Entenda a quantidade de movimento: por que se conserva nas colisões

Empurre um carrinho de compras e um caminhão de mudanças carregado pelo estacionamento na mesma rapidez de caminhada. Depois tente parar cada um. A rapidez é igual, mas a dificuldade não tem comparação. As leis de Newton permitem calcular a força necessária a cada instante, e a energia diz quanto trabalho custa pará-los. Ainda assim, nenhuma delas expressa diretamente o que você sente: quanto movimento precisa eliminar.

A física chama essa grandeza de quantidade de movimento. Ela é o segundo grande livro-caixa da mecânica. O artigo sobre trabalho e energia apresentou o primeiro, um balanço escalar entre dois instantes. A quantidade de movimento oferece um balanço vetorial com a mesma propriedade e uma enorme vantagem que a energia cinética não tem: o balanço continua fechando quando a colisão é violenta, desordenada e dissipa energia. Carros que amassam, argila que gruda e projéteis que ficam presos em blocos perdem energia cinética, mas conservam a quantidade de movimento total.

Este é o quarto artigo da série de mecânica, depois de Cinemática, Leis de Newton e Trabalho e energia. Veremos o que a quantidade de movimento mede, por que o impulso é uma forma fiel de expressar a segunda lei de Newton, por que o total se conserva nas colisões, em que os três tipos de colisão diferem e como escolher o balanço certo para cada etapa de um problema.

Quantidade de movimento é o movimento que um objeto carrega

Quantidade de movimento é massa multiplicada pela velocidade:

$$\vec{p} = m\vec{v}$$

Sua unidade é quilograma metro por segundo. É um vetor, e isso importa. A quantidade de movimento aponta no sentido em que o objeto se move; valores em sentidos opostos se cancelam. Uma bola de 2 kg movendo-se para a direita a 3 m/s tem quantidade de movimento $+6$; a mesma bola para a esquerda tem $-6$. Duas bolas assim se aproximando têm quantidade de movimento total zero, embora ambas claramente se movam.

O carrinho e o caminhão têm a mesma rapidez, então suas quantidades de movimento diferem apenas pela massa: a do caminhão é cem vezes maior. Esse fator é exatamente a diferença que você sente ao tentar pará-los. Quantidade de movimento mede “quanto movimento” existe. Massa e velocidade contribuem igualmente: dobrar qualquer uma dobra a quantidade de movimento. Compare com a energia cinética, em que a rapidez entra ao quadrado, e já se vê por que as duas grandezas são confundidas.

Impulso é como Newton formulou a segunda lei

Newton não escreveu $F = ma$. Ele escreveu que a força é a taxa de mudança da quantidade de movimento, que em notação moderna é

$$\vec{F}_{\text{net}} = \frac{\Delta \vec{p}}{\Delta t}$$

Multiplique pelo tempo e você obtém o teorema do impulso e da quantidade de movimento:

$$\vec{F}_{\text{net}}\,\Delta t = \Delta \vec{p}$$

O lado esquerdo, força vezes duração, é o impulso, medido em newton segundos. O lado direito é a mudança da quantidade de movimento que ele produz. Para massa constante, isso é apenas $F = ma$ reorganizada, porque $\Delta p = m\Delta v$ e $\Delta v / \Delta t = a$. Mas a forma com impulso mostra algo que a forma com aceleração esconde: a mesma mudança de movimento pode ser obtida com força grande por pouco tempo ou força pequena por muito tempo.

Essa troca explica a física de todos esses dispositivos de segurança. Um carro a 15 m/s que para precisa perder toda a sua quantidade de movimento, qualquer que seja o obstáculo. Uma parede rígida o para em alguns centésimos de segundo, então a força é enorme. Uma zona de deformação prolonga a parada por alguns décimos e reduz a força na mesma proporção. Um airbag faz o mesmo para sua cabeça. Receber uma bola de críquete puxando as mãos para trás, aterrissar de um salto com os joelhos flexionados e usar piso acolchoado em uma academia funcionam do mesmo modo: não mudam $\Delta p$, então aumentam $\Delta t$ para reduzir $F$.

Em um gráfico força-tempo, o impulso é a área sob a curva; assim são tratadas forças variáveis. Uma força de colisão que sobe até um pico e cai fornece impulso igual à área sob esse pico. A força média é essa área dividida pela duração.

