Princípio de Arquimedes: empuxo explicado com exemplos

Empurre uma garrafa vazia e fechada para baixo da superfície de uma piscina. Sua mão sente a garrafa empurrando de volta. Solte-a e ela sobe até que apenas uma parte permaneça dentro da água. Agora deixe cair uma chave de metal na mesma piscina. Ela afunda, mas a água ainda a empurra para cima. A diferença é se esse empurrão para cima consegue equilibrar o peso do objeto.

O princípio de Arquimedes fornece a intensidade desse empurrão: a força de empuxo é igual ao peso do fluido deslocado pelo objeto. Vale para objetos que flutuam, que afundam e que são mantidos debaixo d'água. O que muda nos cálculos é quanto do objeto está imerso. Muitos erros em problemas de empuxo surgem de usar o volume inteiro quando apenas uma parte desloca fluido.

Nos exemplos, usaremos água de densidade $1000\ \mathrm{kg/m^3}$ e aceleração gravitacional $9.81\ \mathrm{m/s^2}$. São valores arredondados do modelo. Suponha densidade da água uniforme, objetos que não a absorvem nem mudam de volume e exemplos em repouso, exceto quando falarmos explicitamente em soltar algo.

Por que a força aponta para cima

A água pressiona todas as faces de um objeto imerso. A pressão cresce com a profundidade, então a água empurra a face inferior com mais força que a superior. Em um caso simples e simétrico, os empurrões horizontais se equilibram e sobra uma força resultante para cima. A seção da OpenStax sobre empuxo desenvolve essa explicação pela pressão e apresenta o princípio de Arquimedes para imersão parcial ou total.

Há outro jeito de imaginar o mesmo resultado. Retire mentalmente o objeto e devolva a água deslocada ao espaço que ele ocupava. A pressão da água ao redor sustentaria essa porção. Substitua-a novamente pelo objeto: a água ao redor ainda fornece o mesmo suporte para cima ao volume ocupado. Portanto, a força para cima equivale ao peso da água deslocada. O peso do próprio objeto determina se esse suporte basta para fazê-lo flutuar, não se o suporte existe.

Em um fluido de densidade uniforme, a massa do fluido deslocado é $\rho_{\mathrm{fluid}}V_{\mathrm{displaced}}$. Multiplique por $g$ para obter seu peso:

$$F_{\mathrm{b}}=\rho_{\mathrm{fluid}}gV_{\mathrm{displaced}}$$

As unidades verificam a fórmula: $(\mathrm{kg/m^3})(\mathrm{m/s^2})(\mathrm{m^3})=\mathrm{kg\,m/s^2}=\mathrm{N}$. Empuxo é uma força em newtons, não massa em quilogramas. A demonstração de Arquimedes da UC Santa Barbara mostra a fórmula e compara a queda na leitura de uma balança com a água coletada ao submergir uma esfera.

Que volume entra na fórmula?

Use o volume do fluido deslocado. Ele equivale exatamente ao volume da parte do objeto dentro do fluido, desde que o fluido não atravesse o objeto.

• Para um objeto sólido totalmente submerso, o volume deslocado é todo o seu volume externo.
• Para um objeto que flutua parcialmente acima da superfície, é apenas o volume da parte submersa.
• Para um objeto sendo abaixado na água, o volume deslocado cresce conforme entra, até ficar totalmente submerso.

A fórmula não pede massa nem densidade do objeto para calcular diretamente o empuxo. Essas grandezas importam quando você compara empuxo com peso ou determina a posição de flutuação. Desenhe a linha da água e use apenas o volume abaixo dela.

Exemplo resolvido: objeto que afundaria mantido debaixo d'água

Considere um objeto compacto de massa $1.0\ \mathrm{kg}$ e volume externo $0.5\ \mathrm{L}=0.0005\ \mathrm{m^3}$. Abaixe-o completamente na água preso a um gancho fino de uma balança, mantenha-o suspenso e garanta que não toque o fundo. Ao chamar $mg$ de peso no ar, despreze o pequeno empuxo do ar.

