Intensidade sonora e distância: exemplos da lei do inverso do quadrado

Afaste-se para o dobro da distância de uma pequena fonte sonora em espaço aberto. A intensidade cai pela metade? No modelo físico mais simples, ela cai para um quarto. A potência não desapareceu. Ela se distribui por uma superfície esférica com quatro vezes a área. A uma distância quatro vezes maior, a área é dezesseis vezes maior, então cada metro quadrado recebe um dezesseis avos da intensidade inicial.

Essa é a lei do inverso do quadrado para a intensidade sonora. Ela trata do fluxo de energia por área, não promete que alguém perceberá o som como quatro vezes menos alto. Este guia deriva a relação, resolve contas numéricas, converte uma razão de intensidades em diferença de decibéis e mostra onde um ambiente fechado ou uma fonte grande quebra a figura simples. O guia do efeito Doppler aborda outra mudança: a frequência quando fonte e ouvinte se movem um em relação ao outro.

Comece pela grandeza que a intensidade mede

Uma onda sonora transporta energia. A potência $P$ é energia transferida por segundo, medida em watts. A intensidade $I$ é a potência que atravessa uma unidade de área perpendicular ao fluxo de energia, medida em watts por metro quadrado:

$$I=\frac{P}{A}.$$

Essa definição não se limita à audição. OpenStax University Physics, volume 1, §17.3 a aplica ao som antes de introduzir o modelo esférico ideal. Confira as unidades antes da aritmética: watts divididos por metros quadrados dão $\mathrm{W/m^2}$. Um resultado apenas em watts é potência, não intensidade.

Um alto-falante pode emitir a mesma potência acústica enquanto a intensidade medida mais longe muda. A superfície atravessada por essa potência cresce com a distância. Por isso, perguntar pela “intensidade do alto-falante” sem informar a distância ou a superfície de medição está incompleto. Também não é correto comparar duas medições em distâncias diferentes como se a própria fonte tivesse mudado.

Veja o quadrado na superfície da esfera

Imagine uma fonte pequena que irradia igualmente em todas as direções, sem obstáculos, reflexões ou perda importante de potência no meio ao longo das distâncias estudadas. Num raio $r$, a mesma potência de saída atravessa uma superfície esférica de área

$$A=4\pi r^2.$$

Substitua essa área na definição de intensidade:

$$I(r)=\frac{P}{4\pi r^2}.$$

O raio aparece ao quadrado porque a área superficial de uma esfera cresce com o quadrado do raio. Não é uma lei do inverso do cubo só porque o som se propaga em um espaço tridimensional. Dividimos por uma superfície, não pelo volume dentro dela. Ao dobrar o raio, $4\pi(2r)^2=4(4\pi r^2)$. A mesma potência se espalha por quatro vezes mais área; cada metro quadrado recebe um quarto.

A fórmula só serve quando suas hipóteses cabem. Um alto-falante direcional não irradia igualmente para todos os lados. Uma parede devolve parte da energia. Uma fonte grande em relação à distância não parece um ponto. Use a conta esférica como modelo ideal, não como previsão universal de qualquer microfone.

Use razões antes da calculadora

Se a potência da fonte permanece igual, divida as duas fórmulas esféricas. $P$ e $4\pi$ se cancelam:

$$\frac{I_2}{I_1}=\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2.$$

Suponha intensidade medida de $0.0080\ \mathrm{W/m^2}$ a $2.0\ \mathrm m$ no modelo ideal. A $4.0\ \mathrm m$, a razão é $(2.0/4.0)^2=1/4$, portanto a intensidade esperada é $0.0020\ \mathrm{W/m^2}$. A $6.0\ \mathrm m$, a razão é $(2.0/6.0)^2=1/9$, resultando em cerca de $0.00089\ \mathrm{W/m^2}$.

A mudança envolve uma razão entre distâncias a partir da fonte. Não eleve ao quadrado o número de metros adicionais. Ir de 2 m a 4 m dobra a distância; ir de 4 m a 6 m multiplica por 1,5. Essas duas mudanças não podem ter a mesma razão de intensidades. “Dobrar a distância corta a intensidade pela metade” é uma resposta linear tentadora, mas ignora a área crescente.

Calcule da potência até a intensidade

Agora comece sem uma intensidade conhecida. Suponha uma fonte pontual hipotética que irradia potência acústica $P=4\pi\times10^{-4}\ \mathrm W$ igualmente em todas as direções. A $r=1.0\ \mathrm m$, a área esférica vale $4\pi\ \mathrm{m^2}$. Logo,

$$I_1=\frac{4\pi\times10^{-4}\ \mathrm W}{4\pi\ \mathrm{m^2}} =1.0\times10^{-4}\ \mathrm{W/m^2}.$$

A 2,0 m, a área é $16\pi\ \mathrm{m^2}$ e a intensidade é $2.5\times10^{-5}\ \mathrm{W/m^2}$. A 4,0 m, são $64\pi\ \mathrm{m^2}$ e $6.25\times10^{-6}\ \mathrm{W/m^2}$. Note que a potência no numerador nunca muda. Nesse modelo, a queda da intensidade local vem da dispersão geométrica, não de alguém abaixar o volume da fonte.

