Entenda o torque: alavancas, ângulos e equilíbrio

Empurre uma porta junto à dobradiça e depois com a mesma força na maçaneta. A força é igual, mas o efeito de rotação muda muito. Força descreve um empurrão ou puxão. Torque descreve a tendência desse empurrão ou puxão a fazer um objeto girar em torno de um pivô escolhido.

Três perguntas determinam a resposta: onde está o pivô, onde a força atua e para onde aponta? Comece por elas e a fórmula do torque se torna uma descrição compacta do desenho.

Uma força precisa de espaço para girar algo

Imagine uma chave de boca horizontal vista de cima. Sua ponta esquerda segura um parafuso. Você puxa a ponta direita para cima, perpendicularmente ao cabo. O parafuso é o pivô e o cabo dá vantagem à sua força para girá-lo.

Mova a mão até a metade da distância para o parafuso sem mudar a força: o efeito de rotação cai pela metade. Se puxar diretamente ao longo do cabo, na direção do parafuso ou para longe dele, o efeito desaparece porque a linha da força passa pelo pivô.

Essa última expressão é útil. Prolongue a seta da força nos dois sentidos até formar uma reta imaginária. Essa é sua linha de ação. A distância perpendicular do pivô até ela é o braço de alavanca, também chamado braço de momento.

Quanto maior essa distância perpendicular, maior o torque para a mesma força. Uma ferramenta longa só ajuda se a direção da força aproveitar seu comprimento.

Duas fórmulas equivalentes de torque

Para uma força que atua no plano perpendicular a um eixo fixo de rotação, a magnitude do torque é:

$$\tau = rF\sin\theta$$

Aqui $r$ é a distância do pivô ao ponto onde a força atua, $F$ é a intensidade da força e $\theta$ é o ângulo entre o vetor posição apontado para fora e o vetor força.

Você também pode usar o braço de alavanca perpendicular $d_\perp$:

$$d_\perp = r\sin\theta$$ $$\tau = Fd_\perp$$

São duas formas do mesmo cálculo. Uma usa todo o comprimento do vetor posição e um ângulo; a outra usa diretamente a distância perpendicular. Se já encontrou o braço perpendicular, não multiplique pelo seno de novo.

O capítulo da OpenStax sobre torque apresenta a forma vetorial $\boldsymbol{\tau} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}$. Em um desenho plano, normalmente você pode usar magnitudes e sinais de rotação horária ou anti-horária, sem calcular cada componente do produto vetorial.

As unidades são newton-metros, escritos $\mathrm{N\,m}$. Têm as mesmas dimensões dos joules, mas torque não é energia. Usar newton-metros como unidade de torque ajuda a distinguir as grandezas.

Exemplo resolvido: puxão perpendicular

Uma chave mede $0.25\ \mathrm{m}$ do centro do parafuso à sua mão. Você aplica $40\ \mathrm{N}$ perpendicularmente ao cabo.

Como $\theta = 90^\circ$, seu seno é 1:

$$\tau = (0.25)(40)\sin 90^\circ = 10\ \mathrm{N\,m}$$

A mesma força aplicada a $0.10\ \mathrm{m}$ dá:

$$\tau = (0.10)(40) = 4\ \mathrm{N\,m}$$

Você pode explicar o resultado antes de calcular: a primeira posição fica 2,5 vezes mais distante do pivô, então gera 2,5 vezes mais torque.

É por isso que maçanetas ficam longe das dobradiças. O projeto cotidiano torna a equação visível. Isso não prova que uma força maior sempre cause mais rotação: distância e direção também importam.

Exemplo resolvido: puxão oblíquo

Mantenha a mesma chave de $0.25\ \mathrm{m}$ e a força de $40\ \mathrm{N}$, mas aplique-a a $30^\circ$ em relação à direção do cabo para fora do pivô.

$$\tau = (0.25)(40)\sin 30^\circ = 5\ \mathrm{N\,m}$$

Só a componente perpendicular ao cabo contribui para a rotação:

$$F_\perp = 40\sin 30^\circ = 20\ \mathrm{N}$$

Multiplicar essa componente pelo comprimento do cabo dá a mesma resposta: $0.25(20) = 5\ \mathrm{N\,m}$.

A componente ao longo do cabo ainda pode exercer força sobre o objeto ou seu apoio. Apenas não produz torque em relação ao parafuso. Torque zero não significa força zero.

Confira sempre como o ângulo aparece no desenho. Se o diagrama fornece um ângulo em relação à reta perpendicular ao cabo, ele não é diretamente $\theta$. Talvez você precise do ângulo complementar ou, de modo equivalente, de um cosseno. Decorar “sempre use seno” sem identificar os vetores é um jeito de obter resposta errada com a fórmula certa.

