Ondas estacionárias em cordas e tubos: exemplos resolvidos

Uma onda estacionária parece parada em um aspecto: seus nós permanecem no mesmo lugar. Mesmo assim, a corda ou o ar entre os nós continua se movendo. Para resolver um problema de frequência, comece pelas extremidades. Elas determinam quais padrões cabem; a rapidez da onda transforma cada comprimento de onda permitido em frequência.

Este guia resolve três exemplos e verifica cada resposta com um desenho, as unidades e o próximo modo permitido. Usamos cordas e colunas de ar ideais. Extremidades de instrumentos reais, mudanças de temperatura e amortecimento exigem mais cuidado. Por isso, a seção final mostra onde as equações simples deixam de valer.

Uma onda viajante forma um padrão estacionário

Uma onda que percorre uma corda se reflete na extremidade. Quando a onda incidente e a refletida, de mesma frequência, se sobrepõem, seus deslocamentos podem se somar em alguns pontos e se cancelar em outros. Um nó permanece com deslocamento zero. Um ventre ou antinó atinge o maior deslocamento daquele modo. O padrão não leva uma única crista continuamente da esquerda para a direita, embora um sistema real forçado continue recebendo e perdendo energia.

O capítulo da OpenStax sobre ondas estacionárias deduz os modos permitidos a partir das condições nas extremidades. O essencial não é decorar uma fórmula primeiro. Desenhe o que o material pode fazer em cada extremidade; depois conte as frações de comprimento de onda que cabem entre elas.

Frequência, comprimento de onda e rapidez ainda obedecem a

$$v=f\lambda.$$

Aqui $v$ é a rapidez de propagação de uma perturbação viajante no meio, $f$ é o número de ciclos por segundo e $\lambda$ é a distância em metros por ciclo. O padrão estacionário vem de duas dessas ondas; ele não altera essa relação. É diferente da massa presa a uma mola em nosso guia de movimento harmônico simples: um único ponto da corda pode oscilar aproximadamente daquele modo, enquanto a corda tem muitos pontos e várias formas possíveis de vibração.

Corda fixa: nós nas duas extremidades

Uma corda bem presa nas duas extremidades não se desloca em nenhum dos pontos de fixação. Desenhe um nó de deslocamento em cada ponta. O padrão mais simples tem uma única curva entre elas: meio comprimento de onda cabe no comprimento $L$. Cada modo mais alto acrescenta outra metade:

$$L=n\frac{\lambda_n}{2},\qquad \lambda_n=\frac{2L}{n},\qquad f_n=\frac{nv}{2L},\quad n=1,2,3,\ldots$$

O primeiro modo é o fundamental, $f_1=v/(2L)$. O segundo é $2f_1$ e tem um nó interno a mais. O terceiro é $3f_1$. Chamar essas frequências de harmônicos só ajuda depois de confirmar que ambas as pontas estão fixas. Uma ponta livre exigiria outra condição de deslocamento.

Em uma corda esticada ideal, a tração $T$ e a densidade linear de massa $\mu$ determinam a rapidez:

$$v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}.$$

A tração deve estar em newtons e $\mu$ em quilogramas por metro. A raiz terá unidades de metros por segundo. O modelo supõe corda flexível, tração quase constante e pequenos deslocamentos transversais. Ele não afirma que uma corda real grossa, rígida ou fortemente excitada segue cada harmônico ideal com exatidão.

Exemplo resolvido 1: corda com tração conhecida

Uma corda de 1,20 m tem tração de $48\ \mathrm{N}$ e densidade linear de $0.012\ \mathrm{kg/m}$. Encontre a primeira e a terceira frequência permitidas. Primeiro vem a rapidez:

$$v=\sqrt{48/0.012}=\sqrt{4000}\approx63.25\ \mathrm{m/s}.$$

Depois, $f_1=63.25/(2\times1.20)\approx26.4\ \mathrm{Hz}$ e $f_3=3f_1\approx79.1\ \mathrm{Hz}$. No terceiro modo, $\lambda_3=2(1.20)/3=0.80\ \mathrm{m}$. Verifique: $v/\lambda_3=63.25/0.80\approx79.1\ \mathrm{Hz}$. O desenho deve mostrar nós nas duas extremidades e dois nós internos. Um resultado de duas vezes a fundamental corresponderia ao segundo modo, não ao terceiro.

