Закон Кулона без зубрёжки: заряд, сила и электрическое поле

Потрите воздушный шар о волосы, и он прилипнет к стене. Проведите пластмассовой расчёской по сухим волосам, и она сможет поднять маленькие клочки бумаги со стола. Между расчёской и бумагой нет видимой связи, но сила притягивает через пространство и становится больше при приближении.

Это электрическая сила. Закон Кулона позволяет её рассчитать: он показывает зависимость от величины зарядов и особенно от расстояния. В примерах будем считать небольшие неподвижные заряды в вакууме или воздухе.

Заряд как величина, которую можно посчитать

Электрический заряд бывает положительным и отрицательным. Одноимённые заряды отталкиваются, разноимённые притягиваются. Протон несёт одну положительную единицу, электрон одну отрицательную. Эта единица называется элементарным зарядом:

$$e = 1.602176634 \times 10^{-19}\ \mathrm{C}$$

После пересмотра системы СИ в 2019 году это значение точно по определению. Заряд любого тела кратен элементарному заряду целое число раз, а один кулон примерно соответствует $6.24 \times 10^{18}$ таким зарядам.

Заряд также сохраняется. Трение шара о волосы не создаёт его, а переносит электроны. Сколько приобретает одна сторона, столько теряет другая. Нейтральное тело тоже содержит заряды, но положительного и отрицательного поровну.

Формула закона Кулона и единицы

В 1785 году Шарль Огюстен Кулон опубликовал измерения отталкивания двух маленьких заряженных шаров на крутильных весах. По описанию APS News, сила оказалась обратно пропорциональна квадрату расстояния между их центрами.

В современной форме для двух точечных зарядов $q_1$ и $q_2$ на расстоянии $r$:

$$F = k\frac{|q_1 q_2|}{r^2}$$

$F$ измеряют в ньютонах, заряды в кулонах, $r$ между центрами в метрах. Постоянная Кулона $k$ переводит кулоны и метры в ньютоны:

$$k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \approx 8.99 \times 10^{9}\ \mathrm{N\,m^2/C^2}$$

Здесь $\varepsilon_0 \approx 8.854 \times 10^{-12}\ \mathrm{F/m}$ обозначает диэлектрическую проницаемость вакуума. С четырьмя значащими цифрами $k = 8.988 \times 10^{9}\ \mathrm{N\,m^2/C^2}$. Раздел OpenStax о законе Кулона даёт ту же запись.

Знаки модуля показывают, что формула даёт только величину силы. Знаки зарядов решают, будет ли это притяжение или отталкивание. Сила всегда действует вдоль прямой между зарядами.

Почему расстояние так важно

Член $r^2$ делает зависимость от расстояния сильной. Удвойте расстояние, и сила станет вчетверо меньше; утройте, и в девять раз.

Следующий образ даёт интуицию, а не доказательство. Представьте равномерное распространение влияния заряда во все стороны. На расстоянии $r$ оно распределено по сфере площадью $4\pi r^2$. Удвоение $r$ увеличит площадь вчетверо, поэтому на каждый участок придётся четверть. Множитель $4\pi$ в $k$ связан с той же сферой.

Квадрат расстояния помогает понять шар на стене. Заряды в нейтральной стене слегка перераспределяются: противоположные по знаку ближе к шару, одноимённые дальше. Поскольку сила чувствительна к расстоянию, близкое притяжение превосходит далёкое отталкивание, и шар держится.

Разбор: два одинаковых заряда

Два маленьких шара несут по $+2.0\ \mu\mathrm{C}$ и находятся на расстоянии $0.30\ \mathrm{m}$. Один микрокулон равен $10^{-6}\ \mathrm{C}$, поэтому для каждого заряда подставьте $2.0 \times 10^{-6}\ \mathrm{C}$:

$$F = \frac{(8.99 \times 10^{9})(2.0 \times 10^{-6})^2}{(0.30)^2} = \frac{0.03596}{0.090} \approx 0.40\ \mathrm{N}$$

Оба заряда положительны, поэтому отталкиваются. Каждый испытывает силу примерно 0,40 Н от другого, приблизительно вес тела массой 40 граммов.

