Halveringstid: formel och lösta exempel på radioaktivt sönderfall

Ett prov har aktiviteten 1200 becquerel klockan tolv. Isotopen har halveringstiden 6,0 timmar. Vad visar detektorn klockan sex nästa morgon? Svaret är inte 1200 minus tre lika stora steg. Varje halveringstid tar bort hälften av det som finns kvar, så mätvärdena blir 1200, 600, 300, 150. Det multiplikativa mönstret är hela innehållet i formeln för halveringstid.

Den här guiden räknar formeln från det enkla fallet med ett helt antal halveringstider till fallen som ofta fäller elever på prov: ett brutet antal halveringstider, halveringstiden ur två mätningar, bytet till sönderfallskonstanten, aktiviteten ur ett antal kärnor och åldersbestämning av ett prov med det kol-14 som finns kvar. Ämnet Kärnfysik visar vilka sönderfallsfärdigheter exemplen tränar.

Två former av samma sönderfallslag

Radioaktivt sönderfall är slumpmässigt för en enskild kärna men mycket regelbundet för ett stort antal kärnor. Om det från början finns $N_0$ osönderfallna kärnor och halveringstiden är $T_{1/2}$, är antalet som finns kvar efter tiden $t$

$$N(t)=N_0\left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}.$$

Exponenten $t/T_{1/2}$ är helt enkelt antalet halveringstider som har gått. Den behöver inte vara ett heltal.

Läroböcker skriver också lagen med sönderfallskonstanten $\lambda$. OpenStax University Physics, volym 3, §10.3 anger

$$N(t)=N_0e^{-\lambda t},\qquad \lambda=\frac{\ln 2}{T_{1/2}}\approx\frac{0.693}{T_{1/2}}.$$

De två formerna stämmer överens eftersom $\left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}=e^{-(\ln 2)t/T_{1/2}}$. Använd halveringstidsformen när uppgiften talar i halveringstider, och exponentialformen när $\lambda$ är given eller efterfrågad. Samma samband gäller för massan av moderisotopen och för dess aktivitet, eftersom båda är proportionella mot $N$.

Innan du räknar något ska $t$ och $T_{1/2}$ stå i samma enhet. Timmar delat med dygn ger ett tal som ser rimligt ut men är fel.

Exempel 1: ett helt antal halveringstider

Tillbaka till provet från början: $A_0=1200\ \mathrm{Bq}$ och $T_{1/2}=6.0\ \mathrm h$. Från klockan tolv till sex på morgonen går 18 h, alltså $18/6.0=3$ halveringstider.

$$A=1200\ \mathrm{Bq}\times\left(\frac{1}{2}\right)^{3}=\frac{1200\ \mathrm{Bq}}{8}=150\ \mathrm{Bq}.$$

En snabb tabell gör mönstret synligt och fångar räknefel:

Det lockande felaktiga svaret drar av 600 Bq var sjätte timme och når noll efter 12 h. Sönderfallet är proportionellt mot det som finns kvar, därför krymper stegen.

Exempel 2: ett brutet antal halveringstider

En hypotetisk isotop har halveringstiden 8,0 dygn, och en källa innehåller från början 40 mg av den. Hur mycket av isotopen finns kvar efter 20 dygn?

Antalet halveringstider är $20/8.0=2.5$. Formeln hanterar det direkt:

$$m=40\ \mathrm{mg}\times\left(\frac{1}{2}\right)^{2.5}\approx40\ \mathrm{mg}\times0.177\approx7.1\ \mathrm{mg}.$$

Kontrollera storleken: efter 2 halveringstider skulle 10 mg finnas kvar, efter 3 halveringstider 5 mg. Ett svar mellan 5 och 10 mg är rätt, och det ligger närmare 5 än 10 eftersom kurvan faller snabbast i början av varje intervall. Mittpunkten mellan 10 och 5, alltså 7,5 mg, vore en linjär gissning, inte sönderfallslagen.

De 7,1 mg är den återstående moderisotopen. Provet förlorar inte 33 mg av sin totala massa; de flesta sönderfallna atomerna finns kvar som dotterkärnor.

Exempel 3: halveringstid ur två mätvärden

En detektor visar 800 Bq för en ren källa och 3,0 h senare 500 Bq, med bakgrunden redan avdragen. Hur lång är halveringstiden?

