Leis de Kirchhoff: nós e malhas com exemplos resolvidos

Duas baterias, três resistores e uma pergunta: em que sentido a corrente atravessa a bateria menor? Muitos estudantes desenham uma seta saindo do terminal positivo dela, porque é isso que baterias costumam fazer. No circuito abaixo, esse palpite está errado, e a álgebra revela isso com um número negativo. Interpretar corretamente o sinal de menos é grande parte do trabalho com as leis de Kirchhoff.

Este guia apresenta as duas leis, uma tabela com os sinais ao atravessar componentes e um circuito de duas malhas em que supomos de propósito uma corrente no sentido errado. Termina com um circuito em ponte, o caso clássico em que não é possível começar reduzindo série e paralelo. Tudo usa fios ideais, baterias ideais sem resistência interna e corrente contínua em regime permanente.

A lei dos nós faz a contabilidade da carga

Um nó é um ponto onde três ou mais fios se encontram. A primeira lei de Kirchhoff, lei dos nós ou lei das correntes, diz que a corrente total que entra em um nó é igual à que sai:

$$\sum I_{\text{in}}=\sum I_{\text{out}}$$

O capítulo da OpenStax sobre as leis de Kirchhoff fundamenta isso na conservação da carga: corrente é fluxo de carga, a carga não se acumula em um fio e tudo o que chega ao nó deve sair. Se 3 A chegam por um fio e 2 A saem por outro, o terceiro conduz 1 A para fora.

Você pode aplicar a lei a todos os nós, mas em um circuito com $n$ nós apenas $n-1$ dessas equações são independentes. A última repete informação já conhecida.

A lei das malhas faz a contabilidade do potencial

A segunda lei de Kirchhoff, lei das malhas ou lei das tensões, diz que a soma de todas as mudanças de potencial ao percorrer qualquer caminho fechado é zero:

$$\sum \Delta V=0$$

Você termina no mesmo ponto em que começou, e cada ponto tem um único potencial. A OpenStax relaciona a lei à energia: a energia fornecida por uma fonte às cargas na malha é depois transferida pelos dispositivos nela.

A lei é simples. Os sinais são onde se perdem pontos, então defina-os de uma vez:

São as mesmas quatro regras da OpenStax. Observe duas coisas. O sinal do resistor depende da seta de corrente que você desenhou, não da corrente verdadeira, ainda desconhecida. O sinal da bateria depende apenas do terminal encontrado primeiro, nunca da corrente que a atravessa.

Circuito de duas malhas com um palpite errado

Imagine dois fios horizontais: o de cima se une no nó A e o de baixo no nó B. Três ramos verticais os conectam:

As setas de $I_1$ e $I_3$ saem dos terminais positivos. É um palpite natural e, para a bateria de 3 V, errado. Não tente evitá-lo: o método lida com isso.

Nó A. Duas correntes entram e uma sai:

$$I_1+I_3=I_2$$

Malha esquerda. Comece em B, suba pelo ramo esquerdo, atravesse a parte de cima até A e desça pelo ramo central até B. Atravessar a bateria de 12 V do terminal − para o + dá $+12$. Atravessar o resistor de 2 Ω no sentido de $I_1$ dá $-2I_1$. Descer pelo meio no sentido de $I_2$ dá $-3I_2$:

$$12-2I_1-3I_2=0$$

Malha direita. Comece em B, suba pelo ramo direito até A e desça pelo central:

$$3-3I_3-3I_2=0$$

Três incógnitas, três equações independentes. Agora resolva.

Resolva e depois interprete o sinal

A malha direita se simplifica para $I_2+I_3=1$, então $I_3=1-I_2$. Use a equação do nó na malha esquerda, substituindo $I_1$ por $I_2-I_3$:

$$12-2(I_2-I_3)-3I_2=0\quad\Rightarrow\quad 12-5I_2+2I_3=0$$

Substitua $I_3=1-I_2$:

$$12-5I_2+2-2I_2=0\quad\Rightarrow\quad I_2=2\ \mathrm{A}$$

Depois $I_3=1-2=-1\ \mathrm{A}$ e $I_1=I_2-I_3=2-(-1)=3\ \mathrm{A}$.

O sinal negativo de $I_3$ é a lição central. O módulo, 1 A, está certo. O sentido é oposto à seta: a corrente passa para baixo pelo ramo direito, entrando na bateria de 3 V pelo terminal positivo. A OpenStax diz exatamente isso: corrente suposta no sentido errado sai negativa, mas a resposta está correta.

Dois hábitos impedem que o sinal cause problemas:

• Não inverta a seta para recomeçar. As equações foram construídas com suas setas e são consistentes com elas.
• Mantenha o valor negativo em cada etapa seguinte. $I_1=I_2-I_3$ dá 3 A apenas se $I_3$ entrar como $-1$. Retirar o sinal dá 1 A e espalha o erro.

Fisicamente, a bateria de 12 V está fazendo a corrente atravessar a de 3 V ao contrário. Uma célula recarregável nessa posição estaria sendo carregada. Se a álgebra do sistema parecer complicada, nosso guia de erros de física que na verdade são erros de matemática tem uma seção sobre duas incógnitas e equações simultâneas.

