Закон Архимеда: как рассчитать выталкивающую силу на примерах

Опустите пустую закрытую бутылку под воду в бассейне. Рука почувствует, как она толкает обратно. Отпустите её, и бутылка поднимется, пока лишь часть останется в воде. Теперь бросьте в тот же бассейн металлический ключ. Он утонет, но вода и его толкает вверх. Разница лишь в том, может ли этот толчок уравновесить вес тела.

Закон Архимеда задаёт величину толчка: выталкивающая сила равна весу жидкости, вытесненной телом. Он работает для плавающих, тонущих и удерживаемых под водой тел. В расчёте меняется объём погружённой части. Многие ошибки возникают, когда подставляют полный объём тела, хотя жидкость вытесняет только часть.

В примерах используем воду с плотностью $1000\ \mathrm{kg/m^3}$ и ускорение свободного падения $9.81\ \mathrm{m/s^2}$. Это округлённые значения модели. Считаем плотность воды однородной, тела не впитывают воду и не меняют объём, а также находятся в покое, кроме случаев, где прямо говорится об отпускании.

Почему сила направлена вверх

Вода давит на все стороны погружённого тела. Давление растёт с глубиной, поэтому нижнюю поверхность вода толкает сильнее верхней. В простой симметричной ситуации горизонтальные силы компенсируются, а равнодействующая направлена вверх. Раздел OpenStax о выталкивающей силе объясняет картину через давление и формулирует закон Архимеда для частичного и полного погружения.

Есть другой мысленный рисунок. Уберите тело и верните на его место вытесненную воду. Давление окружающей воды удерживало бы этот объём. Замените воду телом: окружающая вода продолжит поддерживать занятый объём той же силой. Поэтому сила вверх равна весу вытесненной воды. Собственный вес тела определяет, достаточно ли поддержки для плавания, но не существование выталкивающей силы.

При однородной плотности масса вытесненной жидкости равна $\rho_{\mathrm{fluid}}V_{\mathrm{displaced}}$. Умножьте на $g$ для веса:

$$F_{\mathrm{b}}=\rho_{\mathrm{fluid}}gV_{\mathrm{displaced}}$$

Единицы проверяют формулу: $(\mathrm{kg/m^3})(\mathrm{m/s^2})(\mathrm{m^3})=\mathrm{kg\,m/s^2}=\mathrm{N}$. Выталкивающая сила является силой в ньютонах, а не массой в килограммах. Демонстрация закона Архимеда UC Santa Barbara показывает формулу и сравнивает уменьшение показания весов с собранной водой от погружённого шара.

Какой объём подставлять в формулу?

Берите объём вытесненной жидкости. Он точно равен объёму части тела внутри жидкости, если жидкость не может проходить сквозь тело.

• Для твёрдого тела полностью под водой вытесненный объём равен его полному внешнему объёму.
• Для тела, часть которого выступает над поверхностью, вытесненный объём равен только погружённой части.
• Если тело медленно опускают в воду, вытесненный объём растёт по мере погружения до полного погружения.

Чтобы сразу вычислить выталкивающую силу, формуле не нужны масса или плотность самого тела. Они понадобятся для сравнения с весом или нахождения положения плавания. Нарисуйте линию воды и используйте только объём под ней.

Разбор: тонущее тело удерживают под водой

Возьмите компактное тело массой $1.0\ \mathrm{kg}$ с внешним объёмом $0.5\ \mathrm{L}=0.0005\ \mathrm{m^3}$. Полностью опустите его в воду на тонком крючке весов и удерживайте, не касаясь дна. Называя весом в воздухе $mg$, пренебрегаем малой выталкивающей силой воздуха.

Вес равен

$$W=mg=(1.0)(9.81)=9.81\ \mathrm{N}$$

При полном погружении тело вытесняет $0.0005\ \mathrm{m^3}$ воды. Выталкивающая сила равна

$$F_{\mathrm{b}}=(1000)(9.81)(0.0005)=4.905\ \mathrm{N}$$

Тяжесть по-прежнему тянет вниз с $9.81\ \mathrm{N}$. Вода толкает вверх с $4.905\ \mathrm{N}$. Весы обеспечивают остальную направленную вверх силу, поэтому показывают

$$T=W-F_{\mathrm{b}}=9.81-4.905=4.905\ \mathrm{N}$$

Это кажущийся вес подвешенного под водой тела. Урок NASA о выталкивающей силе использует то же вычитание сил с другими единицами. Масса тела не уменьшилась, часть веса поддерживает вода. Снимите его с крючка, и вес, превышающий выталкивающую силу, заставит тело ускоряться вниз. Если тело дойдёт до дна, появится контактная сила, и формула для подвешенного тела уже не описывает весь баланс.

Нарисуйте силы до решения о плавании

Метод диаграммы свободного тела здесь особенно полезен. Рисуйте только силы, действующие на тело. Для подвешенного тела это вес $W$ вниз, сила Архимеда $F_{\mathrm{b}}$ вверх и натяжение весов $T$ вверх. В покое $T+F_{\mathrm{b}}-W=0$. Если снять тело с весов, уберите $T$ и примените второй закон Ньютона к оставшейся равнодействующей.

Для свободно плавающего тела в покое нет удерживающих весов и контакта с дном. Уравновешиваются только вес и выталкивающая сила:

$$F_{\mathrm{b}}=W$$

Равенство следует из равновесия. Это не значит, что вода заранее «знает» вес тела. Тело перемещается, пока не погрузится настолько, чтобы вытеснить равный ему вес воды. Дополнительный груз погружает его глубже, снятие груза позволяет подняться. Руководство по законам Ньютона объясняет, почему нулевая равнодействующая означает покой или равномерное движение, а неуравновешенная сила меняет движение.

