Импульс без зубрёжки: почему он сохраняется при столкновениях

Попробуйте толкнуть магазинную тележку и гружёный фургон по стоянке с одинаковой скоростью шага, а потом остановить их. Скорость одна, трудность совсем разная. Законы Ньютона позволяют рассчитать силу в каждый момент, а энергия показывает, сколько работы требует остановка. Но ни то ни другое прямо не выражает ощущаемую величину: сколько движения нужно убрать.

Физика называет эту величину импульсом тела. Это второй важный баланс механики. Статья о работе и энергии ввела первый, скалярный баланс между двумя моментами. Импульс даёт векторный баланс с тем же свойством и большим преимуществом: он сходится даже при грубом, неупорядоченном и затратном столкновении. Сминающиеся машины, слипающаяся глина и пули, застревающие в брусках, нарушают баланс кинетической энергии, но не этот баланс.

Это четвёртая статья серии по механике после кинематики, законов Ньютона, работы и энергии. Разберём, что измеряет импульс, почему форма второго закона через импульс силы точнее, почему сумма сохраняется при столкновениях, чем различаются три вида столкновений и какой баланс выбирать, когда перед вами задача.

Импульс как движение, которое несёт тело

Импульс равен массе, умноженной на скорость:

$$\vec{p} = m\vec{v}$$

Его измеряют в килограммах-метрах в секунду. Это вектор, и направление здесь действительно важно. Импульс направлен туда же, куда движется тело; импульсы в противоположных направлениях компенсируются. Шар массой 2 кг, движущийся вправо со скоростью 3 м/с, имеет импульс $+6$; тот же шар влево $-6$. У двух таких шаров, движущихся навстречу, суммарный импульс нулевой, хотя оба явно движутся.

Тележка и фургон имеют одинаковую скорость, поэтому их импульсы различаются лишь массой, и у фургона он в сто раз больше. Именно эту разницу вы чувствуете при остановке. Импульс прямо измеряет «сколько движения», а масса и скорость влияют одинаково: удвойте любую из них, и импульс удвоится. Сравните с кинетической энергией, где скорость возводится в квадрат. Уже здесь виден источник путаницы между импульсом и энергией.

Импульс силы в записи второго закона Ньютона

Ньютон не писал $F = ma$. Он описал силу как скорость изменения количества движения. В современных обозначениях это

$$\vec{F}_{\text{net}} = \frac{\Delta \vec{p}}{\Delta t}$$

Умножьте на время и получите теорему об изменении импульса:

$$\vec{F}_{\text{net}}\,\Delta t = \Delta \vec{p}$$

Слева сила, умноженная на длительность действия, то есть импульс силы в ньютон-секундах. Справа вызванное изменение импульса тела. При постоянной массе это преобразованное $F = ma$, поскольку $\Delta p = m\Delta v$ и $\Delta v / \Delta t = a$. Но эта форма показывает то, что запись с ускорением скрывает: одинаковое изменение движения можно получить большой силой за короткое время или малой силой за долгое.

Это физика любых защитных устройств. Машина со скоростью 15 м/с при остановке должна потерять весь импульс независимо от препятствия. Жёсткая стена останавливает её за несколько сотых секунды, поэтому сила огромна. Зона смятия растягивает остановку на несколько десятых, и сила уменьшается в той же пропорции. Подушка безопасности делает то же для головы. Ловля мяча с отведением рук назад, приземление с согнутыми коленями и мягкий пол в зале работают так же: величину $\Delta p$ они не меняют, а увеличивают $\Delta t$ и уменьшают $F$.

На графике силы от времени импульс силы равен площади под кривой. Так учитывают переменные силы. Краткий пик силы при столкновении даёт импульс, равный площади пика, а средняя сила равна этой площади, делённой на длительность.

