Equação das lentes delgadas: exemplos de imagens reais e virtuais

Coloque um objeto diante de uma lente convergente e aproxime-o do vidro. Em algumas posições, você pode pôr uma tela do outro lado e ver uma imagem nítida. Aproxime o objeto mais que a distância focal e a tela deixa de captá-la. Entretanto, ao olhar pela lente, o objeto pode parecer ampliado. A equação das lentes delgadas descreve os dois casos, desde que os sinais indiquem de que lado da lente os raios se encontram ou parecem se encontrar.

A aritmética é curta. A maioria dos erros ocorre antes: falta um esboço, a imagem virtual recebe distância positiva ou o sinal do aumento é confundido com tamanho. Usaremos uma convenção explícita do início ao fim e compararemos cada resposta com o desenho dos raios.

Esboce a lente antes de escolher os sinais

Desenhe um eixo principal horizontal e uma linha vertical para a lente. Coloque o objeto à esquerda. Nas situações seguintes, a luz viaja da esquerda para a direita. Marque um foco a uma distância $|f|$ de cada lado da lente. Esse desenho simples dá um lugar para colocar a imagem depois de resolver.

Em uma lente convergente, um raio que sai do topo do objeto paralelo ao eixo emerge em direção ao foco do lado oposto. Um raio que atravessa o centro da lente segue aproximadamente reto no modelo de lente delgada. Onde os raios emergentes se cruzam há uma imagem real. Se os raios emergentes se afastam, prolongue-os para trás com linhas tracejadas. As extensões se encontram na imagem virtual: não há luz emergente real convergindo ali. Uma lente divergente faz um raio paralelo incidente se afastar como se viesse do foco próximo.

São raios idealizados. Lentes têm espessura, e a formação real de imagens pode se afastar das aproximações de lente delgada e paraxial. A equação e os desenhos pressupõem raios próximos ao eixo principal e ângulos pequenos. A seção da OpenStax sobre lentes delgadas apresenta a equação, a construção de raios e a convenção usada aqui.

A equação e uma convenção de sinais

Seja $d_o$ a distância do objeto à lente, $d_i$ a distância da imagem e $f$ a distância focal. Então

$$\frac{1}{f}=\frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i}.$$

As três distâncias precisam usar a mesma unidade. Centímetros servem se todas estiverem em centímetros; metros também, se todas estiverem em metros. O resultado conserva essa unidade. Para achar a distância da imagem, reorganize antes de inserir números:

$$\frac{1}{d_i}=\frac{1}{f}-\frac{1}{d_o}, \qquad d_i=\frac{fd_o}{d_o-f}.$$

Usamos a convenção em que o real é positivo para um objeto real comum no lado por onde a luz chega:

Alguns cursos usam coordenadas cartesianas com posições de sinais diferentes. Não misture convenções no meio do cálculo. Se seu curso escreve outra equação, use suas definições consistentemente. As perguntas físicas continuam iguais: para onde os raios viajam, onde se encontram e qual a orientação da imagem?

Exemplo resolvido: imagem real de lente convergente

Coloque um objeto $30\ \mathrm{cm}$ diante de uma lente convergente com $f=+10\ \mathrm{cm}$. Ele está além de uma distância focal, então é plausível uma imagem real no lado oposto. Substitua $d_o=+30\ \mathrm{cm}$:

$$\frac{1}{d_i}=\frac{1}{10}-\frac{1}{30} =\frac{2}{30}=\frac{1}{15}\ \mathrm{cm^{-1}}.$$

Portanto, $d_i=+15\ \mathrm{cm}$. O sinal positivo coloca a imagem do outro lado da lente. Confira substituindo: $1/10=1/30+1/15$. No esboço, o raio paralelo se refrata pelo foco distante e o raio central se cruza com ele ali. A imagem é real, então uma tela ideal colocada nesse plano pode interceptar os raios convergentes.

A imagem é menor e invertida. Para calcular isso em vez de adivinhar, use o aumento.

Aumento: separe orientação de tamanho

Na mesma convenção, o aumento transversal com sinal é

$$m=\frac{h_i}{h_o}=-\frac{d_i}{d_o},$$

em que $h_o$ e $h_i$ são as alturas do objeto e da imagem medidas a partir do eixo principal. Um $m$ negativo indica imagem invertida; um $m$ positivo, imagem direita. O módulo $|m|$ é o fator de escala da altura da imagem. Não é comprimento e não tem unidade.

Para a primeira lente, $m=-15/30=-0.50$. Um objeto de $4.0\ \mathrm{cm}$ de altura teria $h_i=(-0.50)(4.0)=-2.0\ \mathrm{cm}$. O sinal diz que seu topo aparece abaixo do eixo, e o módulo da altura é $2.0\ \mathrm{cm}$. Não descreva altura com sinal negativo como tamanho físico negativo.

