Момент силы без зубрёжки: рычаг, угол и равновесие

Толкните дверь рядом с петлёй, затем с той же силой за ручку. Сила одинакова, но эффект вращения совсем другой. Сила описывает толчок или тягу. Момент силы описывает, как этот толчок или тяга стремится вращать тело вокруг выбранной оси.

Ответ определяют три вопроса: где ось, где приложена сила и куда она направлена? Начните с них, и формула момента станет коротким описанием рисунка.

Чтобы повернуть тело, силе нужно плечо

Представьте горизонтальный гаечный ключ, если смотреть сверху. Левым концом он охватывает болт. Вы тянете правый конец вверх, перпендикулярно рукоятке. Болт является осью, а рукоятка даёт силе механическое преимущество.

Передвиньте руку на половину расстояния к болту, не меняя силу: эффект вращения уменьшится вдвое. Тяните прямо вдоль рукоятки к болту или от него, и эффект исчезнет: линия силы пройдёт через ось.

Последнее выражение полезно. Продлите стрелку силы в обе стороны, получив воображаемую прямую. Это линия действия силы. Перпендикулярное расстояние от оси до этой прямой является плечом силы, также называемым плечом момента.

Чем больше перпендикулярное расстояние, тем больше момент при той же силе. Длинный инструмент помогает только тогда, когда направление приложения силы использует его длину.

Две равнозначные формулы момента силы

Для силы, действующей в плоскости, перпендикулярной неподвижной оси вращения, модуль момента равен

$$\tau = rF\sin\theta$$

Здесь $r$ расстояние от оси до точки приложения, $F$ модуль силы, $\theta$ угол между направленным от оси радиус-вектором и вектором силы.

Можно вместо этого использовать перпендикулярное плечо $d_\perp$:

$$d_\perp = r\sin\theta$$ $$\tau = Fd_\perp$$

Это два способа одного расчёта. Первый использует полную длину радиус-вектора и угол, второй непосредственно перпендикулярное расстояние. Если перпендикулярное плечо уже известно, не умножайте на синус ещё раз.

Глава OpenStax о моменте силы даёт векторную форму $\boldsymbol{\tau} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}$. Для плоского рисунка обычно достаточно модулей и знака по часовой или против часовой стрелки, без вычисления компонент векторного произведения.

Единица ньютон-метр, $\mathrm{N\,m}$. Размерность такая же, как у джоуля, но момент силы не является энергией. Название «ньютон-метр» помогает различать величины.

Расчёт: перпендикулярная тяга

От центра болта до вашей руки на ключе $0.25\ \mathrm{m}$. Приложите $40\ \mathrm{N}$ перпендикулярно рукоятке.

При $\theta = 90^\circ$ синус равен единице:

$$\tau = (0.25)(40)\sin 90^\circ = 10\ \mathrm{N\,m}$$

Та же сила на расстоянии $0.10\ \mathrm{m}$ даст

$$\tau = (0.10)(40) = 4\ \mathrm{N\,m}$$

Результат можно объяснить до вычисления: первая точка дальше от оси в 2,5 раза, поэтому момент тоже больше в 2,5 раза.

Поэтому дверные ручки расположены далеко от петель. Повседневное устройство делает уравнение наглядным. Но это не доказывает, что большая сила всегда сильнее вращает: расстояние и направление тоже важны.

Расчёт: тяга под углом

Оставьте ключ длиной $0.25\ \mathrm{m}$ и силу $40\ \mathrm{N}$, но приложите её под углом $30^\circ$ к направлению рукоятки от болта.

$$\tau = (0.25)(40)\sin 30^\circ = 5\ \mathrm{N\,m}$$

Поворачивает только компонент силы, перпендикулярный рукоятке:

$$F_\perp = 40\sin 30^\circ = 20\ \mathrm{N}$$

Умножьте этот компонент на длину рукоятки и получите тот же ответ: $0.25(20) = 5\ \mathrm{N\,m}$.

Компонент вдоль рукоятки всё ещё может действовать на предмет или опору, но не создаёт момента относительно болта. Нулевой момент не означает нулевую силу.

Всегда проверяйте, откуда на рисунке измерен угол. Если угол отложен от линии, перпендикулярной рукоятке, это не сам $\theta$. Может понадобиться дополнительный угол или, что то же самое, косинус. Правило «всегда берите синус» без определения векторов приводит к неверному ответу при верной формуле.

