Indução eletromagnética: lei de Faraday com exemplos resolvidos

Aproxime um ímã de uma bobina de fio e um medidor ligado a ela poderá se mover. Segure o ímã parado e o desvio desaparece. Afaste-o e o desvio se inverte. A bobina não deixou de estar dentro de um campo magnético enquanto o ímã ficou imóvel. O que mudou foi o fluxo magnético através da bobina.

A indução eletromagnética transforma uma mudança nesse fluxo em uma força eletromotriz, geralmente abreviada como fem. A lei de Faraday diz qual é a magnitude da fem induzida; a lei de Lenz diz sua direção. É mais fácil usar as duas se separarmos três perguntas: o que atravessa a espira, como isso muda e existe um caminho fechado para a corrente?

Fluxo magnético mede o campo através de uma área

Imagine estender uma folha plana sobre uma espira de fio. Fluxo magnético mede o campo magnético que atravessa a folha, levando a direção em conta. Sua definição geral é

$$\Phi_B=\int_A\mathbf{B}\cdot\hat{\mathbf n}\,dA.$$

O símbolo $\mathbf B$ é o campo magnético, $dA$ é um pedacinho da folha e $\hat{\mathbf n}$ é uma normal unitária escolhida, perpendicular à folha. O produto escalar significa que só conta a componente do campo perpendicular à folha. Escolha para qual lado da espira a normal aponta e mantenha a escolha; se a espira girar, a normal gira com ela. Inverter a normal inverte os sinais do fluxo e da fem, mas não a direção física da corrente.

Para uma espira plana de área $A$ em campo uniforme de magnitude $B$, a integral se torna

$$\Phi_B=BA\cos\theta,$$

em que $\theta$ é o ângulo entre o campo e a normal à superfície. Se o campo atravessa diretamente a espira, $\theta=0^\circ$ e o módulo do fluxo é $BA$. Se o campo acompanha o plano da espira, $\theta=90^\circ$ e o fluxo é zero. Não use o ângulo entre campo e plano sem antes convertê-lo.

A unidade SI é o weber, Wb: $1\ \mathrm{Wb}=1\ \mathrm{T\,m^2}$. O fluxo pertence a uma espira. Para uma bobina de $N$ voltas idênticas que recebem o mesmo fluxo, o fluxo total concatenado é $N\Phi_B$. O tratamento da lei de Faraday pela OpenStax apresenta a definição geral e o atalho do campo uniforme.

Um primeiro exemplo de fluxo magnético

Suponha uma espira plana de área $0.040\ \mathrm{m^2}$ em um campo uniforme de $0.30\ \mathrm T$. O campo faz $60^\circ$ com a normal da espira. Escolha a normal para que o fluxo seja positivo:

$$\Phi_B=(0.30)(0.040)\cos60^\circ =0.0060\ \mathrm{Wb}.$$

Gire a normal da mesma espira até alinhá-la ao campo, e o fluxo será $0.012\ \mathrm{Wb}$, embora campo e área não tenham mudado. Mudar a orientação pode induzir fem em um campo constante.

A lei de Faraday mede a taxa de mudança

Para $N$ voltas idênticas com o mesmo fluxo em cada uma, a lei de Faraday é

$$\mathcal E=-N\frac{d\Phi_B}{dt}.$$

A fem $\mathcal E$ é medida em volts. Um weber por segundo equivale a um volt. Sua magnitude cresce se o fluxo muda mais rapidamente e aumenta com o número de voltas. A normal escolhida também define o sentido positivo de circulação pela regra da mão direita: aponte o polegar na direção da normal e os dedos se curvarão no sentido positivo. O sinal de menos registra a direção da lei de Lenz; não exige informar uma magnitude negativa.

Se um problema der apenas fluxos inicial e final e o intervalo de tempo, calcule a fem induzida média:

$$\mathcal E_{\mathrm{avg}}=-N\frac{\Phi_{B,\mathrm{final}}-\Phi_{B,\mathrm{initial}}}{\Delta t}.$$

Essa média não informa a fem em cada instante, a menos que o fluxo mude a uma taxa constante. Além disso, mudar o campo é só uma maneira de mudar o fluxo. A área ou o ângulo da espira também podem mudar enquanto $B$ permanece constante. Não basta que o campo mude em algum lugar fora da espira: deve mudar o fluxo através da espira escolhida.

Exemplo resolvido: fem induzida média

Uma bobina tem 80 voltas, cada uma envolvendo $0.025\ \mathrm{m^2}$. Um campo uniforme perpendicular às voltas cresce de $0.10\ \mathrm T$ para $0.35\ \mathrm T$ em $0.20\ \mathrm s$. Tome a normal positiva na direção do campo. A mudança de fluxo por volta é

$$\Delta\Phi_B=A\Delta B =(0.025)(0.35-0.10) =0.00625\ \mathrm{Wb}.$$

Então a fem média é

$$\mathcal E_{\mathrm{avg}} =-80\frac{0.00625}{0.20} =-2.5\ \mathrm V.$$

Seu módulo é $2.5\ \mathrm V$. O sinal negativo significa que, em relação à normal positiva e ao sentido de circulação escolhidos, a fem induzida circula no sentido contrário. Se o campo não crescesse uniformemente, $2.5\ \mathrm V$ ainda seria o módulo médio no intervalo, mas o valor instantâneo poderia variar.

