Потенциал и электрическое поле: высота, наклон и заряд

Две точки могут находиться высоко в горах, хотя участок между ними почти плоский. Третья точка может быть гораздо ниже, но находиться на крутом склоне. Высота и наклон описывают разные свойства одного рельефа.

Электрический потенциал и поле связаны похожим образом. Потенциал задаёт значение в каждой точке. Поле показывает, как это значение меняется при перемещении, включая направление самого быстрого убывания. Большой потенциал не обязательно означает сильное поле.

Здесь рассматривается электростатика: заряды и поля, не меняющиеся со временем. В этих условиях одно распределение потенциала полностью задаёт электрическое поле.

Четыре величины и две полезные пары

Начнём с величин для конкретного заряда. На него действует электрическая сила $\mathbf{F}$, а в данной системе зарядов он обладает электрической потенциальной энергией $U$.

Разделим каждую величину на пробный заряд $q$:

$$\mathbf{E}=\frac{\mathbf{F}}{q}, \qquad V=\frac{U}{q}$$

Поле $\mathbf{E}$ и потенциал $V$ описывают окружающую систему. Поместите туда другой небольшой пробный заряд: сила и энергия изменятся, но сама система нет, если пробный заряд существенно не повлияет на исходные заряды.

Поле является вектором: направление входит в ответ. Потенциал является скаляром: у него есть значение со знаком, но нет направления. Во введении OpenStax в электрический потенциал разбирается разница между энергией и энергией на единицу заряда.

Наше руководство по закону Кулона объясняет, как исходные заряды создают силу и поле. Потенциал даёт ещё один путь решения той же задачи.

Напряжение сравнивает две точки

Напряжение является разностью потенциалов:

$$\Delta V=V_B-V_A$$

Для заряда, переходящего из A в B, изменение потенциальной энергии равно

$$\Delta U=q\Delta V$$

Пусть заряд $+3\ \mathrm{\mu C}$ перемещается из точки с потенциалом 10 В в точку с потенциалом 4 В. Изменение потенциала равно $4-10=-6\ \mathrm{V}$, поэтому

$$\Delta U=(3\times10^{-6})(-6) =-18\times10^{-6}\ \mathrm{J}$$

Потенциальная энергия уменьшается на 18 микроджоулей. Электрическое поле совершает над зарядом положительную работу в 18 микроджоулей. Если работу совершает только электрическая сила, кинетическая энергия увеличивается на ту же величину. Это такой же учёт, как в руководстве по работе и энергии.

Другой выбор нуля не изменит ни один результат. Прибавьте к обоим потенциалам 100 В: заряд перейдёт из 110 В в 104 В, разность всё равно составит снижение на 6 В. Фраза «в этой точке 10 В» всегда подразумевает выбранную точку отсчёта.

Поле равно наклону потенциала вниз

Вдоль одной координаты связь в электростатике выражается так:

$$E_x=-\frac{dV}{dx}$$

Минус задаёт направление: поле указывает туда, где потенциал убывает. Конспект Ричарда Фицпатрика из Техасского университета выводит эту связь из работы и энергии. Для однородного поля можно обойтись без математического анализа: разделите изменение потенциала на расстояние и поменяйте знак.

Допустим, потенциал равномерно падает с 18 В при $x=0$ до 6 В при $x=0.04\ \mathrm{m}$:

$$E_x=-\frac{6-18}{0.04}=+300\ \mathrm{V/m}$$

Положительный знак означает, что поле направлено вдоль положительной оси x. Если на тех же 4 см потенциал падает лишь на 3 В, поле равно 75 В/м. Важна величина падения на метр.

Краткая формула $E=|\Delta V|/d$ предполагает однородное поле и расстояние, измеренное вдоль него. Между большими параллельными пластинами вдали от краёв она может служить полезным приближением. Вокруг точечного заряда поле меняется с расстоянием, поэтому конечная разность потенциалов, делённая на расстояние, даёт среднее вдоль пути, а не поле в каждой точке.