Раздвиньте их до $0.60\ \mathrm{m}$. Расстояние выросло вдвое, сила стала вчетверо меньше, $0.10\ \mathrm{N}$, без полного пересчёта.

Разбор: насколько сильна электрическая сила?

Рассмотрим электрон и протон водорода, разделённые боровским радиусом: $r = 5.29 \times 10^{-11}\ \mathrm{m}$, характерным расстоянием для основного состояния атома. Модуль заряда каждого равен $e$:

$$F_e = \frac{(8.99 \times 10^{9})(1.602 \times 10^{-19})^2}{(5.29 \times 10^{-11})^2} \approx 8.24 \times 10^{-8}\ \mathrm{N}$$

Для тяжести между теми же частицами возьмите $G = 6.674 \times 10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2/kg^2}$, $m_e = 9.109 \times 10^{-31}\ \mathrm{kg}$ и $m_p = 1.673 \times 10^{-27}\ \mathrm{kg}$:

$$F_g = \frac{G m_e m_p}{r^2} \approx 3.63 \times 10^{-47}\ \mathrm{N}$$

Электрическая сила приблизительно в $2.27 \times 10^{39}$ раз больше. Обе убывают как $1/r^2$, поэтому отношение сохраняется при любом расстоянии.

Почему же тяжесть удерживает вас на Земле, а Луну на орбите? Потому что вещество почти идеально нейтрально. Протонам соответствуют электроны, огромные электрические притяжения и отталкивания почти взаимно компенсируются. У массы нет отрицательного варианта, поэтому тяжесть не компенсируется: каждый килограмм планеты добавляет притяжение.

Определите направление, затем складывайте

При нескольких зарядах каждая пара взаимодействует так, словно остальных нет. Суммарная сила равна векторной сумме. Это принцип суперпозиции.

Разместите три заряда на прямой:

• $q_1 = +3.0\ \mu\mathrm{C}$ в $x = 0$.
• $q_2 = -2.0\ \mu\mathrm{C}$ в $x = 0.20\ \mathrm{m}$.
• $q_3 = +1.0\ \mu\mathrm{C}$ в $x = 0.10\ \mathrm{m}$.

Найдите суммарную силу на $q_3$, расположенный в $0.10\ \mathrm{m}$ от каждого другого. До расчёта определите направления. $q_1$ и $q_3$ положительны, поэтому $q_1$ отталкивает $q_3$ к $+x$. Отрицательный $q_2$ притягивает $q_3$ к себе, тоже к $+x$.

Результаты будем складывать, поэтому сохраним четыре цифры и используем $k = 8.988 \times 10^{9}\ \mathrm{N\,m^2/C^2}$:

$$F_{13} = \frac{(8.988 \times 10^{9})(3.0 \times 10^{-6})(1.0 \times 10^{-6})}{(0.10)^2} = 2.696\ \mathrm{N}$$ $$F_{23} = \frac{(8.988 \times 10^{9})(2.0 \times 10^{-6})(1.0 \times 10^{-6})}{(0.10)^2} = 1.798\ \mathrm{N}$$

Обе силы направлены одинаково, так что их модули складываются:

$$F_{\mathrm{net}} = 2.696 + 1.798 = 4.494\ \mathrm{N} \approx 4.49\ \mathrm{N}$$

На $q_3$ действует около 4,49 Н вправо. Физика определила направления, формула дала модули.