Lei de Lenz: oposição à mudança, não ao campo

Antes de escolher sentido horário ou anti-horário, determine se o fluxo original através da espira aumenta ou diminui. A corrente induzida, se o circuito estiver fechado, cria um campo magnético que resiste àquela mudança. A seção da OpenStax sobre a lei de Lenz relaciona essa regra à conservação da energia.

Imagine uma espira plana sobre uma página. Um campo magnético aponta para dentro da página e fica mais intenso. O fluxo para dentro aumenta. O campo induzido pela espira deve apontar para fora da página para se opor a esse aumento. Curve os dedos da mão direita no sentido da corrente com o polegar apontando para fora da página: vista de cima, a corrente é anti-horária.

Agora mantenha o campo apontando para dentro da página, mas deixe-o enfraquecer. O campo induzido aponta para dentro da página para resistir à perda de fluxo. Pela regra da mão direita, a corrente será horária. Nos dois casos, o campo original aponta no mesmo sentido. A mudança determina a direção induzida.

Os mesmos passos servem para um ímã em movimento. Especifique qual polo olha para a espira e de que lado você observa, determine a mudança do fluxo e use a regra da mão direita. Responder apenas “horária” é incompleto sem dizer de qual lado se olha.

Pode haver fem sem corrente circulante

Uma fem induzida impulsiona cargas ao redor da espira. Uma corrente de condução circulante e sustentada exige um caminho condutor fechado. Corte o fio e o fluxo variável ainda produzirá fem, mas a carga não poderá continuar circulando pela abertura. Se a espira for fechada e a resistência conhecida, um modelo resistivo simples dá módulo de corrente $I=|\mathcal E|/R$. A fem sozinha não define a corrente: a resistência também importa. Nosso guia de circuitos em série e paralelo desenvolve esse cálculo.

Um gerador usa esse princípio girando uma bobina em relação a um campo magnético, mudando o ângulo e o fluxo. Uma espira parada em campo uniforme inalterado tem fluxo constante e nenhuma fem induzida pela lei de Faraday, embora o campo a atravesse. Um condutor em movimento pode exigir uma análise de circuito mais cuidadosa, mas a regra do fluxo em circuito fechado é o ponto de partida certo para estes exemplos.

Não confunda fem induzida com a diferença de potencial eletrostática de um problema de cargas paradas. Ambas são medidas em volts, mas um fluxo magnético variável pode impulsionar cargas por um caminho fechado. Para a comparação com campos estáticos, veja potencial elétrico versus campo elétrico.

Três problemas de prática com soluções

1. Área variável em campo constante. Uma única espira condutora retangular está perpendicular a um campo uniforme de $0.40\ \mathrm T$. A área encerrada cai de $0.030\ \mathrm{m^2}$ para $0.010\ \mathrm{m^2}$ em $0.50\ \mathrm s$. Qual é o módulo da fem média? Escolha a normal na direção do campo. A mudança de fluxo é $0.40(0.010-0.030)=-0.0080\ \mathrm{Wb}$. Portanto, $|\mathcal E_{\mathrm{avg}}|=0.0080/0.50=0.016\ \mathrm V$. O campo era constante; a área produziu a mudança.

2. Giro da bobina. Uma bobina de 20 voltas e área $0.010\ \mathrm{m^2}$ está em campo uniforme de $0.50\ \mathrm T$. Em $0.10\ \mathrm s$, sua normal passa de paralela a perpendicular ao campo. Ache o módulo da fem média. O fluxo de cada volta vai de $BA=0.0050\ \mathrm{Wb}$ a zero. Assim, $|\mathcal E_{\mathrm{avg}}|=20(0.0050)/0.10=1.0\ \mathrm V$. Não é preciso girar a uma taxa uniforme para obter essa média.

3. Direção e corrente. Vista de cima, uma bobina fechada de 5 voltas recebe campo apontando para fora da página e cada vez mais intenso. Em que sentido passa a corrente induzida? O fluxo para fora aumenta, então o campo induzido deve apontar para dentro. A regra da mão direita dá sentido horário, visto de cima. Se a bobina for aberta, ainda haverá fem induzida, mas nenhuma corrente circulante atravessará o corte.

Para praticar o cálculo do fluxo e da fem induzida, use o tema Magnetismo e indução do Physics Zen. A indução aparece em A-Level Physics e no Abitur alemão; nossos guias de preparação para física A-Level e física do Abitur mostram como ela se relaciona aos outros temas de campos e eletricidade.