Verifique duas vezes: tensão entre nós e balanço de potência

Tensão entre nós. Todos os ramos ligam A a B, então devem fornecer a mesma diferença de potencial $V_A-V_B$. Meio: $3\times2=6\ \mathrm{V}$. Esquerda: a bateria eleva o potencial em 12 V e o resistor reduz em $2\times3=6\ \mathrm{V}$, restando 6 V. Direita: $3-3\times(-1)=6\ \mathrm{V}$. Três ramos, uma resposta.

Balanço de potência. A OpenStax recomenda conferir uma solução de Kirchhoff comparando a potência fornecida pelas fontes com a absorvida pelos outros componentes. Aqui:

Fornecida: 36 W. Absorvida: 18 + 12 + 3 + 3 = 36 W. O balanço só fecha se a bateria de 3 V for contada como absorvendo potência: a corrente negativa reaparece em termos de energia. Se você interpretasse $I_3$ como +1 A, as contas ficariam com diferença de 6 W.

Quando a redução em série e paralelo basta

Nosso guia de circuitos em série e paralelo reduz uma rede passo a passo: ache dois resistores em um caminho sem ramificações ou entre os mesmos dois nós, combine-os e repita. Quando funcionar, use esse método. É uma aplicação já pronta das leis de Kirchhoff.

Ele deixa de funcionar em duas situações. A primeira é o circuito acima: com uma bateria em dois ramos diferentes, nenhum par de ramos pode virar um único resistor. A segunda é uma ponte. Ligue uma fonte de 12 V entre os nós A e B. Um lado esquerdo vai de A por 1 Ω até C e depois por 4 Ω até B. Um lado direito vai de A por 4 Ω até D e depois por 1 Ω até B. Um resistor de ponte de 2 Ω liga C a D.

Nenhum par de resistores compartilha as duas extremidades, e nenhum está sozinho em um caminho sem ramificações. A redução não tem por onde começar. A OpenStax observa que muitos circuitos são assim. Em vez disso, escreva a lei dos nós em C e D, adotando B como 0 V:

$$\frac{12-V_C}{1}=\frac{V_C}{4}+\frac{V_C-V_D}{2},\qquad \frac{12-V_D}{4}=\frac{V_D}{1}+\frac{V_D-V_C}{2}$$

A solução é $V_C=8\ \mathrm{V}$ e $V_D=4\ \mathrm{V}$. Assim, 2 A atravessam a ponte de C para D, a fonte fornece 6 A e a rede equivale a 2 Ω. Confira em C: 4 A chegam pelo resistor de 1 Ω, 2 A saem pelo de 4 Ω e 2 A pela ponte.

O atalho tentador é ignorar a ponte e tratar os lados como dois caminhos de 5 Ω em paralelo. Isso dá 2,5 Ω e 4,8 A, 20 por cento abaixo dos 6 A reais. O atalho só vale se a ponte estiver equilibrada, isto é, se os lados dividirem a tensão na mesma proporção, C e D tiverem o mesmo potencial e nenhuma corrente atravessar a ponte. Aqui o lado esquerdo tem 1 Ω em cima e o direito 4 Ω em cima; as proporções estão invertidas e a corrente atravessa a ponte.

Dois circuitos para praticar, com respostas

1. Duas baterias descarregando. Use a disposição anterior de duas malhas, com bateria de 12 V e resistor de 3 Ω no ramo esquerdo, 2 Ω no meio e bateria de 9 V com resistor de 3 Ω no direito, ambos os terminais + em cima. Encontre as três correntes e confira a potência. Respostas: $I_1=2\ \mathrm{A}$, $I_2=3\ \mathrm{A}$ e $I_3=1\ \mathrm{A}$, todas nos sentidos das setas originais, e $V_A-V_B=6\ \mathrm{V}$. Potência: $24+9=33\ \mathrm{W}$ fornecidos, $12+18+3=33\ \mathrm{W}$ nos resistores.

2. Ponte equilibrada. Mesma estrutura de ponte a 12 V, lado esquerdo com 1 Ω seguido de 2 Ω, lado direito com 2 Ω seguido de 4 Ω e qualquer resistor na ponte. Encontre as correntes da ponte e da fonte. Respostas: $V_C=V_D=8\ \mathrm{V}$, então a ponte conduz 0 A; os lados são 3 Ω e 6 Ω em paralelo, equivalentes a 2 Ω, e a fonte fornece 6 A. Aqui, e só aqui, é permitido retirar a ponte.

Pratique até os sinais ficarem automáticos

O método não muda entre circuitos: desenhe setas primeiro, aplique a lei dos nós, escreva as malhas pela tabela de sinais, resolva, interprete os sinais e confira a potência. O que muda é a rapidez com que você faz isso sem hesitar diante de um menos. Kirchhoff aparece na unidade de eletricidade do nosso plano de estudos de física A-Level. Os mesmos hábitos se aplicam a redes de capacitores, em que nosso guia de capacitores em série e paralelo usa a conservação da carga em uma junção de modo semelhante.

No Physics Zen, o tema Circuitos avança da lei de Ohm e das conexões em série e paralelo para a potência elétrica e uma habilidade de leis de Kirchhoff com circuitos de duas fontes. Ela exige Premium no iPhone e Android. Cada problema tem valores novos, correção imediata e solução passo a passo, permitindo praticar a interpretação de corrente negativa até que deixe de parecer um erro.