fórmula do caso simples, com um número inteiro de meias-vidas, até os casos que mais derrubam alunos em provas: um número fracionário de meias-vidas, a meia-vida a partir de duas medições, a troca para a constante de decaimento, a atividade a partir de um número de núcleos e a datação de uma amostra pelo carbono-14 que resta. O tópico de Física nuclear lista as habilidades de decaimento que estes exemplos treinam.

Duas formas da mesma lei de decaimento

O decaimento radioativo é aleatório para um único núcleo, mas muito regular para um grande número deles. Se há $N_0$ núcleos não decaídos no início e a meia-vida é $T_{1/2}$, o número que resta após um tempo $t$ é

$$N(t)=N_0\left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}.$$

O expoente $t/T_{1/2}$ é simplesmente o número de meias-vidas que se passaram. Ele não precisa ser um número inteiro.

Os livros didáticos também escrevem a lei com a constante de decaimento $\lambda$. O OpenStax University Physics, volume 3, §10.3 apresenta

$$N(t)=N_0e^{-\lambda t},\qquad \lambda=\frac{\ln 2}{T_{1/2}}\approx\frac{0.693}{T_{1/2}}.$$

As duas formas coincidem porque $\left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}=e^{-(\ln 2)t/T_{1/2}}$. Use a forma da meia-vida quando o enunciado fala em meias-vidas, e a forma exponencial quando ele dá ou pede $\lambda$. A mesma relação vale para a massa do isótopo pai e para sua atividade, porque cada uma é proporcional a $N$.

Antes de qualquer conta, coloque $t$ e $T_{1/2}$ na mesma unidade. Horas divididas por dias dão um número que parece razoável e está errado.

Exemplo 1: um número inteiro de meias-vidas

Voltemos à amostra do início: $A_0=1200\ \mathrm{Bq}$ e $T_{1/2}=6.0\ \mathrm h$. Do meio-dia às 6 da manhã passam-se 18 h, ou seja, $18/6.0=3$ meias-vidas.

$$A=1200\ \mathrm{Bq}\times\left(\frac{1}{2}\right)^{3}=\frac{1200\ \mathrm{Bq}}{8}=150\ \mathrm{Bq}.$$

Uma tabela rápida deixa o padrão visível e pega erros de conta:

A resposta errada tentadora subtrai 600 Bq a cada 6 h e chega a zero em 12 h. O decaimento é proporcional ao que resta, por isso os passos encolhem.

Exemplo 2: um número fracionário de meias-vidas

Um isótopo hipotético tem meia-vida de 8,0 dias, e uma fonte começa com 40 mg dele. Quanto desse isótopo resta depois de 20 dias?

O número de meias-vidas é $20/8.0=2.5$. A fórmula trata isso diretamente:

$$m=40\ \mathrm{mg}\times\left(\frac{1}{2}\right)^{2.5}\approx40\ \mathrm{mg}\times0.177\approx7.1\ \mathrm{mg}.$$

Confira a ordem de grandeza: depois de 2 meias-vidas restariam 10 mg, depois de 3 meias-vidas, 5 mg. Um resultado entre 5 e 10 mg está certo, e fica mais perto de 5 do que de 10 porque a curva cai mais depressa no começo de cada intervalo. O ponto médio entre 10 e 5, 7,5 mg, seria um palpite linear, não a lei de decaimento.

Os 7,1 mg são o isótopo pai restante. A amostra não perde 33 mg de massa total; a maioria dos átomos que decaíram continua lá como núcleos filhos.

Exemplo 3: encontrar a meia-vida a partir de duas leituras

Um detector mostra 800 Bq para uma fonte pura e, 3,0 h depois, 500 Bq, já descontada a radiação de fundo. Qual é a meia-vida?

Isole na forma da meia-vida o número de meias-vidas:

$$\frac{t}{T_{1/2}}=\log_2\left(\frac{A_0}{A}\right)=\log_2(1.6)=\frac{\ln 1.6}{\ln 2}\approx0.678.$$

Então

$$T_{1/2}=\frac{3.0\ \mathrm h}{0.678}\approx4.4\ \mathrm h.$$

Verificação: a atividade caiu menos da metade em 3,0 h, então a meia-vida tem de ser maior que 3,0 h. Se você obtiver uma meia-vida negativa, ou menor que o tempo decorrido enquanto a leitura ainda não caiu pela metade, a razão foi invertida.