Por que o total se conserva

Agora considere dois objetos em colisão. Durante o contato, A empurra B e B empurra A de volta. Pela terceira lei de Newton, essas forças têm a mesma intensidade e sentidos opostos; atuam pelo mesmo tempo, pois o contato começa e termina no mesmo instante para ambos. O impulso sobre A é o negativo do impulso sobre B, e o mesmo vale para a mudança da quantidade de movimento:

$$\Delta \vec{p}_A = -\Delta \vec{p}_B \quad\Rightarrow\quad \vec{p}_A + \vec{p}_B = \text{constant}$$

Tudo o que um objeto perde de quantidade de movimento, o outro ganha, até o último grama metro por segundo. O total não muda. Essa é a conservação da quantidade de movimento. Repare no que ela não exigiu: não importou a violência da colisão, se os objetos ricochetearam ou ficaram unidos, nem quanta energia virou calor e som. Forças internas se cancelam aos pares, sempre, então nada que um sistema faça consigo mesmo altera sua quantidade de movimento total.

Só uma força externa pode mudá-la: atrito com o chão, gravidade ou uma parede. Por isso os problemas especificam “durante a colisão”: o contato é tão breve que as forças externas não têm tempo para fornecer impulso significativo, de modo que o total imediatamente antes é igual ao total imediatamente depois. Um fogo de artifício parado tem quantidade de movimento zero antes de explodir e total zero logo após, embora todos os fragmentos estejam se movendo; suas quantidades de movimento se cancelam.

Os três tipos de colisão

A quantidade de movimento se conserva em todos eles. O que muda é a energia cinética: essa é a distinção que um problema de colisões pede.

Perfeitamente inelástica: os objetos ficam unidos. Um vagão em movimento bate em outro parado e eles se acoplam; um projétil fica preso em um bloco; dois carros se engancham. Após a colisão há um único corpo com massa combinada e velocidade comum. A conservação da quantidade de movimento fornece essa velocidade imediatamente:

$$m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2)\,v_f$$

A energia cinética final é sempre menor que a inicial, e esse caso perde o máximo possível compatível com a conservação da quantidade de movimento. Para onde foi a energia? Para deformação, calor e som, o mesmo termo $f d$ que representou o atrito no artigo de energia. Se os objetos ficam unidos, use a quantidade de movimento e não escreva $K_1 = K_2$, porque seria falso.

Elástica: os objetos ricocheteiam sem perda de energia cinética. Bolas de bilhar, esferas de aço e, com boa aproximação, moléculas de gás são exemplos. Conservam-se quantidade de movimento e energia cinética, o que dá duas equações para duas velocidades finais desconhecidas. O caso mais simples é o de massas iguais em uma dimensão: a bola que se movia para completamente e a que estava parada sai com a rapidez inicial, a jogada conhecida por quem joga bilhar. Em uma colisão elástica frontal, a rapidez relativa de aproximação é igual à de afastamento, um atalho que evita a álgebra quadrática.

Inelástica, mas não perfeitamente: ricocheteiam e perdem parte da energia cinética. Quase todas as colisões reais são assim: uma bola que não volta à altura de onde caiu, um acidente em que os carros se separam ou um saque de tênis. A quantidade de movimento se conserva; a energia cinética cai em uma quantidade que o problema informa ou pede para calcular. Você precisa de mais uma informação além da conservação da quantidade de movimento.

Para lembrar os três casos: escreva sempre a equação de conservação da quantidade de movimento. Acrescente a de energia cinética apenas quando o problema disser que a colisão é elástica, nunca quando os objetos ficarem unidos.

Dois casos resolvidos

Um carrinho bate em outro parado e eles se acoplam. Um carrinho de 3 kg a 4 m/s bate em outro de 1 kg em repouso e os dois ficam unidos. A quantidade de movimento antes é $3 \times 4 + 1 \times 0 = 12$. Depois, o conjunto de 4 kg se move a $12 / 4 = 3\ \mathrm{m/s}$. A energia cinética inicial é $\tfrac{1}{2}(3)(16) = 24\ \mathrm{J}$; a final é $\tfrac{1}{2}(4)(9) = 18\ \mathrm{J}$. Seis joules viraram calor e o som do acoplamento. Quantidade de movimento: perfeitamente equilibrada. Energia cinética: caiu um quarto. Esse é o significado numérico de “inelástica”.

Recuo. Uma pessoa de 60 kg, parada de patins sobre o gelo, lança uma bola de 2 kg para a frente a 15 m/s. A quantidade de movimento total inicial é zero; depois, a da pessoa deve cancelar a da bola: $60\,v = -2 \times 15$. Isso dá $v = -0.5\ \mathrm{m/s}$, meio metro por segundo para trás. Ninguém empurrou a pessoa; ela empurrou a bola, e a terceira lei explica o resto. Foguetes, armas e o tranco de uma mangueira de incêndio seguem o mesmo cálculo com outros números.