Mudar a tração altera $v$ e, portanto, todas as frequências dos modos. Dobrar a tração não dobra a frequência: a fórmula com raiz quadrada dá um fator $\sqrt{2}$. Mudar o comprimento mantendo a rapidez fixa tem outro efeito: a frequência varia inversamente com $L$. Diga o que permanece constante antes de comparar duas cordas.

Extremidades do tubo: indique deslocamento ou pressão

O som em um tubo é uma perturbação longitudinal. O ar se move para a frente e para trás ao longo do tubo enquanto a pressão sobe e desce. A palavra “nó” é ambígua até você dizer qual grandeza está desenhando. Em uma ponta aproximadamente fechada, o deslocamento do ar é impedido: nó de deslocamento e ventre de pressão. Em uma ponta aproximadamente aberta, o ar pode se mover mais livremente e a variação de pressão fica próxima de zero em relação à atmosférica: ventre de deslocamento e nó de pressão.

As notas da Universidade do Tennessee sobre colunas de ar relacionam explicitamente as condições de pressão e deslocamento. As duas colunas são complementares. Um desenho que marca a ponta fechada como nó de pressão e depois usa uma fórmula de deslocamento misturou modelos. Os modos sonoros da OpenStax usam deslocamento para mostrar os padrões permitidos nos tubos. Antes do problema, escreva “deslocamento do ar” sobre o desenho e marque seus nós e ventres. A pressão pode ser anotada embaixo como conferência.

Um tubo aberto nas duas pontas tem ventres de deslocamento em ambas. O padrão mais simples contém meio comprimento de onda em $L$, como a corda fixa na contagem de comprimentos de onda, embora suas pontas sejam ventres, não nós. Assim, $f_n=nv/(2L)$ para $n=1,2,3,\ldots$ no tubo aberto-aberto ideal. Um tubo fechado nas duas pontas também tem condições simétricas e, no modelo simples, a mesma sequência de frequências, com nós de deslocamento em ambas.

Exemplo resolvido 2: tubo aberto

Considere um tubo ideal de 0,85 m aberto nas duas pontas e suponha rapidez do som de $340\ \mathrm{m/s}$ neste exercício. Na fundamental cabe meio comprimento de onda: $\lambda_1=2L=1.70\ \mathrm{m}$. A frequência é $f_1=340/1.70=200\ \mathrm{Hz}$. O modo permitido seguinte é $f_2=400\ \mathrm{Hz}$, com $\lambda_2=0.85\ \mathrm{m}$.

Confira a geometria antes de confiar nas contas: as pontas abertas são ventres de deslocamento e o segundo modo acrescenta meio comprimento de onda no tubo. Confira também as unidades: metros por segundo divididos por metros resultam em segundos inversos, ou hertz. Os 340 m/s são um valor fornecido para o exercício, não uma rapidez universal do som; temperatura e meio podem mudá-la.

Tubo fechado-aberto admite harmônicos ímpares

Agora feche uma ponta e deixe a outra aberta. O deslocamento deve formar um nó em uma ponta e um ventre na outra. O padrão mais curto precisa de apenas um quarto de comprimento de onda em $L$: logo, $\lambda_1=4L$ e $f_1=v/(4L)$. O próximo padrão que atende às mesmas condições precisa de três quartos de comprimento de onda; depois, cinco:

$$L=(2k-1)\frac{\lambda_k}{4},\qquad f_k=(2k-1)\frac{v}{4L},\quad k=1,2,3,\ldots$$

As frequências são $f_1,3f_1,5f_1,\ldots$. “Só harmônicos ímpares” descreve essas condições ideais nas pontas. O segundo modo permitido é o terceiro harmônico, não o segundo. Essa distinção evita a resposta comum $2f_1$ para um tubo fechado-aberto. Se o enunciado disser “segunda ressonância”, use $3f_1$ neste modelo ideal.

