Erros de física que na verdade são erros de matemática e como corrigi-los

Abra uma solução desenvolvida após errar uma resposta e encontre onde os dois caminhos se separam. O diagrama de corpo livre está correto. A equação é a certa. Mas, uma linha depois, o atrito está com o sinal errado, um tempo negativo foi mantido ou a resposta é exatamente 3,6 vezes grande demais.

Nenhum desses é um erro de conceito físico. São erros de matemática dentro de um problema de física. Essa distinção importa porque a correção é diferente: reler o capítulo de forças não impedirá que você escreva $\cos\theta$ onde deveria escrever $\sin\theta$.

A seguir estão os sete erros matemáticos que vemos com mais frequência nas soluções do Physics Zen: como cada um aparece no papel, um teste rápido para detectá-lo e a habilidade específica a praticar. Para matemática, indicamos nosso aplicativo irmão Math Zen, que gera problemas novos para cada habilidade da mesma forma que o Physics Zen faz com física.

1. Erros de sinal: escolha uma direção e mantenha-a

Uma bola é lançada para cima a $12\ \text{m/s}$. Se o sentido positivo for para cima, a aceleração será $-9.8\ \text{m/s}^2$ durante todo o voo, inclusive na descida. Após dois segundos, a velocidade é

$$v = 12 + (-9.8)(2) = -7.6\ \text{m/s}$$

O sinal negativo é informação: a bola se move para baixo. Não significa que ela está “desacelerando” nem é um erro a corrigir apagando o menos.

Erros de sinal surgem quando você muda o sentido positivo no meio do problema ou trata um número negativo como um positivo menor. O teste é simples: escreva a direção do eixo no alto da página e interprete todos os sinais em relação a ela. Se uma grandeza aponta para o outro lado, é negativa e deve continuar negativa em todas as linhas seguintes.

O mesmo hábito impede a troca dos sinais no numerador e no denominador de um exemplo resolvido do efeito Doppler.

A habilidade de fundo é a aritmética com números negativos. O guia de números negativos do Math Zen começa do básico. Pratique e depois volte à queda livre em Cinemática, em que o sinal de $g$ importa em cada problema.

2. Reorganizar errado uma fração ou um quadrado

A aceleração centrípeta é $a = \frac{v^2}{r}$. Ao pedir a rapidez, um número surpreendente de soluções escreve $v = ar$ e para. O rearranjo correto multiplica por $r$ e depois tira a raiz quadrada:

$$v = \sqrt{ar}$$

O mesmo acontece com a energia cinética, $E_k = \tfrac{1}{2}mv^2$, da qual a rapidez é $v = \sqrt{\frac{2E_k}{m}}$. Esquecer o fator dois ou a raiz é um erro de álgebra.

O teste é substituir a resposta na fórmula original usando os dados do problema. Se os dois lados não coincidirem, o rearranjo está errado. Leva vinte segundos e detecta quase todos esses casos.

Rearranjo de equações é praticado no tema Álgebra do Math Zen, e o guia de álgebra explica por que cada passo é permitido. Na física, movimento circular e trabalho e energia usam esses dois rearranjos constantemente.

3. Trocar seno e cosseno na componente

Em uma rampa de ângulo $\theta$, a componente do peso ao longo dela é $mg\sin\theta$ e a componente que aponta para dentro dela é $mg\cos\theta$. Se trocar as duas, normal, atrito e aceleração sairão errados mesmo com diagrama de corpo livre correto.

A regra: a componente adjacente ao ângulo conhecido usa cosseno; a oposta usa seno. Em uma rampa, o ângulo em sua base é o mesmo entre o vetor peso e a direção normal, por isso a componente normal leva cosseno.

O teste é um caso limite. Faça $\theta = 0$. A superfície fica plana, então não deve haver componente puxando o bloco ao longo dela. $mg\sin 0 = 0$: a versão com seno passa. Se você tivesse escrito $mg\cos\theta$ para essa componente, o caso plano daria uma força lateral igual a todo $mg$, sem sentido. Faça a mesma verificação em $90^\circ$ se ainda tiver dúvida.

Isso é trigonometria de triângulos retângulos e nada mais avançado. O guia de trigonometria do Math Zen mostra seno e cosseno como coordenadas em uma circunferência, tornando clara a regra de adjacente e oposto, e o tema Trigonometria permite praticá-la. Depois volte ao plano inclinado em Dinâmica ou leia nosso guia das leis de Newton para entender a física que o cerca.

4. Equações quadráticas e a raiz que você descarta

Uma pedra é lançada para cima a $15\ \text{m/s}$ de uma ponte $20\ \text{m}$ acima da água. Quando ela atinge a água? Escolhendo para cima como positivo e a ponte como origem:

$$-20 = 15t - 4.9t^2$$

Essa é uma equação quadrática em $t$. A fórmula fornece aproximadamente $t = 4.07\ \text{s}$ e $t = -1.00\ \text{s}$. A raiz negativa não é matemática errada: seria o instante em que uma pedra na mesma parábola teria passado pelo nível da água enquanto subia, antes do lançamento. A física a descarta. A álgebra primeiro precisa encontrar as duas.