Quantidade de movimento ou energia: qual balanço usar?

As duas grandezas conservadas respondem a perguntas diferentes. Um erro comum é escolher a mais conhecida em vez da adequada.

Use o balanço da quantidade de movimento quando:

• Dois ou mais objetos interagem e você quer uma velocidade logo após a interação.
• O problema diz que os objetos grudam, se acoplam, ficam presos, explodem, recuam ou colidem.
• A energia cinética claramente não se conserva porque algo se deformou ou ficou grudado.
• Você precisa de força a partir do tempo e de uma mudança de velocidade, ou do inverso.

Use o balanço de energia quando:

• Um objeto muda de altura ou percorre um caminho e você quer sua rapidez em outro ponto.
• O problema diz que a colisão é elástica e você precisa de uma segunda equação.
• O atrito ao longo de uma distância conhecida é a única perda.

Os dois balanços colaboram o tempo todo. O pêndulo balístico é a passagem clássica: um projétil fica preso em um bloco pendurado (quantidade de movimento, pois eles se unem); depois, o bloco sobe até certa altura (energia, porque agora é um corpo só se elevando contra a gravidade). Se você inverter a ordem ou usar energia na etapa em que o projétil fica preso, o resultado terá um grande erro. A habilidade não é apenas conhecer as duas leis, mas perceber a qual delas pertence cada etapa.

De onde vêm os erros

Tratar a quantidade de movimento como um escalar. Retirar o sinal de uma velocidade em uma colisão frontal muda completamente a resposta. Escolha um sentido positivo, escreva todas as velocidades com seus sinais e confira se o sinal final faz sentido físico.

Conservar energia cinética em uma colisão que une os objetos. Se o enunciado diz que eles se acoplam, houve perda de energia cinética. Escrever $K_{\text{before}} = K_{\text{after}}$ produz uma contradição ou uma rapidez errada. Use somente quantidade de movimento.

Esquecer que impulso é força vezes tempo, não apenas força. Uma força pequena mantida por muito tempo pode fornecer mais impulso que uma força grande e breve. O que importa é a área sob o gráfico força-tempo.

Aplicar conservação da quantidade de movimento em um intervalo longo com forças externas. A quantidade de movimento de um carro não se conserva enquanto ele sobe uma colina, pois gravidade e atrito fornecem impulso durante esse tempo. A conservação vale para interações breves ou sistemas sem força externa resultante.

Confundir qual massa se move depois. Em uma colisão perfeitamente inelástica, move-se a massa conjunta. Em uma elástica, as duas massas mantêm sua identidade e podem ter velocidades diferentes. Procure no enunciado se elas ficam unidas.

Para que serve a quantidade de movimento

A cinemática descreveu o movimento; as leis de Newton explicaram suas causas; trabalho e energia permitiram ignorar o caminho. A quantidade de movimento permite ignorar os detalhes da colisão. Você não precisa conhecer força, duração nem formato do contato: basta conhecer as quantidades de movimento que entram, pois o total que sai será o mesmo. É o balanço que sobrevive à violência de um choque.

Ela também aponta para outros temas. O momento angular aplica a mesma ideia a corpos em rotação e ajuda a explicar por que um giroscópio fica em pé e uma patinadora gira mais rápido ao recolher os braços. A forma impulso-quantidade de movimento da segunda lei continua válida na relatividade, em que $F = ma$ não vale da mesma maneira. E a própria lei de conservação, que parecia vir da terceira lei de Newton, resulta de algo mais profundo: as leis da física são iguais aqui e um metro à esquerda. Por trás de cada lei de conservação há uma simetria; a da quantidade de movimento é a mais simples.

Para fixar o tema, use o processo apresentado em Como estudar física de forma eficaz: escolha um sentido positivo, escreva as quantidades de movimento antes e depois com sinal, decida pelo enunciado se a energia cinética também se conserva, resolva e confira sinais e limites. O tema Quantidade de movimento e colisões no Physics Zen, cujas quatro primeiras habilidades são gratuitas e só a última, Centro de massa, exige Premium, repete isso com números novos em impulso e força média, colisões em que os corpos ficam unidos e recuo, e colisões elásticas começando por massas iguais. Assim você aprende a escolher o balanço certo, em vez de decorar um exemplo resolvido.