Конденсаторы последовательно и параллельно: заряд, напряжение и ёмкость

Два конденсатора по шесть микрофарад при подключении к одному источнику 12 вольт могут дать разные эквивалентные ёмкости. Подключите их к одной паре узлов, получится 12 микрофарад. Соедините друг за другом, получится три микрофарада. Детали те же. Соединение определяет, какую величину они делят между собой.

В цепях конденсаторов полезнее спрашивать не «какую формулу я помню?», а «какие пластины имеют общие узлы и какой узел изолирован?». Здесь предполагаются идеальные конденсаторы и провода. На цепь подано постоянное напряжение, а сами конденсаторы и изолированные внутренние узлы сначала не заряжены. Эти условия важны для обычного правила равных зарядов в последовательном соединении.

Начните с заряда на один вольт

Конденсатор имеет две разделённые проводящие пластины. В простой модели одна несёт заряд $+Q$, другая $-Q$. Символ $Q$ обозначает модуль заряда любой одной пластины, а не сумму модулей обеих. Ёмкость показывает, сколько такого заряда хранится на каждый вольт между пластинами:

$$C=\frac{Q}{V},\qquad Q=CV$$

Фарад равен кулону на вольт. В задачах удобно использовать микрофарады и микрокулоны: $1\ \mu\mathrm{F}\times1\ \mathrm{V}=1\ \mu\mathrm{C}$. Поэтому на каждой пластине конденсатора ёмкостью шесть микрофарад под 12 вольтами модуль заряда $Q=72\ \mu\mathrm{C}$. Раздел OpenStax о ёмкости определяет эту связь.

Не путайте ёмкость с зарядом. Ёмкость является свойством идеального элемента, а заряд меняется при изменении напряжения. Не складывайте модули зарядов положительной и отрицательной пластин одного конденсатора, утверждая, что он хранит вдвое больше $Q$. Его суммарный заряд нулевой, а пластины имеют равные и противоположные заряды.

Параллельно: одно напряжение, заряды складываются

Два конденсатора параллельны, если каждый подключён к одной паре узлов. Оба видят одну разность потенциалов $V$. У каждого свой модуль заряда на пластине, $Q_1=C_1V$ и $Q_2=C_2V$. Источник поставляет сумму на пластины положительной стороны:

$$Q_{\mathrm{total}}=Q_1+Q_2=(C_1+C_2)V$$

Поскольку у эквивалентного конденсатора $Q_{\mathrm{total}}=C_{\mathrm{p}}V$,

$$C_{\mathrm{p}}=C_1+C_2$$

Для большего числа параллельных конденсаторов ёмкости тоже складываются. Это не означает равных зарядов. При общем напряжении большая ёмкость удерживает больше заряда.

Возьмите $C_1=2\ \mu\mathrm{F}$ и $C_2=4\ \mu\mathrm{F}$ параллельно под 12 вольтами. Для обоих $V_1=V_2=12\ \mathrm{V}$. Модули зарядов:

$$Q_1=(2\ \mu\mathrm{F})(12\ \mathrm{V})=24\ \mu\mathrm{C},\qquad Q_2=(4\ \mu\mathrm{F})(12\ \mathrm{V})=48\ \mu\mathrm{C}$$

Вместе они получают $72\ \mu\mathrm{C}$ от источника, что равно $(6\ \mu\mathrm{F})(12\ \mathrm{V})$. Равное напряжение при разных зарядах именно то, что предсказывает $Q=CV$.

Последовательно: один модуль заряда, напряжения складываются

Теперь подключите те же конденсаторы один за другим между выводами источника. Между ними есть один внутренний узел без третьего провода. В заданной модели сначала его суммарный заряд нулевой, и он остаётся изолированным. Заряд, индуцированный на одной стороне узла, должен компенсироваться равным и противоположным на другой. Поэтому два конденсатора получают одинаковый модуль заряда $Q$, хотя знаки пластин различаются.

Напряжение источника равно сумме модулей напряжений конденсаторов. Поскольку $V_i=Q/C_i$,

$$V=V_1+V_2=\frac{Q}{C_1}+\frac{Q}{C_2}=Q\left(\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}\right)$$

Эквивалентный конденсатор также удовлетворяет $V=Q/C_{\mathrm{s}}$, поэтому

$$\frac{1}{C_{\mathrm{s}}}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2},\qquad C_{\mathrm{s}}=\frac{C_1C_2}{C_1+C_2}\quad\text{for two capacitors}$$

Для двух и четырёх микрофарад последовательно $C_{\mathrm{s}}=8/6=4/3\ \mu\mathrm{F}$. При 12 вольтах общий модуль заряда равен

$$Q=C_{\mathrm{s}}V=\frac{4}{3}\ \mu\mathrm{F}\times12\ \mathrm{V}=16\ \mu\mathrm{C}$$

На конденсаторе в два микрофарада $V_1=Q/C_1=8\ \mathrm{V}$, на четырёх микрофарадах $V_2=4\ \mathrm{V}$. Сумма равна 12 вольтам. При равном заряде меньшая ёмкость получает большее напряжение. Равный заряд не означает равного напряжения.