Os números são uma invenção para estudar a conta. Não descrevem um alto-falante real, uma sala de medição nem um período seguro de exposição. Use-os para testar a geometria: dobrar o raio de 2 m para 4 m divide novamente a intensidade por quatro. Se a sua tabela apenas dobra a área, perdeu o quadrado.

Converta uma razão de intensidades em decibéis

O nível de intensidade sonora usa uma escala logarítmica. Para intensidade $I$ e intensidade de referência $I_0$, o OpenStax escreve

$$\beta=10\log_{10}\left(\frac{I}{I_0}\right)\ \mathrm{dB}.$$

Com a referência convencional $I_0=10^{-12}\ \mathrm{W/m^2}$, nosso valor a 1 m tem nível $10\log_{10}(10^{-4}/10^{-12})=80\ \mathrm{dB}$. A 2 m, é $10\log_{10}(2.5\times10^7)\approx74\ \mathrm{dB}$. A 4 m, cerca de $68\ \mathrm{dB}$. Cada duplicação de distância corresponde à queda aproximada de 6 dB nesse caso ideal.

Você também consegue a diferença sem calcular níveis absolutos:

$$\Delta\beta=10\log_{10}\left(\frac{I_2}{I_1}\right) =10\log_{10}(1/4)\approx-6.02\ \mathrm{dB}.$$

Não subtraia um quarto de 80 dB nem diga que o nível virou 20 dB porque a intensidade caiu a um quarto. Decibéis são logaritmos de razões: multiplicação da intensidade vira soma ou subtração de níveis. Além disso, o nível de intensidade é uma grandeza física; a sensação de volume depende de frequência, audição e contexto. O exemplo não mostra que alguém ouvirá o som como quatro vezes menos alto. A mesma seção do OpenStax separa intensidade, nível e percepção de volume.

Confira onde o modelo simples deixa de valer

A lei do inverso do quadrado exige uma fonte aproximadamente pontual e um campo livre. Dentro de uma sala, o som refletido retorna das paredes, do teto e do piso. O nível total num ouvinte pode não cair 6 dB a cada distância dobrada. A explicação de Auditory Neuroscience aponta expressamente esse limite devido às reflexões. Mesmo fora de casa, barreiras, solo, direção da fonte e absorção podem alterar o resultado. A geometria não ficou errada; a situação real deixou de cumprir as hipóteses simples.

Perto de um alto-falante grande ou outra fonte extensa, a imagem de um ponto pequeno emitindo em todas as direções também pode falhar. Não use a equação esférica a uma distância comparável ao tamanho da fonte sem verificar o modelo. Numa questão de prova, termos como “fonte pontual isotrópica”, “onda esférica” e “despreze a absorção” autorizam a fórmula. Sem eles, diga que hipótese você adotou.

Um sonômetro ou aplicativo de celular pode mostrar um valor em dB. Esse número sozinho não identifica a potência acústica da fonte nem prova a lei do inverso do quadrado. Seria preciso conhecer o arranjo de medição e sua calibração. Aqui calculamos a intensidade ideal a partir de potência e distância dadas; não se trata de avaliar segurança auditiva pela tela do celular.

Dois problemas curtos para testar o modelo

Problema 1. Uma fonte pontual no campo livre ideal produz $0.0036\ \mathrm{W/m^2}$ a 3 m. Qual é a intensidade a 9 m? A distância triplica, então a intensidade cai a um nono: $0.0036/9=0.00040\ \mathrm{W/m^2}$. A diferença de nível é $10\log_{10}(1/9)\approx-9.54\ \mathrm{dB}$. Não é preciso conhecer a intensidade de referência para calcular essa diferença.

Problema 2. Dois ouvintes estão a 1 m e 2 m de uma fonte numa sala pequena com reflexões. Você pode prometer diferença de 6 dB? Não. Pode calcular cerca de 6 dB para a componente esférica direta sob hipóteses ideais, mas as reflexões alteram o som total em cada ponto. Especifique qual grandeza o seu resultado descreve. Essa ressalva faz parte da solução.

Para outra conta com som, ondas estacionárias determinam frequências que cabem numa corda ou tubo, enquanto mudanças Doppler descrevem a variação aparente de frequência. Intensidade faz outra pergunta: quanta potência atravessa aqui cada metro quadrado? Com a grandeza e as hipóteses do modelo identificadas, o quadrado e o logaritmo têm tarefas claras.