Os erros aqui incluem trocar sinais na fórmula quadrática, usar $b$ em vez de $-b$ e errar a aritmética sob a raiz. Confira substituindo a raiz escolhida na equação; deve resultar em $-20$ dentro da margem de arredondamento.

O guia de equações quadráticas do Math Zen explica de onde vem a fórmula, e a habilidade do tema Álgebra gera novos exercícios. Problemas de projéteis em Cinemática, gratuita no Physics Zen, usam esse método quando o tempo é incógnita, como no lançamento do penhasco dos nossos exemplos resolvidos de projéteis.

5. Unidades, prefixos e potências de dez

Um carro a $72\ \text{km/h}$ freia até parar em $4\ \text{s}$. Se você usar a rapidez como $72$, a desaceleração sai $18\ \text{m/s}^2$, capaz de lançar o motorista contra o para-brisa. Convertida para $20\ \text{m/s}$, a resposta plausível é $5\ \text{m/s}^2$.

Dividir por $3.6$ não é um fato de física. Resulta de $1000$ metros por quilômetro divididos por $3600$ segundos por hora, um problema de razão. A mesma família de erros inclui converter centímetros para metros sem elevar ao quadrado o fator quando se trata de área e ler $6.67 \times 10^{-11}$ como número grande porque o expoente parece grande.

O teste é verificar se a resposta faz sentido: aceleração maior que $g$ para um carro comum, rapidez maior que a do som para uma bola lançada ou milhões de joules de energia para uma bola de tênis indicam erro de unidade. Procure o fator antes de procurar um erro de física.

Os guias de razões e proporções e expoentes do Math Zen cobrem ambos os aspectos, e o tema Aritmética permite praticá-los. Movimento uniforme, a primeira habilidade gratuita no Physics Zen, pede a conversão de km/h na maioria dos problemas.

6. Gráficos: inclinação não é altura

Em um gráfico velocidade-tempo, a inclinação é a aceleração e a área entre a linha e o eixo é o deslocamento. Uma resposta comum para “quando a aceleração é maior?” aponta para o trecho mais alto do gráfico. Esse trecho indica a maior velocidade. A maior aceleração aparece onde a linha é mais inclinada.

O segundo erro comum é ignorar o sinal de uma área. A área abaixo do eixo do tempo representa deslocamento negativo. Um gráfico que sobe acima do eixo e depois desce pode mostrar grande distância percorrida e deslocamento zero.

O teste: antes de responder, diga em voz alta se a pergunta pede inclinação, altura ou área. Depois encontre a grandeza. Parece simples demais para ajudar, mas funciona.

Ler inclinações e áreas sem física envolvida é exatamente a prática do tema Análise de gráficos do Math Zen. Nosso guia de cinemática explica por que inclinação e área têm esses significados físicos.

7. Duas incógnitas, uma equação

Uma colisão elástica conserva quantidade de movimento e energia cinética, fornecendo duas equações para duas velocidades finais. Um circuito com duas baterias exige escrever a lei das malhas duas vezes; nosso guia das leis dos nós e das malhas de Kirchhoff resolve um exemplo. Um problema de projéteis tem equações horizontal e vertical que compartilham o tempo de voo.

O erro é tentar resolver uma equação com duas incógnitas ou substituir na mesma equação que você acabou de usar. Conte incógnitas e equações independentes e não comece a resolver até os números coincidirem.

São sistemas de equações, praticados como sistemas lineares no tema Álgebra do Math Zen. No Physics Zen, a estrutura aparece em quantidade de movimento e colisões e circuitos, e nosso guia de quantidade de movimento mostra por que colisões precisam das duas equações.

A correção: uma parada curta na matemática e de volta à física

Cada linha abaixo mostra um erro, a habilidade matemática por trás dele e o tema de física ao qual voltar depois de dominá-la.

A rotina que funciona é breve. Quando uma solução desenvolvida mostrar uma etapa matemática que você errou, dedique dez minutos àquela habilidade com problemas novos e depois volte para resolver mais três problemas de física do mesmo tema. Não releia teoria que você já entendeu.

Math Zen foi criado pela mesma equipe do Physics Zen e segue o mesmo processo: problema gerado, correção imediata e solução passo a passo. Está disponível para iPhone e Android. O blog do Math Zen tem o reflexo deste artigo, a matemática necessária para física, organizado por tema de física em vez de tipo de erro.

Um sinal esquecido não indica que você não entende forças. Indica que uma habilidade pequena precisa de cinco minutos dedicados. Depois disso, a física que você já entende rende o ponto.