Правила Кирхгофа: узлы и контуры на разобранных примерах

Две батареи, три резистора и вопрос: куда течёт ток через меньшую батарею? Многие рисуют стрелку из её положительного вывода, потому что батареи обычно так работают. В следующей цепи предположение ошибочно, а алгебра показывает это отрицательным числом. Правильное чтение минуса составляет большую часть работы с правилами Кирхгофа.

Здесь изложены два правила, таблица знаков при прохождении элементов и двухконтурная цепь, где направление одного тока мы намеренно угадаем неверно. В конце разберём мост, классический случай, который нельзя начать с упрощения последовательных и параллельных соединений. Предполагаются идеальные провода, идеальные батареи без внутреннего сопротивления и установившийся постоянный ток.

Правило узлов учитывает заряд

Узел это точка соединения трёх или более проводов. Первое правило Кирхгофа, правило узлов, или закон токов, гласит: сумма входящих токов равна сумме выходящих.

$$\sum I_{\text{in}}=\sum I_{\text{out}}$$

Глава OpenStax о правилах Кирхгофа выводит это из сохранения заряда. Ток является потоком заряда, заряд не накапливается в проводе, поэтому всё пришедшее в узел должно уйти. Если по одному проводу входит 3 А, а по другому выходит 2 А, по третьему наружу течёт 1 А.

Правило можно записать в каждом узле, но для цепи с $n$ узлами независимы лишь $n-1$ уравнений. Последнее повторит уже известное.

Правило контуров учитывает потенциал

Второе правило Кирхгофа, правило контуров, или закон напряжений, говорит, что сумма изменений потенциала при обходе любого замкнутого пути равна нулю:

$$\sum \Delta V=0$$

Вы вернулись в исходную точку, у которой один потенциал. OpenStax связывает правило с энергией: то, что источник сообщает заряду при прохождении контура, затем передаётся другим элементам.

Правило простое, ошибки чаще в знаках. Зафиксируйте их по таблице:

OpenStax приводит те же четыре правила. Заметьте два момента. Знак на резисторе зависит от стрелки тока, нарисованной вами, а не от настоящего направления, которого вы пока не знаете. Знак батареи зависит только от первого встреченного вывода, не от проходящего через неё тока.

Двухконтурная цепь с неверным предположением

Представьте два горизонтальных провода: верхний соединяется в узле A, нижний в узле B. Между ними три вертикальные ветви:

Стрелки $I_1$ и $I_3$ выходят из положительных выводов. Естественное предположение, для батареи 3 В ошибочное. Не пытайтесь избегать его: метод справится.

Узел A. Входят два тока, выходит один:

$$I_1+I_3=I_2$$

Левый контур. Начните в B, пройдите вверх по левой ветви, по верхнему проводу до A и вниз по средней ветви до B. При проходе батареи 12 В от минуса к плюсу изменение $+12$. На резисторе 2 Ом по току $I_1$ оно равно $-2I_1$. При спуске по средней ветви по току $I_2$ получаем $-3I_2$:

$$12-2I_1-3I_2=0$$

Правый контур. Начните в B, поднимитесь по правой ветви до A, спуститесь по средней:

$$3-3I_3-3I_2=0$$

Три неизвестных и три независимых уравнения. Решим их.

Решите, затем истолкуйте знак

Правое контурное уравнение упрощается до $I_2+I_3=1$, значит $I_3=1-I_2$. Из узлового уравнения подставьте вместо $I_1$ выражение $I_2-I_3$ в левый контур:

$$12-2(I_2-I_3)-3I_2=0\quad\Rightarrow\quad 12-5I_2+2I_3=0$$

Подставьте $I_3=1-I_2$:

$$12-5I_2+2-2I_2=0\quad\Rightarrow\quad I_2=2\ \mathrm{A}$$

Тогда $I_3=1-2=-1\ \mathrm{A}$ и $I_1=I_2-I_3=2-(-1)=3\ \mathrm{A}$.

Минус у $I_3$ здесь главное. Модуль 1 А верен, но направление противоположно стрелке: ток идёт вниз по правой ветви и входит в батарею 3 В через плюс. OpenStax прямо отмечает: неверно выбранная стрелка даёт отрицательное значение, но ответ остаётся верным.

Две привычки защищают от ошибки со знаком:

• Не переворачивайте стрелку и не начинайте заново. Уравнения построены по вашим стрелкам и согласованы друг с другом.
• Сохраняйте минус во всех дальнейших шагах. $I_1=I_2-I_3$ даёт 3 А лишь при подстановке $I_3$ как $-1$. Если отбросить знак, выйдет 1 А и ошибка распространится дальше.

Физически батарея 12 В проталкивает ток через батарею 3 В против её обычного направления. Если там стоит перезаряжаемый элемент, он будет заряжаться. Если сложна сама система уравнений, в руководстве по математическим ошибкам в физике есть раздел о двух неизвестных и совместных уравнениях.

