Последовательные и параллельные цепи: ток и напряжение без путаницы

На схеме два резистора могут стоять рядом, но не быть параллельными. Они могут оказаться на разных краях листа и всё равно быть последовательными. Форма рисунка обманчива. Важно, какие точки соединены и где ток может разделиться.

Начните с путей. Когда понятно, какие элементы имеют общий ток, а какие общее напряжение, формулы сопротивления следуют сами. Здесь предполагаются идеальные провода, идеальный источник постоянного напряжения и положительные постоянные сопротивления в установившейся цепи постоянного тока.

Ток проходит через точку, напряжение измеряют между двумя точками

Ток $I$ измеряет заряд, проходящий через точку за единицу времени, в амперах. Напряжение $V$ это разность энергии на единицу заряда между двумя точками, в вольтах. Резистор с сопротивлением $R$ в омах в нашей модели подчиняется закону Ома:

$$V=IR$$

Напряжение в этой формуле должно быть между концами данного резистора, а ток через этот резистор. Если взять напряжение всей цепи и ток одной ветви, получится правдоподобный, но неверный ответ.

Заряд не исчезает внутри резистора. Электрическая энергия обычно передаётся в виде тепла, а в установившемся режиме одинаковое количество заряда за секунду входит и выходит. Разницу между энергией и её передачей помогает понять руководство по работе и энергии.

Последовательно означает один путь без ветвлений

Представьте батарею, подключённую к одному резистору, затем к другому и обратно к батарее. Между резисторами нет узла, где ток мог бы уйти другим путём. Поэтому через оба течёт одинаковый ток.

Падения напряжения на резисторах складываются в напряжение источника. Применим закон Ома к каждому:

$$V=V_1+V_2=IR_1+IR_2=I(R_1+R_2)$$

Поэтому эквивалентное сопротивление последовательного соединения:

$$R_{\mathrm{s}}=R_1+R_2$$

Дополнительные резисторы на том же пути повышают сопротивление. При фиксированном напряжении источника ток падает. Напряжение не обязано делиться поровну: на большем резисторе падение больше при одинаковом токе.

Последовательный пример с проверкой

Соедините резисторы 4 и 8 Ом последовательно с источником 12 В. Общее сопротивление 12 Ом, поэтому

$$I=\frac{12}{4+8}=1\ \mathrm{A}$$

Отдельные падения напряжения:

$$V_1=1\times4=4\ \mathrm{V},\qquad V_2=1\times8=8\ \mathrm{V}$$

Проверьте контур: 4 В плюс 8 В дают 12 В источника. Проверьте ток: через оба резистора течёт 1 А. Ни на одном отдельно не лежат все 12 В, и после первого ток не уменьшается.

Параллельно означает одну пару узлов

Узел это множество точек, соединённых идеальным проводом без элементов между ними. Все они имеют одинаковый потенциал. Два резистора параллельны, если оба их конца подключены к одним и тем же двум узлам.

Оба соединяют те же два потенциала, поэтому напряжение между концами одинаково. Ток может разделиться между путями. В узле суммарный входящий ток равен суммарному выходящему:

$$I=I_1+I_2=\frac{V}{R_1}+\frac{V}{R_2}$$

Разделив на общее напряжение, получаем правило параллельных сопротивлений:

$$\frac{1}{R_{\mathrm{p}}}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$$

Для двух резисторов его можно записать:

$$R_{\mathrm{p}}=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}$$

Новый путь позволяет при том же напряжении протекать большему общему току. Поэтому эквивалентное сопротивление меньше наименьшего сопротивления ветви. Ток не выбирает только самый лёгкий путь: он идёт по всем проводящим ветвям, но через меньший резистор идёт больше.