Seu peso é:

$$W=mg=(1.0)(9.81)=9.81\ \mathrm{N}$$

Como está totalmente submerso, desloca $0.0005\ \mathrm{m^3}$ de água. O empuxo é:

$$F_{\mathrm{b}}=(1000)(9.81)(0.0005)=4.905\ \mathrm{N}$$

A gravidade ainda puxa para baixo com $9.81\ \mathrm{N}$. A água empurra para cima com $4.905\ \mathrm{N}$. A balança fornece a força restante para cima, então sua leitura é:

$$T=W-F_{\mathrm{b}}=9.81-4.905=4.905\ \mathrm{N}$$

Essa leitura é o peso aparente do objeto enquanto fica suspenso debaixo d'água. A aula da NASA sobre empuxo usa a mesma subtração de forças com outras unidades. O objeto não perdeu massa: a água sustenta parte do peso. Se você soltar o gancho, seu peso supera o empuxo e ele acelera para baixo. Se chegar ao fundo, haverá também uma força de contato; a equação da balança suspensa já não descreve todo o balanço de forças.

Desenhe as forças antes de decidir se ele flutua

O método do diagrama de corpo livre é especialmente útil aqui. Desenhe apenas as forças sobre o objeto. Para o objeto suspenso, desenhe peso $W$ para baixo, empuxo $F_{\mathrm{b}}$ para cima e tração da balança $T$ para cima. Em repouso, $T+F_{\mathrm{b}}-W=0$. Se a balança o soltar, apague $T$ e aplique a segunda lei de Newton à força resultante restante.

Para um objeto que flutua livremente em repouso, não há balança sustentando nem contato com o fundo. Apenas peso e empuxo se equilibram:

$$F_{\mathrm{b}}=W$$

Essa igualdade é resultado do equilíbrio. Não significa que a água “saiba” antecipadamente o peso do objeto. Ele se move até mergulhar o suficiente para deslocar água de mesmo peso. Uma carga adicional faz um objeto flutuante afundar um pouco mais; retirar carga permite que suba. Nosso guia das leis de Newton explica por que força resultante zero descreve repouso ou movimento constante, enquanto uma força desequilibrada muda o movimento.

Exemplo resolvido: quanto de um bloco fica submerso?

Considere um bloco fechado de volume total $1.0\ \mathrm{L}=0.001\ \mathrm{m^3}$ e densidade média $600\ \mathrm{kg/m^3}$. Sua massa é $(600)(0.001)=0.6\ \mathrm{kg}$, então seu peso é:

$$W=(0.6)(9.81)=5.886\ \mathrm{N}$$

Deixe-o flutuar livremente. Em repouso, a água deslocada deve pesar $5.886\ \mathrm{N}$. Resolva para o volume de água:

$$V_{\mathrm{displaced}}=\frac{W}{\rho_{\mathrm{water}}g} =\frac{5.886}{(1000)(9.81)} =0.0006\ \mathrm{m^3}=0.6\ \mathrm{L}$$

Portanto, $0.6/1.0=0.60$, ou 60 por cento do volume do bloco, fica submerso. Os outros 40 por cento permanecem acima da superfície nesse modelo ideal. Isso também resulta diretamente da razão entre densidades:

$$\frac{V_{\mathrm{submerged}}}{V_{\mathrm{object}}} =\frac{\rho_{\mathrm{object,average}}}{\rho_{\mathrm{fluid}}} =\frac{600}{1000}=0.60$$

Esse atalho pressupõe um objeto flutuando livremente em equilíbrio, fluido uniforme e densidade média do objeto calculada com seu volume externo. Não é uma fórmula para a fração submersa de um objeto que afunda, sustentado por corda ou apoiado no fundo. Nessa situação simples, a razão também não pode superar um em equilíbrio de flutuação livre: se a densidade média do objeto exceder a do fluido, ele não deslocará fluido suficiente para se manter à tona.