Двойная проверка: напряжение узла и баланс мощностей

Напряжение узла. Каждая ветвь соединяет A и B, значит должна дать ту же разность потенциалов $V_A-V_B$. Средняя: $3\times2=6\ \mathrm{V}$. Левая: батарея повышает потенциал на 12 В, резистор снижает на $2\times3=6\ \mathrm{V}$, остаётся 6 В. Правая: $3-3\times(-1)=6\ \mathrm{V}$. Три ветви, один ответ.

Баланс мощностей. OpenStax советует сверять мощность, отданную источниками, с мощностью, принятой остальными элементами. Здесь:

Источник отдаёт 36 Вт. Принимается 18 + 12 + 3 + 3 = 36 Вт. Баланс сходится только если батарею 3 В считать получателем энергии. Тот же отрицательный ток теперь виден через энергию. Если бы вы прочли $I_3$ как +1 А, возникло бы расхождение на 6 Вт.

Когда достаточно последовательного и параллельного упрощения

Наше руководство по последовательным и параллельным цепям сводит сеть шаг за шагом: найдите резисторы на одном неразветвлённом пути или между одной парой узлов, объедините и повторите. Когда это работает, используйте такой путь. Правила Кирхгофа уже заключены в нём.

Два случая мешают упрощению. Первый, цепь выше: две батареи в разных ветвях, так что никакую пару ветвей нельзя заменить одним резистором. Второй, мост. Подключите источник 12 В между A и B. Левая ветвь идёт от A через резистор 1 Ом к C, затем через 4 Ом к B. Правая от A через 4 Ом к D, затем через 1 Ом к B. Мостовой резистор 2 Ом соединяет C и D.

Ни одна пара резисторов здесь не имеет общих обоих концов и не лежит одна на неразветвлённом пути, поэтому упрощать нечего. OpenStax отмечает, что так бывает во многих цепях. Вместо этого запишите правило узлов в C и D, положив потенциал B равным 0 В:

$$\frac{12-V_C}{1}=\frac{V_C}{4}+\frac{V_C-V_D}{2},\qquad \frac{12-V_D}{4}=\frac{V_D}{1}+\frac{V_D-V_C}{2}$$

Решение: $V_C=8\ \mathrm{V}$ и $V_D=4\ \mathrm{V}$. Значит по мосту от C к D течёт 2 А, источник отдаёт 6 А, а вся сеть эквивалентна 2 Ом. Проверьте C: через резистор 1 Ом входят 4 А, через 4 Ом выходят 2 А и ещё 2 А через мост.

Соблазнительно отбросить мост и считать две ветви по 5 Ом параллельными. Тогда получится 2,5 Ом и 4,8 А, что на 20 процентов меньше настоящих 6 А. Такой путь верен лишь при сбалансированном мосте: ветви делят напряжение в одной пропорции, потенциалы C и D равны, ток между ними отсутствует. Здесь сверху в левой ветви 1 Ом, в правой 4 Ом. Пропорции обращены, и по мосту течёт ток.

Две задачи на цепи с ответами

1. Обе батареи отдают энергию. Возьмите прежнюю схему с двумя контурами, но слева батарея 12 В и резистор 3 Ом, посередине резистор 2 Ом, справа батарея 9 В с резистором 3 Ом. Оба плюса сверху. Найдите три тока и проверьте мощность. Ответы: $I_1=2\ \mathrm{A}$, $I_2=3\ \mathrm{A}$ и $I_3=1\ \mathrm{A}$, все по исходным стрелкам, а $V_A-V_B=6\ \mathrm{V}$. Источники дают $24+9=33\ \mathrm{W}$, резисторы рассеивают $12+18+3=33\ \mathrm{W}$.

2. Сбалансированный мост. Та же мостовая схема при 12 В: слева сверху 1 Ом, затем 2 Ом, справа сверху 2 Ом, затем 4 Ом. Сопротивление моста любое. Найдите ток через мост и ток источника. Ответы: $V_C=V_D=8\ \mathrm{V}$, поэтому через мост 0 А. Ветви 3 и 6 Ом параллельны, эквивалент 2 Ом, источник даёт 6 А. Только здесь мостом можно пренебречь.

Практикуйтесь, пока знаки не станут привычными

Метод не меняется от цепи к цепи: сначала стрелки, затем узловое правило, контурные уравнения по таблице знаков, решение, толкование знаков и проверка мощности. Отличается лишь уверенность при встрече с минусом. Правила Кирхгофа входят в раздел электричества нашего плана по A-Level Physics. Те же привычки нужны для сетей конденсаторов: руководство по последовательным и параллельным конденсаторам тоже использует сохранение заряда в узле.

В Physics Zen тема «Электрические цепи» ведёт от закона Ома и последовательных и параллельных соединений через мощность к навыку правил Кирхгофа с двумя источниками. Навык доступен с Premium на iPhone и Android. Новые числа, мгновенная проверка и подробные решения помогут читать отрицательный ток как направление, а не ошибку.