Те же резисторы теперь параллельно

Подключите те же 4 и 8 Ом к тому же источнику 12 В, но параллельно. На каждом резисторе 12 В:

$$I_1=\frac{12}{4}=3\ \mathrm{A},\qquad I_2=\frac{12}{8}=1.5\ \mathrm{A}$$

Источник подаёт их сумму:

$$I=3+1.5=4.5\ \mathrm{A}$$

Эквивалентное сопротивление:

$$R_{\mathrm{p}}=\frac{4\times8}{4+8}=\frac{8}{3}\ \Omega$$

Проверьте всю цепь: 12 В, делённые на 8/3 Ом, дают 4,5 А. Эквивалентное сопротивление меньше 4 Ом, как ожидалось. Одинаковое напряжение ветвей не означает одинаковый ток.

Упростите смешанную цепь и вернитесь назад

Пусть резистор 2 Ом последовательно соединён с параллельной парой 6 и 3 Ом, всё под напряжением 12 В. Не складывайте все три как последовательные. Сначала выделите внутреннюю параллельную пару:

$$R_{\mathrm{p}}=\frac{6\times3}{6+3}=2\ \Omega$$

Этот эквивалентный резистор последователен первому резистору 2 Ом. Итого 4 Ом, ток источника 3 А. Падение на первом резисторе:

$$V_{\mathrm{s}}=3\times2=6\ \mathrm{V}$$

Параллельная часть получает остальные 6 В. Токи ветвей:

$$I_6=\frac{6}{6}=1\ \mathrm{A},\qquad I_3=\frac{6}{3}=2\ \mathrm{A}$$

Они дают 3 А в узле. Порядок важен: упрощайте изнутри, найдите ток источника, затем разверните замену и восстановите напряжения и токи каждого элемента.

Некоторые сети не упрощаются обычными парами последовательных и параллельных резисторов. Для мостовой цепи могут понадобиться правила Кирхгофа напрямую. Наши примеры по законам Кирхгофа разбирают мост и цепь с двумя батареями. Не применяйте формулу параллельных резисторов к элементам, у которых разные конечные узлы.

Мощность как независимая проверка

Для резистора в этой модели мощность можно записать тремя равнозначными способами:

$$P=VI=I^2R=\frac{V^2}{R}$$

В последовательном примере два резистора рассеивают 4 и 8 Вт. Вместе 12 Вт, столько же даёт источник: 12 В, умноженные на 1 А.

В параллельном примере они рассеивают 36 и 18 Вт. Итого 54 Вт, как 12 В на 4,5 А. Перестановка тех же резисторов меняет ток источника и мощность каждого элемента.

Это даёт ещё одно сравнение. При одинаковом токе больший резистор рассеивает больше мощности. При одинаковом напряжении больше рассеивает меньший. До ответа о том, какой сильнее нагреется, определите общую величину: настоящая температура также зависит от охлаждения и конструкции.

Короткий метод для незнакомой схемы

1. Отметьте узлы, связанные непрерывным идеальным проводом.
2. Найдите элементы на одном неразветвлённом пути или между одной парой узлов.
3. Найдите эквивалентное сопротивление, начиная с самой простой группы.
4. Найдите ток источника по закону Ома.
5. Разверните упрощение, чтобы получить падения напряжения и токи ветвей.
6. Проверьте ток в узлах, напряжения по контурам и суммарную мощность.

Держите единицы на виду. Ток 500 миллиампер равен 0,5 ампера. Килоомы тоже требуют перевода. Наше руководство о математических ошибках в физике показывает важность этих маленьких пересчётов.

Раздел OpenStax о соединении резисторов выводит те же связи для идеальных цепей. У настоящих батарей есть внутреннее сопротивление и предел тока, у элементов допустимая мощность. Численные примеры здесь нужны для практики расчётов, а не для сборки сильноточной цепи или работы с домашней электропроводкой.

Примените схему на практике

В теме Physics Zen «Электрические цепи» есть закон Ома, последовательные и параллельные резисторы, электрическая мощность и правила Кирхгофа. На iPhone и Android первые три навыка бесплатны; Premium нужен только для последнего навыка, правил Кирхгофа. До усложнения вычислений тренируйтесь находить узлы.

Если ответ выглядит неверным, перерисуйте соединения вместо поиска новой формулы. Общий ток указывает на последовательное соединение, общие конечные узлы на параллельное. Эти два наблюдения делают большую часть работы.