Quando a queda é uma potência de dois exata, dispense o logaritmo. Uma queda de 960 Bq para 240 Bq em 10 h é um fator 4, ou seja, 2 meias-vidas, logo $T_{1/2}=5.0\ \mathrm h$.

Exemplo 4: constante de decaimento e atividade a partir de um número de núcleos

Uma fonte contém $N=2.0\times10^{15}$ núcleos de um isótopo com $T_{1/2}=8.0$ dias. Qual é a sua atividade em becquerels?

Atividade é número de decaimentos por segundo, então converta primeiro a meia-vida para segundos: $8.0\ \mathrm{d}=8.0\times86400\ \mathrm s=6.91\times10^{5}\ \mathrm s$. Depois

$$\lambda=\frac{\ln 2}{T_{1/2}}=\frac{0.693}{6.91\times10^{5}\ \mathrm s}\approx1.0\times10^{-6}\ \mathrm{s^{-1}},$$ $$A=\lambda N\approx1.0\times10^{-6}\ \mathrm{s^{-1}}\times2.0\times10^{15}\approx2.0\times10^{9}\ \mathrm{Bq}.$$

Se você tivesse deixado a meia-vida em dias, o resultado sairia em decaimentos por dia, cerca de 86 400 vezes maior que o valor em becquerels. A unidade de $\lambda$ define a unidade de $A$.

Exemplo 5: datação por carbono-14 com resultado quebrado

O OpenStax dá ao carbono-14 uma meia-vida de 5730 anos. Um objeto de madeira tem, por grama, 30% da atividade de carbono-14 de uma madeira viva comparável. Supondo essa razão inicial, quantos anos ele tem?

$$t=T_{1/2}\log_2\left(\frac{A_0}{A}\right)=5730\times\log_2\left(\frac{1}{0.30}\right)\approx5730\times1.74\approx9.95\times10^{3}.$$

O objeto tem cerca de 10 000 anos. Confira os limites: 25% restantes significariam exatamente 2 meias-vidas, 11 460 anos. Trinta por cento é um pouco mais que 25%, então a idade tem de ser um pouco menor, e é.

A resposta depende da hipótese de que a razão inicial era igual à do material vivo. Laboratórios reais de radiocarbono fazem calibração para as variações do carbono-14 atmosférico, então trate isto como um exercício de física, não como uma datação de laboratório.

Erros que custam pontos

• Subtrair quantidades iguais. Cada meia-vida divide por dois a quantidade atual. Passos lineares chegam a zero; a lei de decaimento, nunca.
• Unidades de tempo misturadas. $t$ e $T_{1/2}$ precisam estar na mesma unidade, e $\lambda$ precisa estar em $\mathrm{s^{-1}}$ se você quer a atividade em becquerels.
• Confundir log e ln. $\ln 2\approx0.693$, enquanto $\log_{10}2\approx0.301$. Se você tirar o $\log_{10}$ da razão, divida por $\log_{10}2$, não por 0,693. Nosso artigo sobre erros de física que na verdade são erros de matemática traz outros exemplos.
• Confundir isótopo pai e amostra. A fórmula acompanha os núcleos pais não decaídos, não a massa total da amostra.
• Ignorar a radiação de fundo. Taxas de contagem medidas em laboratório incluem a radiação de fundo. Desconte-a antes de calcular razões.

Três exercícios com resposta

Exercício 1. Um isótopo com $T_{1/2}=15\ \mathrm h$ começa em 6400 Bq. Qual é a atividade depois de 60 h? Quatro meias-vidas: $6400/16=400\ \mathrm{Bq}$.

Exercício 2. Que fração de uma amostra resta depois de 1,5 meia-vida? $\left(\frac{1}{2}\right)^{1.5}\approx0.354$, cerca de 35%, não 25%.

Exercício 3. Uma taxa de contagem cai de 1000 para 125 contagens por minuto em 36 min, com o fundo já descontado. Qual é a meia-vida? A razão 8 corresponde a 3 meias-vidas, então $T_{1/2}=12\ \mathrm{min}$.

Questões de meia-vida aparecem em quase todo curso de física do ensino médio; nosso guia de A-level Physics mostra onde o decaimento radioativo se encaixa entre as outras habilidades de física moderna. Seja qual for o curso, a rotina é a mesma: igualar as unidades, contar as meias-vidas como $t/T_{1/2}$, deixar o expoente fracionário quando precisar e conferir se o resultado fica entre os valores das meias-vidas inteiras ao redor.