Equações de projéteis: exemplos resolvidos do chão e de um penhasco

Uma bola sai do chão a 20 m/s, 30 graus acima da horizontal, e cai a cerca de 35 m. Lançada do mesmo jeito do alto de um penhasco de 15 m, cai a cerca de 53 m. Muitos estudantes obtêm 35 m também para o penhasco porque usam a fórmula do alcance sem conferir seus pressupostos. As equações do movimento de projéteis não são difíceis. A habilidade é reconhecer quais se aplicam ao lançamento à sua frente.

Este guia estabelece uma convenção de sinais, reúne cada equação e sua condição de uso em uma tabela e resolve o mesmo lançamento a partir do chão e do penhasco, além de um lançamento horizontal de uma mesa. Todos os números usam $g=9.81\ \mathrm{m/s^2}$ e desprezam a resistência do ar.

Divida o lançamento em dois movimentos

Comece por um desenho. Marque o ponto de lançamento, o chão e uma seta para a velocidade inicial $v_0$ a um ângulo $\theta$ acima da horizontal. Coloque a origem no ponto de lançamento; tome para cima como positivo e para a frente como positivo. Depois decomponha a velocidade inicial:

$$v_{0x}=v_0\cos\theta,\qquad v_{0y}=v_0\sin\theta.$$

Daqui em diante, são dois problemas unidimensionais que compartilham um relógio. Horizontalmente, nada empurra a bola depois que é solta, então $a_x=0$ e $v_x$ continua em $v_{0x}$. Verticalmente, a gravidade fornece aceleração constante $a_y=-g$. A seção da OpenStax sobre lançamento de projéteis se baseia nessa independência dos movimentos perpendiculares, desprezando o ar. O programa AP Physics 1 diz a mesma coisa em uma frase: movimento de projéteis é bidimensional, com aceleração zero em uma direção e constante, diferente de zero, na outra (College Board, descrição do curso e exame AP Physics 1, tema 1.5).

Se separar os eixos ainda for difícil, nosso guia de cinemática aborda o movimento unidimensional de aceleração constante usado em cada um.

Qual equação vale aqui?

Quatro equações descrevem qualquer projétil nesse modelo. Outras três são atalhos derivados delas; cada um traz uma condição fácil de esquecer.

A OpenStax aponta diretamente as duas limitações: o atalho do tempo de voo não vale para outra altura de chegada, e a equação do alcance só se aplica quando lançamento e impacto ocorrem em uma superfície horizontal no mesmo nível. A fórmula de altura máxima continua válida do penhasco porque usa apenas o movimento vertical até o topo do arco, onde $v_y=0$. Ela informa quanto a bola sobe acima do ponto de partida, não acima do chão lá embaixo.

Ao eliminar $t$ das duas primeiras linhas, obtemos a trajetória, uma parábola:

$$y=x\tan\theta-\frac{g\,x^2}{2v_0^2\cos^2\theta}.$$

Ela é útil como verificação independente, como veremos no exemplo do penhasco.

Exemplo 1: chão plano a 20 m/s e 30°

Primeiro as componentes: $v_{0x}=20\cos 30^\circ=17.32\ \mathrm{m/s}$ e $v_{0y}=20\sin 30^\circ=10.0\ \mathrm{m/s}$.

Tempo de voo. O lançamento e a chegada ocorrem na mesma altura, então o atalho é permitido:

$$T=\frac{2(10.0)}{9.81}=2.04\ \mathrm{s}.$$

Confira de outra forma: a bola chega ao topo quando $v_y=0$, em $t=10.0/9.81=1.02\ \mathrm{s}$. No mesmo nível, a descida espelha a subida, então o tempo total é o dobro: 2,04 s.

Altura máxima.

$$H=\frac{(10.0)^2}{2(9.81)}=5.10\ \mathrm{m}.$$

Confira substituindo o tempo até o topo na equação da altura: $y=10.0(1.02)-4.905(1.02)^2=5.10\ \mathrm{m}$.

Alcance.

$$R=\frac{(20)^2\sin 60^\circ}{9.81}=35.3\ \mathrm{m}.$$

Confira sem o atalho: $x=v_{0x}T=17.32\times 2.04=35.3\ \mathrm{m}$. Dois métodos e a mesma resposta, como convém verificar antes de seguir. Se seu curso usa $g=9.8\ \mathrm{m/s^2}$, como a prática AP Physics 1 do Physics Zen, as respostas só mudam na terceira casa: 2,04 s, 5,10 m e 35,3 m arredondam do mesmo modo.

Exemplo 2: o mesmo lançamento de um penhasco de 15 m

Agora lance com os mesmos 20 m/s e 30°, mas da beira de um penhasco 15 m acima de um terreno plano. Com a origem no ponto de lançamento, a chegada acontece em $y=-15\ \mathrm{m}$. O atalho do alcance não serve, pois a bola chega abaixo de onde saiu. Use a equação geral da altura:

$$-15=10.0\,t-4.905\,t^2.$$

Reorganizando, $4.905t^2-10.0t-15=0$. A fórmula quadrática dá

$$t=\frac{10.0\pm\sqrt{(10.0)^2+4(4.905)(15)}}{2(4.905)}=\frac{10.0\pm 19.86}{9.81},$$

então $t=3.04\ \mathrm{s}$ ou $t=-1.00\ \mathrm{s}$. A raiz negativa corresponde a um instante anterior ao lançamento, quando uma bola na mesma parábola teria atravessado a altura do chão enquanto subia. Ela é matematicamente válida, mas irrelevante para este problema, então descarte-a. Substitua a raiz escolhida para conferir: $10.0(3.044)-4.905(3.044)^2=-15.0$. A escolha da raiz é um dos deslizes tratados em erros de física que na verdade são erros de matemática.

