Capacitores em série e paralelo: carga, tensão e capacitância

Dois capacitores de 6 microfarads ligados à mesma fonte de 12 volts podem produzir capacitâncias equivalentes diferentes. Ligados aos mesmos dois nós, o equivalente é 12 microfarads. Ligados um após o outro, é 3 microfarads. Os componentes não mudaram: a conexão decide qual grandeza compartilham.

Em redes de capacitores, a pergunta útil não é “qual fórmula lembro?”, mas “quais duas placas compartilham os mesmos nós e qual junção está isolada?”. Este guia usa capacitores e fios ideais e uma tensão constante aplicada, em regime permanente, a uma rede cujos capacitores e junções internas isoladas não tinham carga inicialmente. Esses pressupostos importam para a regra habitual de cargas iguais em série.

Comece com carga por volt

Um capacitor tem duas placas condutoras separadas. No modelo simples, uma placa tem carga $+Q$ e a outra, $-Q$. O símbolo $Q$ representa o módulo da carga em cada placa, não a soma dos módulos de ambas. A capacitância indica quanto dessa carga é armazenado por volt entre as placas:

$$C=\frac{Q}{V},\qquad Q=CV$$

Um farad equivale a um coulomb por volt. Em exemplos, microfarads e microcoulombs mantêm os números manejáveis: $1\ \mu\mathrm{F}\times1\ \mathrm{V}=1\ \mu\mathrm{C}$. Assim, um capacitor de 6 microfarads submetido a 12 volts tem em cada placa carga de módulo $Q=72\ \mu\mathrm{C}$. A seção da OpenStax sobre capacitância define essa relação.

Não confunda capacitância com a própria carga. A capacitância é uma propriedade do componente ideal; a carga muda quando a tensão entre as placas muda. Também não some os módulos das cargas nas placas positiva e negativa para afirmar que um capacitor armazena duas vezes $Q$. Sua carga líquida é zero, enquanto as placas têm cargas iguais e opostas.

Paralelo: uma tensão, cargas que se somam

Dois capacitores estão em paralelo se cada um se liga ao mesmo par de nós. Ambos recebem a mesma diferença de potencial $V$. Cada um tem seu módulo de carga nas placas, $Q_1=C_1V$ e $Q_2=C_2V$. A fonte fornece a soma às placas do lado positivo:

$$Q_{\mathrm{total}}=Q_1+Q_2=(C_1+C_2)V$$

Como para o capacitor equivalente $Q_{\mathrm{total}}=C_{\mathrm{p}}V$,

$$C_{\mathrm{p}}=C_1+C_2$$

Para mais capacitores em paralelo, basta somar as capacitâncias. Isso não significa que tenham cargas iguais. Sob a mesma tensão, o capacitor de maior capacitância armazena mais carga.

Ligue $C_1=2\ \mu\mathrm{F}$ e $C_2=4\ \mu\mathrm{F}$ a 12 volts. Ambos têm $V_1=V_2=12\ \mathrm{V}$. Seus módulos de carga são

$$Q_1=(2\ \mu\mathrm{F})(12\ \mathrm{V})=24\ \mu\mathrm{C},\qquad Q_2=(4\ \mu\mathrm{F})(12\ \mathrm{V})=48\ \mu\mathrm{C}$$

Juntos, retiram $72\ \mu\mathrm{C}$ da fonte, o equivalente a $(6\ \mu\mathrm{F})(12\ \mathrm{V})$. Tensão igual e cargas diferentes são exatamente o que $Q=CV$ prevê.

Série: um módulo de carga, tensões que se somam

Agora ligue os mesmos capacitores em sequência entre os terminais da fonte. Há uma junção interna entre eles sem um terceiro fio. No modelo estabelecido, ela começa com carga líquida zero e permanece isolada. A carga induzida em um lado deve ser equilibrada por carga igual e oposta no outro lado. Portanto, os dois capacitores adquirem o mesmo módulo de carga $Q$, embora os sinais de suas placas sejam diferentes.

A tensão da fonte é a soma dos módulos das tensões nos capacitores. Como $V_i=Q/C_i$,

$$V=V_1+V_2=\frac{Q}{C_1}+\frac{Q}{C_2}=Q\left(\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}\right)$$

O capacitor equivalente também obedece a $V=Q/C_{\mathrm{s}}$, resultando em

$$\frac{1}{C_{\mathrm{s}}}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2},\qquad C_{\mathrm{s}}=\frac{C_1C_2}{C_1+C_2}\quad\text{for two capacitors}$$

Para 2 e 4 microfarads em série, $C_{\mathrm{s}}=8/6=4/3\ \mu\mathrm{F}$. A 12 volts, o módulo de carga comum é

$$Q=C_{\mathrm{s}}V=\frac{4}{3}\ \mu\mathrm{F}\times12\ \mathrm{V}=16\ \mu\mathrm{C}$$

O capacitor de 2 microfarads recebe $V_1=Q/C_1=8\ \mathrm{V}$; o de 4 microfarads recebe $V_2=4\ \mathrm{V}$. As tensões somam 12 volts. Com a mesma carga, a menor capacitância recebe a maior tensão. Cargas iguais não significam tensões iguais.