От силы к полю

Закон Кулона описывает пару зарядов. Электрическое поле описывает пространство вокруг одного заряда. Это сила на единицу небольшого положительного пробного заряда $q$:

$$E = \frac{F}{q}$$

Единица ньютон на кулон; направление совпадает с толчком положительного заряда. Разделите формулу Кулона на пробный заряд, и получите поле точечного заряда $Q$:

$$E = k\frac{|Q|}{r^2}$$

На расстоянии $0.30\ \mathrm{m}$ от заряда $2.0\ \mu\mathrm{C}$:

$$E = \frac{(8.99 \times 10^{9})(2.0 \times 10^{-6})}{(0.30)^2} \approx 2.0 \times 10^{5}\ \mathrm{N/C}$$

Поле существует и без пробного заряда. Вычислите его один раз, и $F = qE$ даст силу на любой заряд в этой точке: ещё один заряд $2.0\ \mu\mathrm{C}$ испытает 0,40 Н из первого примера. На отрицательный заряд сила направлена против поля.

Линии электрического поля выходят из положительных зарядов и входят в отрицательные либо уходят на бесконечность. Поле в точке направлено по касательной к линии, а густые линии обозначают более сильное поле. Они не пересекаются, поскольку у поля в точке лишь одно направление. Вокруг одиночного заряда одинаковое число линий проходит через каждую сферу, поэтому плотность падает как $1/r^2$: снова закон обратных квадратов.

Следующий шаг, электрический потенциал, измеряет энергию на единицу заряда в вольтах. Напряжение в руководстве по последовательным и параллельным цепям является разностью потенциалов.

Кулон и Ньютон рядом

Сравните два закона:

$$F = k\frac{|q_1 q_2|}{r^2} \qquad F = G\frac{m_1 m_2}{r^2}$$

Оба пропорциональны произведению двух исходных величин и убывают с обратным квадратом расстояния. Разница в знаке: видов зарядов два, масса одного вида. Поэтому электрическая сила бывает притяжением или отталкиванием, а тяжесть только притяжением. Разница в величине приблизительно $10^{39}$ раз, как рассчитано выше.

Законы Ньютона переводят кулонову силу в ускорение так же, как любую другую. Работает и третий закон: в примере с тремя зарядами $q_3$ толкает $q_1$ обратно с теми же 2,696 Н, хотя заряд $q_1$ втрое больше. Руководство по круговому движению показывает тяжесть как центростремительную силу орбиты; в боровской модели водорода такую роль для электрона играет кулоново притяжение.

Ошибки, которые стоят баллов

• Не возводят расстояние в квадрат. Деление на 0,30 вместо 0,090 в первом примере даёт 0,12 Н вместо 0,40 Н.
• Не переводят единицы. Микро это $10^{-6}$, нано $10^{-9}$, а 30 см равны 0,30 м. Если оставить оба заряда в микрокулонах, сила окажется больше в $10^{12}$ раз.
• Принимают знак за направление. Произведение $q_2$ и $q_3$ со знаками отрицательно, что может выглядеть как «влево». На самом деле это признак притяжения, а $q_2$ справа. Если направить силу влево, получится около 0,90 Н вместо 4,49 Н.
• Складывают модули разнонаправленных сил. Прямо складывать можно лишь при одном направлении. На прямой противоположные силы вычитают, под углом раскладывают на компоненты.
• Путают E и F. Поле в Н/Кл относится к точке пространства, сила в ньютонах действует на конкретный заряд.

Первые две ошибки математические. Руководство об ошибках по физике, которые на самом деле математические разбирает приставки и степени десяти.

Примените закон на практике

В теме Physics Zen «Электростатика» есть три навыка: заряд и закон Кулона, электрическое поле и электрический потенциал. На iPhone и Android первые два навыка бесплатны; Premium нужен только для последнего навыка, электрического потенциала. Электростатика есть и в курсах A-Level, Abitur, Bac; руководства A-Level, Abitur и Bac показывают её место.

До расчёта определите направление каждой силы. Затем проверьте расстояние: оно в метрах и возводится в квадрат. Ни один другой член закона Кулона не влияет на ответ столь сильно.