Электромагнитная индукция: закон Фарадея с примерами расчёта

Приближайте магнит к катушке из провода, и подключённый прибор может отклониться. Остановите магнит, отклонение исчезнет. Удаляйте его, отклонение сменит знак. Пока магнит стоит, катушка всё ещё находится в магнитном поле. Изменился магнитный поток через катушку.

Электромагнитная индукция превращает изменение этого потока в электродвижущую силу, обычно сокращённо ЭДС. Закон Фарадея определяет величину индуцированной ЭДС, правило Ленца её направление. Оба проще применять, если разделять три вопроса: что проходит через контур, как это меняется и есть ли замкнутый путь для тока?

Магнитный поток учитывает поле через площадь

Вообразите плоскую плёнку, натянутую внутри одного витка провода. Магнитный поток измеряет поле через неё с учётом направления. Общее определение:

$$\Phi_B=\int_A\mathbf{B}\cdot\hat{\mathbf n}\,dA.$$

Символ $\mathbf B$ означает магнитное поле, $dA$ маленький участок плёнки, $\hat{\mathbf n}$ выбранный единичный вектор нормали, перпендикулярный плёнке. Скалярное произведение берёт только компонент поля, перпендикулярный плёнке. Выберите, в какую сторону контура смотрит нормаль, и сохраняйте выбор. При повороте контура нормаль вращается с ним. Обратная нормаль меняет знаки потока и ЭДС, но не физическое направление тока.

Для плоского контура площадью $A$ в однородном поле модуля $B$ интеграл становится

$$\Phi_B=BA\cos\theta,$$

где $\theta$ угол между полем и нормалью к поверхности. Если поле проходит прямо сквозь контур, $\theta=0^\circ$ и модуль потока равен $BA$. Если поле лежит в плоскости контура, $\theta=90^\circ$ и поток нулевой. Не подставляйте угол между полем и плоскостью без преобразования.

Единица СИ вебер, Вб: $1\ \mathrm{Wb}=1\ \mathrm{T\,m^2}$. Поток относится к одному витку. Если катушка состоит из $N$ одинаковых витков с одинаковым потоком, суммарное потокосцепление равно $N\Phi_B$. Разбор закона Фарадея в OpenStax даёт общее определение и сокращённую формулу для однородного поля.

Первый пример магнитного потока

Пусть площадь плоского контура $0.040\ \mathrm{m^2}$ в однородном поле $0.30\ \mathrm T$. Поле составляет угол $60^\circ$ с нормалью контура. Выберем нормаль так, чтобы поток был положительным:

$$\Phi_B=(0.30)(0.040)\cos60^\circ =0.0060\ \mathrm{Wb}.$$

Направьте нормаль того же контура вдоль поля, и поток станет $0.012\ \mathrm{Wb}$ при неизменных величине поля и площади. Изменение ориентации способно индуцировать ЭДС при постоянном поле.

Закон Фарадея измеряет скорость изменения

Для $N$ одинаковых витков с одинаковым потоком через каждый закон Фарадея:

$$\mathcal E=-N\frac{d\Phi_B}{dt}.$$

ЭДС $\mathcal E$ измеряется в вольтах. Один вебер за секунду равен одному вольту. Модуль растёт, если поток меняется быстрее, и пропорционален числу витков. Выбранная нормаль также задаёт положительный обход по правилу правой руки: большой палец вдоль нормали, согнутые пальцы в положительном направлении. Минус содержит правило Ленца, а не требование сообщать отрицательную величину.

Если в условии даны только начальный и конечный потоки за промежуток времени, найдите среднюю индукционную ЭДС:

$$\mathcal E_{\mathrm{avg}}=-N\frac{\Phi_{B,\mathrm{final}}-\Phi_{B,\mathrm{initial}}}{\Delta t}.$$

Средняя не сообщает значение в каждый момент, если поток меняется не с постоянной скоростью. Менять поток может не только поле. Площадь или угол контура могут меняться при постоянном $B$. Изменения поля где-то вне контура недостаточно: должен измениться поток через выбранный контур.

Расчёт средней индуцированной ЭДС

Катушка имеет 80 витков площадью $0.025\ \mathrm{m^2}$ каждый. Однородное поле, перпендикулярное виткам, вырастает от $0.10\ \mathrm T$ до $0.35\ \mathrm T$ за $0.20\ \mathrm s$. Положительную нормаль направьте вдоль поля. Изменение потока на один виток:

$$\Delta\Phi_B=A\Delta B =(0.025)(0.35-0.10) =0.00625\ \mathrm{Wb}.$$

Тогда средняя ЭДС равна

$$\mathcal E_{\mathrm{avg}} =-80\frac{0.00625}{0.20} =-2.5\ \mathrm V.$$

Её модуль равен $2.5\ \mathrm V$. Минус показывает, что по отношению к выбранной положительной нормали и направлению обхода ЭДС действует в обратную сторону. Если поле растёт неравномерно, $2.5\ \mathrm V$ всё равно остаётся средним модулем за интервал, а мгновенное значение может отличаться.