A capacitância equivalente em série é menor que a menor capacitância individual. Para entender, mantenha $Q$ fixa. As quedas de tensão se somam, então o conjunto exige mais volts por unidade de carga que qualquer componente isolado. Seu $Q/V$ total deve ser menor. A dedução da OpenStax para série e paralelo segue a mesma lógica de carga e tensão compartilhadas.

A regra de cargas iguais exige seus pressupostos. Um capacitor inicialmente carregado ou uma junção com carga líquida inicial diferente de zero pode exigir conservação da carga em cada nó. Uma rede em ponte talvez não possa ser reduzida por grupos simples em série e paralelo; a versão com resistores é resolvida pelas leis dos nós e das malhas de Kirchhoff. Descreva a configuração antes de usar o atalho.

Seja preciso com a palavra carga em uma solução de série. As duas placas voltadas uma para a outra na junção isolada têm sinais opostos. Dizer que “os dois capacitores têm carga $Q$” significa que os módulos das cargas nas placas são iguais; não significa que uma carga positiva atravessou o intervalo isolante entre elas. Da mesma forma, os 12 volts da fonte estão aplicados à sequência inteira, mas cada capacitor recebe apenas sua parcela. Lembre-se dos sinais das placas e dos terminais entre os quais mede a tensão, mesmo quando o exercício pede apenas magnitudes. Isso evita combinar uma fórmula correta de capacitância equivalente com uma atribuição errada de tensão ou carga.

Reduza uma rede mista e depois expanda

Considere um capacitor de 12 microfarads em série com um par paralelo de 2 e 4 microfarads. Ligue toda a rede a uma fonte de 12 volts. Primeiro associe o par paralelo:

$$C_{23}=2+4=6\ \mu\mathrm{F}$$

Agora a rede equivale a 12 microfarads em série com 6 microfarads:

$$C_{\mathrm{eq}}=\frac{12\times6}{12+6}=4\ \mu\mathrm{F}$$

A fonte fornece módulo de carga $Q_{\mathrm{eq}}=C_{\mathrm{eq}}V=48\ \mu\mathrm{C}$. Essa também é a carga no capacitor de 12 microfarads e no grupo equivalente de 6 microfarads, pois os grupos estão em série. O capacitor de 12 microfarads tem $V_1=48/12=4\ \mathrm{V}$. O grupo paralelo recebe os $8\ \mathrm{V}$ restantes.

Os dois capacitores dentro do grupo paralelo recebem 8 volts. Suas cargas são

$$Q_2=(2\ \mu\mathrm{F})(8\ \mathrm{V})=16\ \mu\mathrm{C},\qquad Q_3=(4\ \mu\mathrm{F})(8\ \mathrm{V})=32\ \mu\mathrm{C}$$

As cargas dos ramos somam $48\ \mu\mathrm{C}$, correspondendo à carga do grupo em série. A verificação das tensões é $4+8=12\ \mathrm{V}$. Um erro comum é atribuir 48 microcoulombs a cada ramo porque o grupo equivalente tem essa carga. O total do grupo é o que corresponde à carga do capacitor em série; seus ramos dividem o total conforme as capacitâncias.

Este exemplo tem a mesma estrutura do exemplo de rede mista da OpenStax, mas os passos servem para qualquer rede redutível: agrupe pelos nós compartilhados, reduza de dentro para fora, encontre a carga da fonte e depois volte. Não combine capacitores apenas porque aparecem próximos no desenho. Nosso guia de circuitos em série e paralelo explica como identificar nós, mas seus exemplos numéricos tratam de resistores, cujas fórmulas de série e paralelo funcionam ao contrário.

Quatro verificações antes de confiar na resposta

1. Topologia: componentes em paralelo compartilham os dois nós das extremidades. Em série, compartilham uma junção intermediária isolada sem ramo extra.
2. Magnitude: para capacitâncias ideais positivas, a equivalente em paralelo supera cada componente; a equivalente em série é menor que cada um.
3. Unidades: microfarads vezes volts dão microcoulombs. Não informe carga em farads nem capacitância em coulombs.
4. Reconstrução: as tensões dos ramos paralelos coincidem, as quedas em série somam a tensão da fonte e as cargas dos ramos somam a carga do grupo paralelo.

Tente uma verificação inversa curta. Dois capacitores em série têm $C_1=3\ \mu\mathrm{F}$ e $C_2=6\ \mu\mathrm{F}$ ligados a 18 volts. A equivalente é 2 microfarads, então cada um tem carga de módulo $36\ \mu\mathrm{C}$. Suas tensões são 12 e 6 volts. O capacitor maior recebe a tensão menor, e as quedas somam 18 volts. Se obteve 18 volts em ambos, aplicou por engano a regra do paralelo.

No tema Capacitores do Physics Zen, problemas de carga, capacitância e energia permitem praticar a relação básica antes das redes mistas. Anote o tipo de conexão e as unidades ao lado de cada cálculo. Com isso definido, a aritmética geralmente é a parte fácil.