Почему сумма сохраняется

Возьмите два сталкивающихся тела. Во время контакта A толкает B, а B толкает A. По третьему закону Ньютона силы равны по величине и противоположны по направлению. Они действуют ровно одинаковое время, потому что контакт для обоих начинается и заканчивается одновременно. Поэтому импульс силы на A противоположен импульсу силы на B, а изменения импульсов тел тоже противоположны:

$$\Delta \vec{p}_A = -\Delta \vec{p}_B \quad\Rightarrow\quad \vec{p}_A + \vec{p}_B = \text{constant}$$

Сколько импульса теряет одно тело, столько до последнего грамм-метра в секунду получает другое. Сумма не меняется. Это закон сохранения импульса. Обратите внимание, чего он не потребовал: ничего о силе удара, отскоке или слипании, о доле энергии, ушедшей в тепло и звук. Внутренние силы компенсируются парами, поэтому действия системы на саму себя не меняют её общий импульс.

Изменить его может только внешняя сила: трение о землю, тяжесть, стена. Поэтому в задачах об импульсе уточняют «во время столкновения». Контакт настолько короткий, что внешние силы обычно не успевают дать значительный импульс силы, и сумма прямо перед ударом равна сумме сразу после. Неподвижный фейерверк имеет нулевой импульс на площадке и нулевой суммарный импульс сразу после взрыва, хотя осколки движутся: их импульсы взаимно компенсируются.

Три вида столкновений

Импульс сохраняется во всех. Различие в том, что происходит с кинетической энергией. Именно это спрашивает задача о виде столкновения.

Абсолютно неупругое: тела сцепляются. Движущийся вагон соединяется с неподвижным. Пуля застревает в бруске. Две машины остаются сцеплены. После удара одно тело с суммарной массой движется с общей скоростью. Закон сохранения импульса сразу даёт её:

$$m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2)\,v_f$$

Кинетическая энергия после всегда меньше, и этот случай теряет максимально возможную её часть при сохранении импульса. Куда она делась? На деформацию, тепло и звук, в ту же колонку $f d$, куда в статье об энергии записывали потери на трение. Если тела слипаются, используйте импульс и не пишите $K_1 = K_2$: это неверно.

Упругое: тела отскакивают без потерь. Бильярдные шары, стальные шарики и с очень хорошим приближением молекулы газа. Сохраняются и импульс, и кинетическая энергия. Два уравнения позволяют найти две неизвестные конечные скорости. Простейший частный случай в одном измерении при равных массах: движущийся шар останавливается, а неподвижный уходит с прежней скоростью первого. Это знакомый удар в бильярде. В общем случае лобового упругого удара относительная скорость сближения равна относительной скорости удаления. Этот короткий путь заменяет алгебру квадратных уравнений.

Неупругое, но не абсолютно: тела отскакивают с потерями. Так устроено почти любое реальное столкновение. Мяч после падения не возвращается на прежнюю высоту, машины после удара разъезжаются, происходит подача в теннисе. Импульс сохраняется, кинетическая энергия уменьшается на величину, которую условие сообщает или просит найти. Для решения нужна ещё одна часть информации сверх одного импульса.

Чтобы различать случаи, всегда записывайте сохранение импульса. Сохранение энергии добавляйте только при слове «упругое» и никогда при слипании тел.

Два разобранных случая

Тележка сталкивается с неподвижной и сцепляется с ней. Тележка массой 3 кг при 4 м/с ударяет неподвижную тележку массой 1 кг, и они соединяются. Импульс до удара равен $3 \times 4 + 1 \times 0 = 12$. После пара общей массой 4 кг движется со скоростью $12 / 4 = 3\ \mathrm{m/s}$. Кинетическая энергия до равна $\tfrac{1}{2}(3)(16) = 24\ \mathrm{J}$, после $\tfrac{1}{2}(4)(9) = 18\ \mathrm{J}$. Шесть джоулей стали теплом и звуком сцепки. Импульс полностью сошёлся, энергия уменьшилась на четверть. Так выглядит «неупругость» в числах.