Agora empurre o mesmo bloco totalmente para debaixo d'água e segure-o ali. Ele desloca todo o volume de $1.0\ \mathrm{L}$, então o empuxo passa a $(1000)(9.81)(0.001)=9.81\ \mathrm{N}$. O peso ainda é $5.886\ \mathrm{N}$. Antes de aplicar a força que o segura, a força resultante seria $9.81-5.886=3.924\ \mathrm{N}$ para cima. É por isso que você precisa empurrar para baixo para mantê-lo imerso. Não use $9.81\ \mathrm{N}$ como empuxo quando ele flutua livremente: nesse caso, o valor é $5.886\ \mathrm{N}$ porque só $0.6\ \mathrm{L}$ fica submerso.

O tema Fluidos do Physics Zen dedica espaço ao volume deslocado e ao equilíbrio de forças. Trabalhe primeiro com o volume em metros cúbicos e depois compare as forças em newtons.

Tente dois problemas curtos

Problema 1. Um objeto rígido totalmente submerso desloca $0.002\ \mathrm{m^3}$ de água. Usando os valores do modelo acima, calcule o empuxo. A resposta é $(1000)(9.81)(0.002)=19.62\ \mathrm{N}$ para cima. Você não precisa da massa para esta etapa, mas precisaria dela para decidir se o objeto subiria ao ser solto.

Problema 2. Um objeto fechado que flutua livremente tem densidade média $750\ \mathrm{kg/m^3}$ na água modelada. Que fração de seu volume fica submersa? A resposta é $750/1000=0.75$, ou 75 por cento. Se o volume externo fosse $2.0\ \mathrm{L}$, o volume submerso seria $1.5\ \mathrm{L}$. Confira pela massa: $(750)(0.002)=1.5\ \mathrm{kg}$, igual à massa de $1.5\ \mathrm{L}$ da água modelada.

Erros comuns a detectar

Usar volume total para um objeto parcialmente flutuante. Só a parte submersa desloca líquido. Calcule essa parte pelo equilíbrio em vez de presumir que é o bloco inteiro.

Pensar que afundar significa ausência de empuxo. A força para cima sobre um objeto que afunda pode ser grande; apenas não equilibra o peso quando ele é solto.

Tratar peso aparente como mudança na gravidade. O peso do objeto permanece $mg$. A balança indica menos porque a água fornece outra força para cima.

Misturar litros e metros cúbicos. Um litro é $0.001\ \mathrm{m^3}$. Converta antes de multiplicar por uma densidade expressa por metro cúbico.

Usar a razão de densidades fora de suas condições. Um objeto mantido submerso, apoiado no fundo ou em fluido de densidade variável exige seu balanço real de forças. Desenhe o diagrama e volte ao volume deslocado.

Perguntas frequentes

O empuxo aumenta com a profundidade?

Nesse modelo de densidade constante, levar a maior profundidade um objeto rígido já totalmente submerso não muda seu volume deslocado, então $\rho gV$ permanece igual. Enquanto o objeto está entrando na água, o empuxo cresce porque o volume submerso aumenta. Condições diferentes, como objeto compressível ou fluido cuja densidade varia com a profundidade, exigem outra análise.

Por que um navio pesado flutua e uma chave pequena de metal afunda?

O peso por si só não decide. O casco do navio encerra espaço e tem densidade média suficientemente baixa, incluindo esse volume, para deslocar água de peso igual ao seu antes que a linha d'água chegue ao topo. A densidade média de uma chave compacta supera a da água, então a imersão completa não fornece empuxo suficiente para equilibrar seu peso.

Água deslocada é a mesma água que transborda?

O volume deslocado é o volume do qual o objeto exclui a água. Em um recipiente de transbordamento, uma quantidade igual pode derramar. Em uma piscina, o nível da água sobe em vez disso. O empuxo depende do peso do fluido excluído, não de você coletar ou não a água derramada.