Alcance a partir do penhasco.

$$x=17.32\times 3.044=52.7\ \mathrm{m}.$$

Segunda verificação pela equação da trajetória: em $x=52.7\ \mathrm{m}$, $y=52.7\tan 30^\circ-\dfrac{9.81(52.7)^2}{2(20)^2\cos^2 30^\circ}=30.4-45.4=-15.0\ \mathrm{m}$. A bola está exatamente no nível do chão.

O custo de usar o atalho errado. Aplicar aqui $R=v_0^2\sin 2\theta/g$ dá 35,3 m, o resultado para chão no mesmo nível. O alcance real é 52,7 m. O atalho fica 17,4 m aquém, cerca de 33 por cento da distância real, e nada na fórmula avisa você. A altura máxima ainda é 5,10 m acima do lançamento, ou 20,1 m acima do chão abaixo.

Velocidade no impacto. Na chegada, $v_y=10.0-9.81(3.044)=-19.86\ \mathrm{m/s}$ e $v_x$ ainda é 17,32 m/s. Logo,

$$v=\sqrt{17.32^2+19.86^2}=26.3\ \mathrm{m/s},$$

em direção $\arctan(19.86/17.32)=48.9^\circ$ abaixo da horizontal. A energia fornece a rapidez independentemente: $v=\sqrt{v_0^2+2gh}=\sqrt{20^2+2(9.81)(15)}=26.3\ \mathrm{m/s}$. Nosso guia de trabalho e energia explica por que esse atalho funciona.

45° ainda é o melhor ângulo? Não a partir do penhasco. Mantendo 20 m/s e a queda de 15 m, resolvemos a mesma equação quadrática para vários ângulos:

O melhor desses ângulos é 37°, e 45° chega menos longe que 30°. Um ponto de lançamento alto já oferece tempo extra no ar, então uma trajetória mais horizontal, com maior rapidez horizontal, rende mais.

Exemplo 3: bola rolando para fora de uma mesa

Uma bola rola para fora de uma mesa de 0,90 m de altura a 3,0 m/s. Aqui $\theta=0$, então $v_{0x}=3.0\ \mathrm{m/s}$ e $v_{0y}=0$. Novamente, a altura de chegada difere da de lançamento e só as equações gerais se aplicam.

Tempo de queda. Com $v_{0y}=0$, a equação da altura se torna $-0.90=-4.905t^2$:

$$t=\sqrt{\frac{2(0.90)}{9.81}}=0.428\ \mathrm{s}.$$

É o mesmo tempo de queda de uma bola simplesmente solta da beira da mesa. A rapidez horizontal não atrasa a queda.

Onde cai. $x=3.0\times 0.428=1.29\ \mathrm{m}$ a partir da base da mesa. A página da LibreTexts sobre lançamento de projéteis trata o lançamento horizontal de uma altura do mesmo modo, com tempo de queda $\sqrt{2H/g}$.

Rapidez e ângulo no impacto. $v_y=-9.81(0.428)=-4.20\ \mathrm{m/s}$, portanto

$$v=\sqrt{3.0^2+4.20^2}=5.16\ \mathrm{m/s},\qquad \alpha=\arctan\frac{4.20}{3.0}=54.5^\circ$$

abaixo da horizontal. A energia confirma: $\sqrt{3.0^2+2(9.81)(0.90)}=5.16\ \mathrm{m/s}$.

Dois problemas para praticar, com respostas

1. Chão plano. Uma bola é lançada a 15 m/s e 60° acima de terreno plano. Ache tempo de voo, altura máxima e alcance. Respostas: $v_{0y}=13.0\ \mathrm{m/s}$, $T=2.65\ \mathrm{s}$, $H=8.60\ \mathrm{m}$, $R=19.9\ \mathrm{m}$. Os três atalhos servem; confira o alcance com $v_{0x}T=7.5\times 2.65$.

2. Lançamento horizontal. Uma pedra é lançada horizontalmente a 12 m/s de uma borda 20 m acima da água. Por quanto tempo fica no ar, a que distância cai e com que rapidez atinge a água? Respostas: $t=\sqrt{2(20)/9.81}=2.02\ \mathrm{s}$, $x=24.2\ \mathrm{m}$, $v=\sqrt{12^2+2(9.81)(20)}=23.2\ \mathrm{m/s}$ a $58.8^\circ$ abaixo da horizontal. Nenhuma fórmula abreviada para chegada na mesma altura se aplica.

Pratique a separação dos eixos até ficar automática

Projéteis aparecem cedo nos principais cursos: AP Physics 1 os coloca na Unidade 1, e nosso guia de AP Physics 1 mostra onde a cinemática se encaixa em um plano de estudos completo. O método acima não muda entre exames; só mudam $g$ e os números.

O tema Cinemática no Physics Zen é grátis do começo ao fim em iPhone e Android. Ele inclui uma habilidade de lançamento de projéteis com novas rapidezes, ângulos e alturas a cada vez, correção imediata e solução passo a passo após cada resposta. Resolva alguns e, antes de cada um, faça a pergunta da tabela: esta bola chega à mesma altura de onde saiu? Se não, ignore os atalhos e resolva para o tempo.