Правило Ленца: противодействуйте изменению, а не полю

До выбора обхода по или против часовой стрелки определите, увеличивается или уменьшается исходный поток через контур. Индукционный ток, если цепь замкнута, создаёт поле, сопротивляющееся этому изменению. Раздел OpenStax о правиле Ленца связывает направление с сохранением энергии.

Представьте плоский контур на листе. Магнитное поле направлено внутрь страницы и усиливается. Поток внутрь растёт. Индуцированное поле должно смотреть наружу страницы, противодействуя росту. Большой палец правой руки направьте наружу, пальцы закручиваются по току: если смотреть сверху, он идёт против часовой стрелки.

Теперь оставьте поле направленным внутрь, но ослабляйте. Индуцированное поле должно смотреть внутрь страницы, противодействуя падению потока. Правило правой руки даёт ток по часовой стрелке. Исходное поле в обоих случаях направлено одинаково. Направление индукции определяется изменением.

Те же шаги подходят для движущегося магнита. Укажите, каким полюсом он обращён к контуру и с какой стороны вы смотрите, определите изменение потока, затем примените правую руку. Просто сказать «по часовой» без стороны наблюдения недостаточно.

ЭДС может быть без кругового тока

Индуцированная ЭДС стремится вести заряд вдоль контура. Для устойчивого тока проводимости по кругу нужен замкнутый проводящий путь. Разорвите провод, и изменяющийся поток по-прежнему создаст ЭДС, но заряд не сможет постоянно проходить через разрыв. Если контур замкнут и сопротивление известно, простая резистивная модель даёт модуль тока $I=|\mathcal E|/R$. Одна ЭДС не задаёт ток: сопротивление тоже важно. Цепную сторону расчёта объясняет руководство по последовательным и параллельным соединениям.

Генератор использует принцип, вращая катушку относительно магнитного поля: меняются угол и поток. Неподвижный контур в постоянном однородном поле имеет неизменный поток и не создаёт ЭДС по закону Фарадея, хотя поле проходит сквозь него. Движущийся проводник иногда требует более тонкой схемы цепи, но для этих примеров правильно начинать с потока через замкнутый контур.

Не путайте индуцированную ЭДС с электростатической разностью потенциалов в задаче о неподвижных зарядах. Оба измеряются в вольтах, но меняющийся магнитный поток может вести заряд по замкнутому пути. Для сравнения со статическим полем прочитайте о потенциале и электрическом поле.

Три задачи с решениями

1. Площадь меняется в постоянном поле. Один прямоугольный проводящий контур расположен перпендикулярно однородному полю $0.40\ \mathrm T$. Площадь уменьшается от $0.030\ \mathrm{m^2}$ до $0.010\ \mathrm{m^2}$ за $0.50\ \mathrm s$. Каков модуль средней ЭДС? Направьте нормаль вдоль поля. Изменение потока $0.40(0.010-0.030)=-0.0080\ \mathrm{Wb}$. Поэтому $|\mathcal E_{\mathrm{avg}}|=0.0080/0.50=0.016\ \mathrm V$. Поле постоянно, сработало изменение площади.

2. Поворот катушки. Катушка из 20 витков площадью $0.010\ \mathrm{m^2}$ каждый находится в однородном поле $0.50\ \mathrm T$. За $0.10\ \mathrm s$ её нормаль поворачивается из параллельного полю положения в перпендикулярное. Найдите модуль средней ЭДС. Поток одного витка меняется от $BA=0.0050\ \mathrm{Wb}$ до нуля. Следовательно $|\mathcal E_{\mathrm{avg}}|=20(0.0050)/0.10=1.0\ \mathrm V$. Для среднего результата скорость поворота не обязана быть постоянной.

3. Направление и ток. Если смотреть сверху, поле из страницы через замкнутую катушку из пяти витков усиливается. Куда идёт индукционный ток? Поток наружу растёт, значит индуцированное поле должно смотреть внутрь страницы. Правило правой руки даёт ток по часовой стрелке при взгляде сверху. Если разомкнуть катушку, ЭДС останется, но ток не сможет циркулировать через разрыв.

Для практики расчётов потока и ЭДС используйте тему Physics Zen «Магнетизм и индукция». Индукция встречается в A-Level Physics и немецком Abitur. Руководство по A-Level и по Abitur показывают её место среди полей и электричества.