Моменты по часовой и против часовой стрелки противодействуют

В плоской задаче выберите одно направление вращения положительным. Часто выбирают против часовой стрелки, тогда движение по часовой отрицательно. Подойдёт любой вариант при постоянном его использовании.

Пусть на горизонтальную балку с осью посередине действуют две силы:

• Сила $30\ \mathrm{N}$ вниз приложена на $0.40\ \mathrm{m}$ левее оси.
• Сила $20\ \mathrm{N}$ вниз приложена на $0.30\ \mathrm{m}$ правее оси.

Левая сила стремится повернуть балку против часовой стрелки, правая по часовой. Их моменты со знаками равны

$$\tau_\mathrm{left} = +(30)(0.40) = +12\ \mathrm{N\,m}$$ $$\tau_\mathrm{right} = -(20)(0.30) = -6\ \mathrm{N\,m}$$

Поэтому

$$\tau_\mathrm{net} = 12 - 6 = +6\ \mathrm{N\,m}$$

Суммарный поворот направлен против часовой стрелки. Не назначайте знак только по тому, направлена сила вверх или вниз. Здесь обе направлены вниз, но вращают балку в разные стороны из-за приложения по разные стороны оси.

Для равновесия нужны условия для силы и момента

Неподвижная балка должна находиться и в поступательном, и во вращательном равновесии:

$$\sum \mathbf{F} = 0 \qquad \sum \tau = 0$$

Возьмите лёгкую горизонтальную балку с осью посередине. Подвесьте груз $3.0\ \mathrm{kg}$ слева на расстоянии $0.40\ \mathrm{m}$. Где справа подвесить груз $2.0\ \mathrm{kg}$, чтобы балка уравновесилась?

Возьмём моменты относительно опоры:

$$(3.0g)(0.40) - (2.0g)d = 0$$

Для обоих грузов ускорение тяжести одинаково, поэтому $g$ сокращается:

$$d = \frac{3.0(0.40)}{2.0} = 0.60\ \mathrm{m}$$

Меньшей массе нужно большее плечо. Опора также должна создавать направленную вверх силу, равную сумме весов, примерно $49.1\ \mathrm{N}$ при $g = 9.81\ \mathrm{m/s^2}$.

Сила опоры не создаёт момента относительно оси, потому что проходит через неё. Выбор этой оси упрощает расчёт моментов, но не означает, что силы опоры нет.

Если вес самой балки важен, приложите его в центре масс. Однородная балка с опорой в центре не даёт момента тяжести относительно опоры. Если опора смещена, вывод меняется. Начните с диаграммы свободного тела, чтобы не потерять силы незаметно.

Момент меняет вращение, а не задаёт его скорость

Для твёрдого тела с постоянным моментом инерции $I$ вокруг неподвижной оси вращательный аналог второго закона Ньютона имеет вид

$$\sum \tau = I\alpha$$

Угловое ускорение $\alpha$ показывает, как быстро меняется угловая скорость. При одинаковом суммарном моменте больший момент инерции даёт меньшее угловое ускорение.

Например, суммарный момент $6\ \mathrm{N\,m}$ на тело с $I = 2\ \mathrm{kg\,m^2}$ даёт

$$\alpha = \frac{6}{2} = 3\ \mathrm{rad/s^2}$$

При этих допущениях нулевой суммарный момент означает отсутствие углового ускорения. Уже вращающееся тело может продолжать вращаться с постоянной угловой скоростью. Сравните с законами Ньютона: нулевая равнодействующая тоже не требует нулевой скорости.

Момент отличается и от силы к центру из кругового движения. Направленная к центру сила не создаёт момент относительно этого центра, но может менять направление скорости и удерживать тело на окружности.

Надёжная проверка задач на момент силы

Выберите ось и нарисуйте все внешние силы. Найдите линию действия каждой силы, измерьте перпендикулярное плечо или используйте $r\sin\theta$. До умножения переведите сантиметры в метры. Назначьте знак по тому, куда каждая сила стремится повернуть тело, и лишь затем сложите моменты.

Для равновесия проверяйте силы и моменты. Для углового ускорения проверьте допущение о неподвижной оси, прежде чем применять $\sum\tau = I\alpha$. Наконец, рассмотрите предельный случай: сила, линия действия которой проходит через ось, должна давать нулевой момент.

В Physics Zen тема «Вращение» включает бесплатные на iPhone и Android навыки о моменте силы и инерции и динамике вращения; Premium нужен только для последнего навыка об энергии вращения и моменте импульса. Сначала тренируйтесь рисовать геометрию. Верно найденное плечо обычно важнее быстрого умножения.