Exemplo resolvido: imagem virtual ampliada

Mantenha uma lente convergente com $f=+12\ \mathrm{cm}$, mas coloque o objeto a apenas $8.0\ \mathrm{cm}$. Como $d_o<f$, os raios emergentes divergem. Suas extensões para trás se encontram do lado do objeto. Preveja $d_i<0$ antes de calcular:

$$\frac{1}{d_i}=\frac{1}{12}-\frac{1}{8} =-\frac{1}{24}\ \mathrm{cm^{-1}}, \qquad d_i=-24\ \mathrm{cm}.$$

A imagem virtual está a $24\ \mathrm{cm}$ da lente do lado do objeto. Seu aumento é

$$m=-\frac{-24}{8.0}=+3.0.$$

Assim, no modelo ideal, a imagem é direita e tem o triplo da altura do objeto. Nenhuma tela no local da imagem virtual pode captar ali um feixe convergente que a forme; o local resulta das extensões para trás dos raios emergentes. É a diferença central entre ver uma imagem virtual e projetar uma imagem real em uma tela.

Exemplo resolvido: lente divergente

Agora use uma lente divergente com $f=-15\ \mathrm{cm}$. Coloque um objeto real $30\ \mathrm{cm}$ diante dela. A distância focal negativa é essencial; $+15\ \mathrm{cm}$ descreveria outra lente.

$$\frac{1}{d_i}=\frac{1}{-15}-\frac{1}{30} =-\frac{3}{30}=-\frac{1}{10}\ \mathrm{cm^{-1}}.$$

Logo, $d_i=-10\ \mathrm{cm}$, imagem virtual do lado do objeto. O aumento é $m=-(-10)/30=+1/3$: direita e com um terço da altura. No desenho, os raios saem da lente afastando-se. Suas extensões para trás se cruzam entre a lente e seu foco próximo. Confira a equação mantendo os sinais: $-1/15=1/30-1/10$.

Para um objeto real e uma lente divergente simples neste modelo, você pode esperar uma imagem virtual, direita e reduzida. O cálculo mostra esse padrão para um conjunto de distâncias; o $f$ negativo é o que o produz.

O que acontece no plano focal?

Na equação reorganizada $d_i=fd_o/(d_o-f)$, o denominador tende a zero quando um objeto real se aproxima da distância focal de uma lente convergente. Um pouco além de $f$, $d_i$ cresce positivamente; um pouco aquém, cresce em módulo negativamente. Exatamente em $d_o=f$, $1/d_i=0$: os raios emergem paralelos no modelo ideal e não há distância de imagem finita para informar.

Não coloque $d_o=f$ na fração para chamar o erro de divisão por zero da calculadora de resultado físico. Desenhe os raios paralelos e diga que a imagem está no infinito no modelo ideal.

Três problemas para resolver e conferir

1. Imagem real e altura. Uma lente convergente tem $f=+20\ \mathrm{cm}$. Um objeto real de $3.0\ \mathrm{cm}$ de altura está a $60\ \mathrm{cm}$. Ache distância e altura da imagem. Cálculo: $1/d_i=1/20-1/60=1/30\ \mathrm{cm^{-1}}$, então $d_i=+30\ \mathrm{cm}$. Depois $m=-30/60=-0.50$ e $h_i=-1.5\ \mathrm{cm}$. A imagem real é invertida e tem metade da altura.

2. Dentro da distância focal. Uma lente convergente tem $f=+9.0\ \mathrm{cm}$ e objeto real em $d_o=+6.0\ \mathrm{cm}$. Ache imagem e aumento. Cálculo: $1/d_i=1/9-1/6=-1/18\ \mathrm{cm^{-1}}$, então $d_i=-18\ \mathrm{cm}$. Depois $m=-(-18)/6.0=+3.0$. A imagem é virtual, direita e ampliada.

3. Lente divergente. Um objeto real está a $24\ \mathrm{cm}$ de uma lente com $f=-12\ \mathrm{cm}$. Ache a distância e o tipo de imagem. Cálculo: $1/d_i=-1/12-1/24=-1/8\ \mathrm{cm^{-1}}$, então $d_i=-8.0\ \mathrm{cm}$. Como fica do lado do objeto, é virtual. Além disso, $m=-(-8)/24=+1/3$, então é direita e reduzida.

O comportamento das lentes começa quando a luz muda de direção. Nosso guia da lei de Snell explica a refração em uma interface. Para cálculos com lentes e tipos de imagens, pratique no tema Óptica do Physics Zen. Os guias de física A-Level, física do Abitur e física do Bac situam a óptica em um plano de revisão mais amplo.