Torques horários e anti-horários se opõem

Em um problema plano, escolha um sentido de rotação como positivo. Uma escolha comum é o anti-horário; o horário fica negativo. Qualquer uma serve se for usada consistentemente.

Suponha duas forças atuando sobre uma viga horizontal com pivô no centro:

• Uma força de $30\ \mathrm{N}$ para baixo atua $0.40\ \mathrm{m}$ à esquerda.
• Uma força de $20\ \mathrm{N}$ para baixo atua $0.30\ \mathrm{m}$ à direita.

A força esquerda tende a girar a viga no sentido anti-horário; a direita, no horário. Seus torques com sinal são:

$$\tau_\mathrm{left} = +(30)(0.40) = +12\ \mathrm{N\,m}$$ $$\tau_\mathrm{right} = -(20)(0.30) = -6\ \mathrm{N\,m}$$

Portanto:

$$\tau_\mathrm{net} = 12 - 6 = +6\ \mathrm{N\,m}$$

O efeito resultante de rotação é anti-horário. Não determine o sinal olhando apenas se a força aponta para cima ou para baixo. Aqui as duas apontam para baixo, mas giram a viga em sentidos opostos porque atuam em lados diferentes do pivô.

Equilíbrio exige condições de força e torque

Uma viga em repouso deve satisfazer tanto equilíbrio translacional quanto rotacional:

$$\sum \mathbf{F} = 0 \qquad \sum \tau = 0$$

Considere uma viga horizontal leve com apoio central. Pendure uma massa de $3.0\ \mathrm{kg}$ a $0.40\ \mathrm{m}$ à esquerda. Onde pendurar uma massa de $2.0\ \mathrm{kg}$ à direita para equilibrar a viga?

Tomando momentos em relação ao pivô:

$$(3.0g)(0.40) - (2.0g)d = 0$$

Os dois pesos compartilham a mesma aceleração gravitacional, então $g$ se cancela:

$$d = \frac{3.0(0.40)}{2.0} = 0.60\ \mathrm{m}$$

A massa menor precisa de um braço de alavanca maior. O apoio também deve fornecer uma força para cima igual à soma dos dois pesos, cerca de $49.1\ \mathrm{N}$ quando $g = 9.81\ \mathrm{m/s^2}$.

Essa força de apoio não produz torque em torno do pivô porque passa por ele. Escolher esse ponto simplifica o cálculo de torque sem fingir que a força de apoio não existe.

Se o peso da própria viga importar, inclua-o em seu centro de massa. Uma viga uniforme apoiada no centro tem torque gravitacional zero em relação ao apoio. Se o apoio estiver fora do centro, a conclusão muda. Comece com um diagrama de corpo livre para que nenhuma força desapareça sem você perceber.

Torque muda a rotação, não determina sua rapidez

Para um corpo rígido girando em torno de um eixo fixo com momento de inércia $I$ constante, o equivalente rotacional da segunda lei de Newton é:

$$\sum \tau = I\alpha$$

A aceleração angular $\alpha$ mede quão rapidamente a velocidade angular muda. O mesmo torque resultante gera menos aceleração angular quando o momento de inércia é maior.

Por exemplo, torque resultante de $6\ \mathrm{N\,m}$ sobre um corpo com $I = 2\ \mathrm{kg\,m^2}$ dá:

$$\alpha = \frac{6}{2} = 3\ \mathrm{rad/s^2}$$

Sob esses pressupostos, torque resultante zero significa ausência de aceleração angular. Um objeto que já gira pode continuar com velocidade angular constante. Compare com as leis de Newton: força resultante zero também não exige velocidade zero.

Torque também difere da força para dentro discutida em movimento circular. Uma força apontada para o centro produz torque zero em relação a esse centro e ainda assim pode mudar a direção da velocidade e manter um objeto em trajetória circular.

Lista confiável para problemas de torque

Escolha o pivô e desenhe todas as forças externas. Identifique a linha de ação de cada força e meça o braço perpendicular ou use $r\sin\theta$. Converta centímetros em metros antes de multiplicar. Atribua sinal conforme a direção em que cada força tende a girar o objeto; só então some os torques.

Para equilíbrio, confira forças e torques. Para aceleração angular, verifique a hipótese de eixo fixo antes de usar $\sum\tau = I\alpha$. Por fim, teste o caso limite: uma força cuja linha de ação passa pelo pivô deve produzir torque zero.

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