Отдача. Конькобежец массой 60 кг стоит на льду и бросает вперёд мяч массой 2 кг со скоростью 15 м/с. До броска суммарный импульс равен нулю, значит после импульс конькобежца должен компенсировать импульс мяча: $60\,v = -2 \times 15$. Отсюда $v = -0.5\ \mathrm{m/s}$, полметра в секунду назад. Конькобежца никто не толкал извне: он толкнул мяч, а дальше сработал третий закон. Ракеты, огнестрельное оружие и отдача пожарного шланга описываются тем же расчётом с другими числами.

Импульс или энергия: какой баланс открыть

Две сохраняющиеся величины отвечают на разные вопросы. Частая ошибка состоит в выборе знакомого способа вместо подходящего.

Используйте баланс импульса, когда:

• Взаимодействуют два или более тела и нужна скорость сразу после взаимодействия.
• В условии есть слипание, сцепление, застревание, взрыв, отдача или столкновение.
• Кинетическая энергия явно не сохраняется, потому что что-то смялось или слиплось.
• Нужно найти силу по времени и изменению скорости или наоборот.

Используйте баланс энергии, когда:

• Одно тело меняет высоту или движется по пути и нужна скорость в другой точке.
• Удар назван упругим и нужно второе уравнение.
• Единственная потеря связана с трением на известном расстоянии.

Оба баланса часто работают вместе. Классический пример: баллистический маятник. Пуля застревает в подвешенном бруске, значит на этапе удара нужен импульс. Затем брусок поднимается на высоту, и для единого тела, движущегося против тяжести, нужна энергия. Если применить их в обратном порядке или энергию на этапе вхождения пули, ответ сильно исказится. Навык состоит не только в знании законов, но и в понимании, какой из них относится к текущему этапу.

Откуда берутся ошибки

Импульс считают скаляром. Если отбросить знак скорости при лобовом столкновении, ответ полностью изменится. Выберите положительное направление, запишите каждую скорость со знаком и проверьте физический смысл конечного знака.

Сохраняют кинетическую энергию при слипании. В условии сказано, что тела соединяются, следовательно энергия теряется. Запись $K_{\text{before}} = K_{\text{after}}$ даёт противоречие или неверную скорость. Используйте только импульс.

Забывают, что импульс силы равен силе, умноженной на время, а не одной силе. Небольшая сила за долгое время может дать больший импульс, чем большая за короткое. Нужная величина равна площади под графиком силы от времени.

Применяют сохранение импульса к длинному промежутку с внешними силами. Импульс машины при движении вверх по склону не сохраняется: тяжесть и трение действуют достаточно долго. Сохранение относится к коротким взаимодействиям или системам без ненулевой внешней равнодействующей.

Путают массу, которая движется после удара. При абсолютно неупругом столкновении движется общая масса. При упругом оба тела остаются отдельными и могут иметь разные скорости. Обратите внимание на слово «сцепились».

Для чего нужен импульс

Кинематика описала движение, законы Ньютона объяснили его, работа и энергия позволили не следить за всем путём. Импульс позволяет не разбирать само столкновение. Не нужно знать силу, длительность и форму контакта: достаточно входящих импульсов, а их сумма после будет той же. Этот баланс переживает жёсткие удары.

Он также ведёт дальше. Момент импульса распространяет идею на вращение и помогает понять устойчивость гироскопа и ускорение вращения фигуриста при сведении рук. Форма второго закона через импульс и силу остаётся полезной в теории относительности, где $F = ma$ уже не работает напрямую. А закон сохранения, казавшийся следствием третьего закона Ньютона, связан с более глубокой особенностью: законы физики одинаковы здесь и на метр левее. За каждым законом сохранения стоит симметрия, и импульс даёт простейший пример.

Чтобы освоить тему, повторяйте цикл из руководства по эффективному изучению физики: выберите положительное направление, запишите импульсы до и после со знаками, определите по условию, сохраняется ли также энергия, решите и проверьте знаки и предельные случаи. В Physics Zen тема «Импульс и столкновения», где первые четыре навыка бесплатны, а Premium нужен только для последнего навыка о центре масс, даёт новые числа для задач об импульсе силы и средней силе, слипающихся ударах и отдаче, а также упругих столкновениях, начиная с равных масс. Так вы освоите два баланса, а не один разобранный пример.