Exemplo resolvido 3: tubo fechado em uma ponta

Use um tubo fechado-aberto de 0,50 m e o valor dado $v=340\ \mathrm{m/s}$. Primeira ressonância: $\lambda_1=4(0.50)=2.0\ \mathrm{m}$, então $f_1=340/2.0=170\ \mathrm{Hz}$. Segunda ressonância permitida: $3f_1=510\ \mathrm{Hz}$, com $\lambda=340/510\approx0.667\ \mathrm{m}$. Três quartos desse comprimento de onda são aproximadamente 0,50 m, cabendo no tubo. Já $2f_1=340\ \mathrm{Hz}$ exigiria um padrão de deslocamento que não atende a uma das condições de extremidade.

Confira as condições de contorno: ponta fechada é nó de deslocamento e ventre de pressão; ponta aberta é ventre de deslocamento e nó de pressão. Depois confira unidades, numeração dos harmônicos ímpares e $v=f\lambda$. As quatro verificações devem concordar antes de você aceitar a resposta.

Ondas estacionárias mostram frequências possíveis; estes exemplos de intensidade calculam potência por área conforme a distância.

Onde o modelo ideal termina

O ar na boca de um tubo aberto não para exatamente na borda física. Por isso um tubo real tem comprimento acústico efetivo ligeiramente diferente do medido. Isso se chama correção de extremidade; as notas da Universidade de Connecticut sobre colunas de ar explicam a diferença. O tamanho da correção depende da abertura e do ambiente, então uma fórmula para um tubo perfeitamente ideal não prevê cada ressonância real com precisão de um hertz. Nos exemplos anteriores, o enunciado usa explicitamente o modelo simples de contorno e o $L$ medido como comprimento efetivo.

A temperatura muda a rapidez do som; as hipóteses de paredes rígidas e as perdas também importam. Rigidez e amortecimento de uma corda podem deslocar ou borrar os modos. São motivos para ler as hipóteses, não para abandonar o desenho dos nós. O desenho mostra de qual família ideal partir e qual correção um problema mais avançado pode exigir.

Não transfira a regra dos harmônicos ímpares para toda fonte sonora. Ela pertence a um tubo com uma ponta aproximadamente fechada e outra aproximadamente aberta. Uma coluna de ar aberta nas duas pontas tem a sequência inteira no mesmo modelo ideal. Uma corda vibrante segue suas próprias condições de pontas fixas. A condição na extremidade, não o nome do instrumento, escolhe a fórmula.

Pratique o preparo antes das contas

Em um problema novo, desenhe as condições das extremidades, escreva se os nós representam deslocamento ou pressão, conte a fração permitida de $\lambda$ e só depois substitua $v$ e $L$. Termine verificando ao contrário com $v=f\lambda$. Essa última linha pega muitos erros de fator dois.

A prática de Ondas e som no Physics Zen inclui a habilidade de ondas estacionárias em cordas e tubos, com valores novos e soluções conferidas. Use os três exemplos daqui como modelos: rapidez da corda a partir de tração e densidade, tubo aberto com meio comprimento de onda e tubo fechado-aberto com contagens ímpares de quartos de onda.

Perguntas frequentes

Por que não existe segundo harmônico em um tubo fechado-aberto? Um padrão de meio comprimento de onda não consegue ter um nó de deslocamento em uma ponta e um ventre na outra. Só um, três, cinco e as demais contagens ímpares de quartos de onda satisfazem ambas no modelo ideal.

A ponta aberta é nó ou ventre? Para o deslocamento do ar é aproximadamente um ventre; para a variação de pressão, aproximadamente um nó. Diga qual grandeza está descrevendo antes de usar esses termos.

Posso usar diretamente o comprimento medido do tubo? Use o comprimento indicado em um exercício de livro sob suas hipóteses ideais. Medidas reais podem pedir uma correção de extremidade; verifique se o comprimento informado é físico ou efetivo.