Разбор: сколько объёма бруска под водой?

Рассмотрим закрытый брусок полного объёма $1.0\ \mathrm{L}=0.001\ \mathrm{m^3}$ и средней плотности $600\ \mathrm{kg/m^3}$. Масса равна $(600)(0.001)=0.6\ \mathrm{kg}$, поэтому вес

$$W=(0.6)(9.81)=5.886\ \mathrm{N}$$

Пусть брусок свободно плавает. В равновесии вытесненная вода должна весить $5.886\ \mathrm{N}$. Выразим объём:

$$V_{\mathrm{displaced}}=\frac{W}{\rho_{\mathrm{water}}g} =\frac{5.886}{(1000)(9.81)} =0.0006\ \mathrm{m^3}=0.6\ \mathrm{L}$$

Итак, $0.6/1.0=0.60$, или 60 процентов объёма бруска, под водой. Остальные 40 процентов выступают над ней в идеальной модели. То же следует из отношения плотностей:

$$\frac{V_{\mathrm{submerged}}}{V_{\mathrm{object}}} =\frac{\rho_{\mathrm{object,average}}}{\rho_{\mathrm{fluid}}} =\frac{600}{1000}=0.60$$

Эта короткая формула предполагает свободное плавание в равновесии, однородную жидкость и среднюю плотность тела, найденную по его внешнему объёму. Она не определяет погружённую долю тонущего тела, которое удерживают верёвкой или подпирают дном. В такой простой ситуации для свободно плавающего тела отношение не может превысить единицу: если средняя плотность тела больше плотности жидкости, оно не вытеснит достаточно жидкости, оставаясь на плаву.

Теперь полностью погрузите тот же брусок и удерживайте. Он вытеснит весь свой объём $1.0\ \mathrm{L}$, поэтому сила Архимеда станет $(1000)(9.81)(0.001)=9.81\ \mathrm{N}$. Вес остаётся $5.886\ \mathrm{N}$. До приложения удерживающей силы равнодействующая была бы $9.81-5.886=3.924\ \mathrm{N}$ вверх. Поэтому приходится толкать вниз, чтобы удержать его под водой. Не используйте $9.81\ \mathrm{N}$ как силу Архимеда при свободном плавании: она равна $5.886\ \mathrm{N}$, поскольку под водой лишь $0.6\ \mathrm{L}$.

В теме Physics Zen о жидкостях вытесненный объём и баланс сил изучаются отдельно. Сначала вычисляйте объём в кубических метрах, затем сравнивайте силы в ньютонах.

Попробуйте две короткие задачи

Задача 1. Полностью погружённое твёрдое тело вытесняет $0.002\ \mathrm{m^3}$ воды. Найдите силу Архимеда с теми же значениями модели. Ответ: $(1000)(9.81)(0.002)=19.62\ \mathrm{N}$ вверх. Масса тела для этого шага не нужна, но потребуется, чтобы понять, всплывёт ли тело после отпускания.

Задача 2. Закрытое свободно плавающее тело имеет среднюю плотность $750\ \mathrm{kg/m^3}$ в принятой модели воды. Какая доля объёма погружена? Ответ: $750/1000=0.75$, или 75 процентов. Если внешний объём тела $2.0\ \mathrm{L}$, погружённый объём равен $1.5\ \mathrm{L}$. Проверьте по массе: $(750)(0.002)=1.5\ \mathrm{kg}$, что равно массе $1.5\ \mathrm{L}$ воды в модели.

Частые ошибки, которые стоит ловить

Используют полный объём частично плавающего тела. Жидкость вытесняет только погружённая часть. Найдите её из равновесия, а не приравнивайте всему бруску.

Думают, что тонущее тело не испытывает выталкивающую силу. Сила вверх может быть большой, но при отпускании не уравновешивает вес.

Считают кажущийся вес изменением гравитации. Вес остаётся $mg$. Весы показывают меньше, потому что воду тоже нужно учесть как источник силы вверх.

Смешивают литры и кубические метры. Один литр равен $0.001\ \mathrm{m^3}$. Переведите объём до умножения на плотность в кубических метрах.

Применяют отношение плотностей за пределами условий плавания. Для удерживаемого под водой, опирающегося на дно тела или жидкости с переменной плотностью нужен настоящий баланс сил. Нарисуйте диаграмму и вернитесь к вытесненному объёму.

Частые вопросы

Растёт ли выталкивающая сила с глубиной?

В модели постоянной плотности более глубокое положение уже полностью погружённого жёсткого тела не меняет вытесненный объём, поэтому $\rho gV$ остаётся тем же. Пока тело опускают в воду, сила растёт, потому что увеличивается погружённый объём. Для сжимаемого тела или жидкости с плотностью, меняющейся с глубиной, нужен другой анализ.

Почему тяжёлый корабль плавает, а маленький металлический ключ тонет?

Вес сам по себе не решает. Корпус корабля заключает внутри пространство и вместе с ним имеет достаточно низкую среднюю плотность, чтобы вытеснить воду своего веса до достижения ватерлинией верха корпуса. Средняя плотность компактного ключа больше плотности воды, поэтому полное погружение не даёт достаточной выталкивающей силы.

Вытесненная вода равна вылившейся?

Вытесненный объём это пространство, из которого тело исключило воду. В переливной ёмкости равное количество может вылиться. В бассейне вместо этого поднимется уровень воды. Выталкивающая сила зависит от веса вытесненной жидкости, а не от сбора вылившейся воды.