Последовательная эквивалентная ёмкость меньше даже меньшей отдельной ёмкости. Чтобы понять почему, зафиксируйте $Q$. Два падения напряжения складываются, значит всей паре нужно больше вольт на единицу заряда, чем каждому элементу. Поэтому общее $Q/V$ меньше. Вывод OpenStax для последовательного и параллельного соединения использует ту же логику общих заряда и напряжения.

Короткое правило равных зарядов требует условий. Если конденсатор был заряжен заранее или внутренний узел первоначально имел ненулевой заряд, нужно применять сохранение заряда в каждом узле. Мостовая сеть тоже может не сводиться к простым последовательным и параллельным группам. Вариант с резисторами разобран через правила Кирхгофа для узлов и контуров. До применения правила назовите условия.

Точно понимайте слово заряд в последовательном решении. Обращённые друг к другу пластины изолированного узла имеют противоположные знаки. Фраза «оба конденсатора имеют заряд $Q$» означает равные модули на их пластинах, а не переход положительного заряда через изолирующий промежуток. Напряжение источника 12 вольт приложено ко всей цепочке, у каждого конденсатора лишь своя доля. Помните о знаках пластин и концах напряжения, даже если задача просит только модули. Так верная формула эквивалентной ёмкости не приведёт к неверным отдельным напряжениям и зарядам.

Упростите смешанную сеть, затем разверните

Рассмотрим конденсатор 12 микрофарад последовательно с параллельной парой два и четыре микрофарада. Ко всей сети приложено 12 вольт. Сначала объедините параллельную пару:

$$C_{23}=2+4=6\ \mu\mathrm{F}$$

Теперь сеть содержит 12 микрофарад последовательно с шестью:

$$C_{\mathrm{eq}}=\frac{12\times6}{12+6}=4\ \mu\mathrm{F}$$

Модуль заряда, поставляемого источником, $Q_{\mathrm{eq}}=C_{\mathrm{eq}}V=48\ \mu\mathrm{C}$. Он также равен заряду конденсатора 12 микрофарад и эквивалентной группы 6 микрофарад, поскольку эти группы последовательны. На первом конденсаторе $V_1=48/12=4\ \mathrm{V}$. Параллельной группе остаётся $8\ \mathrm{V}$.

Оба конденсатора внутри параллельной группы находятся под восемью вольтами. Их заряды:

$$Q_2=(2\ \mu\mathrm{F})(8\ \mathrm{V})=16\ \mu\mathrm{C},\qquad Q_3=(4\ \mu\mathrm{F})(8\ \mathrm{V})=32\ \mu\mathrm{C}$$

Заряды ветвей складываются в $48\ \mu\mathrm{C}$, совпадая с зарядом последовательной группы. Проверка напряжения: $4+8=12\ \mathrm{V}$. Частая ошибка в том, чтобы назначить 48 микрокулонов каждой ветви, потому что столько имеет эквивалентная группа. С последовательным конденсатором совпадает сумма группы, распределённая между ветвями по ёмкостям.

Структура примера такая же, как у смешанной сети OpenStax, но действия полезны для любой упрощаемой цепи: определите группы по общим узлам, сворачивайте внутрь, найдите заряд источника, разверните обратно. Не объединяйте конденсаторы только потому, что они рядом на схеме. Наше руководство по последовательным и параллельным цепям показывает, как находить узлы, но его численные примеры посвящены резисторам, для которых правила соединения обратные.

Четыре проверки до принятия ответа

1. Соединение: параллельные элементы разделяют оба конечных узла; последовательные имеют один изолированный промежуточный узел без ветви.
2. Величина: при положительных идеальных ёмкостях параллельная эквивалентная больше каждой составляющей, последовательная меньше каждой.
3. Единицы: микрофарады, умноженные на вольты, дают микрокулоны. Не отвечайте на вопрос о заряде в фарадах или о ёмкости в кулонах.
4. Восстановление: напряжения параллельных ветвей равны, сумма последовательных падений равна напряжению источника, заряды ветвей складываются в заряд параллельной группы.

Для обратной проверки возьмите два последовательных конденсатора: $C_1=3\ \mu\mathrm{F}$ и $C_2=6\ \mu\mathrm{F}$ под 18 вольтами. Эквивалентная ёмкость два микрофарада, значит у каждого модуль заряда $36\ \mu\mathrm{C}$. Напряжения 12 и 6 вольт. Больший конденсатор имеет меньшее напряжение, а падения дают 18 вольт. Если у вас получилось по 18 вольт на каждом, вы ошибочно применили правило параллели.

В теме Physics Zen о конденсаторах задачи на заряд, ёмкость и энергию дают практику базовой связи перед смешанными сетями. Записывайте тип соединения и единицы рядом с расчётом. Когда они верны, арифметика обычно проста.