Когда потенциал изменяется, глава OpenStax о поле из потенциала показывает формулу с производной и обобщение на три измерения.

Отрицательный заряд меняет направление силы

Направление поля определяют по положительному пробному заряду. Сила на любой заряд равна

$$\mathbf{F}=q\mathbf{E}$$

Если $q$ отрицателен, сила направлена противоположно полю. В рассмотренном поле 300 В/м на заряд $-2\ \mathrm{\mu C}$ действует

$$F_x=(-2\times10^{-6})(300) =-6\times10^{-4}\ \mathrm{N}$$

Электрическая сила направлена вдоль отрицательной оси x, где потенциал выше. Это не значит, что потенциальная энергия растёт: увеличение $V$, умноженное на отрицательный заряд, даёт уменьшение $U$.

Направление движения нужно описывать точнее. Сила определяет ускорение, а не обязательно направление, в котором частица уже движется. Отрицательный заряд, запущенный к меньшему потенциалу, может продолжать двигаться туда, замедляясь. Фраза «отрицательные заряды движутся вверх по потенциалу» описывает силу или начальное ускорение из покоя, а не любую возможную траекторию.

Нулевой потенциал и нулевое поле означают разное

Поместите два одинаковых положительных точечных заряда на прямую. В середине их поля равны по модулю и противоположны по направлению, поэтому суммарное поле равно нулю. Если нуль потенциала выбран на бесконечности, каждый заряд даёт положительный потенциал. Потенциалы складываются, и в середине потенциал положителен, хотя поле равно нулю.

Теперь замените один исходный заряд отрицательным той же величины. В середине положительный и отрицательный потенциалы компенсируются. Но оба поля направлены от положительного заряда к отрицательному, поэтому складываются, а не уничтожаются.

Эти примеры показывают частую ошибку: сложение модулей полей так, словно это скалярные потенциалы. Для сложения полей учитывайте направления, а для потенциалов алгебраические знаки.

Нулевое поле в одной точке не означает, что потенциал постоянен во всей окрестности. Это может быть стационарная точка изменяющегося распределения, как небольшой ровный участок на склоне.

Эквипотенциальные поверхности подобны горизонталям

На топографической карте точки одной горизонтали имеют одинаковую высоту. На эквипотенциальной поверхности точки имеют одинаковый электрический потенциал.

Перемещение заряда вдоль такой поверхности не меняет его электрическую потенциальную энергию. Поле не совершает работы при этом перемещении, хотя может присутствовать. Там, где поле ненулевое, оно пересекает эквипотенциальную поверхность под прямым углом.

Близкие эквипотенциальные линии означают более сильное поле только тогда, когда соседние линии соответствуют одинаковым шагам потенциала. Если интервалы напряжения на рисунке неодинаковы, сначала проверьте подписи и лишь затем сравнивайте расстояния.

Выбирайте уравнение по вопросу

Нужно найти силу? Определите поле в точке расположения заряда и умножьте на заряд с его знаком. Укажите направление.

Нужна энергия или скорость? Найдите из разности потенциалов $\Delta U=q\Delta V$. Если другие силы тоже совершают работу, учтите их до перевода изменения энергии в скорость.

Дан график потенциала? По его наклону найдите компоненту поля вдоль оси графика. Более высокий график не обязательно более крутой.

Задача об электрической цепи? Следите за разностями потенциалов между узлами. Руководство по последовательным и параллельным цепям объясняет, почему изменения напряжения складываются вдоль контура, а параллельные ветви соединяют одну пару узлов.

Во время практики в Physics Zen сделайте рядом с задачей четыре колонки: поле, сила, потенциал, энергия. Прежде чем подставлять числа, запишите в нужной колонке единицы. Такое разделение помогает заметить ошибку знака или забытый заряд.