Lös ut antalet halveringstider ur halveringstidsformen:

$$\frac{t}{T_{1/2}}=\log_2\left(\frac{A_0}{A}\right)=\log_2(1.6)=\frac{\ln 1.6}{\ln 2}\approx0.678.$$

Då blir

$$T_{1/2}=\frac{3.0\ \mathrm h}{0.678}\approx4.4\ \mathrm h.$$

Rimlighetskontroll: aktiviteten sjönk med mindre än hälften på 3,0 h, så halveringstiden måste vara längre än 3,0 h. Får du en negativ halveringstid, eller en som är kortare än den förflutna tiden fast mätvärdet ännu inte har halverats, har du vänt på kvoten.

När minskningen är en jämn tvåpotens behövs ingen logaritm. Ett fall från 960 Bq till 240 Bq på 10 h är en faktor 4, alltså 2 halveringstider, så $T_{1/2}=5.0\ \mathrm h$.

Exempel 4: sönderfallskonstant och aktivitet ur ett antal kärnor

En källa innehåller $N=2.0\times10^{15}$ kärnor av en isotop med $T_{1/2}=8.0$ dygn. Vilken aktivitet har den i becquerel?

Aktivitet är sönderfall per sekund, så räkna först om halveringstiden till sekunder: $8.0\ \mathrm{d}=8.0\times86400\ \mathrm s=6.91\times10^{5}\ \mathrm s$. Sedan

$$\lambda=\frac{\ln 2}{T_{1/2}}=\frac{0.693}{6.91\times10^{5}\ \mathrm s}\approx1.0\times10^{-6}\ \mathrm{s^{-1}},$$ $$A=\lambda N\approx1.0\times10^{-6}\ \mathrm{s^{-1}}\times2.0\times10^{15}\approx2.0\times10^{9}\ \mathrm{Bq}.$$

Om du hade låtit halveringstiden stå i dygn hade svaret kommit i sönderfall per dygn, ungefär 86 400 gånger större än antalet becquerel. Enheten för $\lambda$ avgör enheten för $A$.

Exempel 5: kol-14-datering med ett ojämnt svar

OpenStax anger halveringstiden 5730 år för kol-14. Ett träföremål har per gram 30 % av kol-14-aktiviteten hos jämförbart levande trä. Hur gammalt är det om man antar det startförhållandet?

$$t=T_{1/2}\log_2\left(\frac{A_0}{A}\right)=5730\times\log_2\left(\frac{1}{0.30}\right)\approx5730\times1.74\approx9.95\times10^{3}.$$

Föremålet är ungefär 10 000 år gammalt. Kontrollera intervallet: 25 % kvar skulle betyda exakt 2 halveringstider, 11 460 år. Trettio procent är lite mer än 25 %, så åldern måste vara lite lägre, och det är den.

Svaret bygger på antagandet att startförhållandet var detsamma som i levande material. Riktiga kol-14-laboratorier kalibrerar för variationer i atmosfärens kol-14, så se det här som en fysikövning, inte som en laboratoriedatering.

Misstag som kostar poäng

• Att dra av lika stora mängder. Varje halveringstid halverar den aktuella mängden. Linjära steg når noll, sönderfallslagen aldrig.
• Blandade tidsenheter. $t$ och $T_{1/2}$ måste ha samma enhet, och $\lambda$ måste stå i $\mathrm{s^{-1}}$ om du vill ha aktiviteten i becquerel.
• Att blanda ihop log och ln. $\ln 2\approx0.693$, medan $\log_{10}2\approx0.301$. Tar du $\log_{10}$ av kvoten, dela med $\log_{10}2$, inte med 0,693. Vår artikel om fysikfel som egentligen är mattefel visar fler sådana.
• Att blanda ihop moderisotop och prov. Formeln följer de osönderfallna moderkärnorna, inte provets totala massa.
• Att glömma bakgrunden. Räknehastigheter i labbet innehåller bakgrundsstrålning. Dra av den innan du bildar kvoter.

Tre övningsuppgifter med svar

Uppgift 1. En isotop med $T_{1/2}=15\ \mathrm h$ börjar på 6400 Bq. Vilken aktivitet har den efter 60 h? Fyra halveringstider: $6400/16=400\ \mathrm{Bq}$.

Uppgift 2. Hur stor andel av ett prov finns kvar efter 1,5 halveringstider? $\left(\frac{1}{2}\right)^{1.5}\approx0.354$, ungefär 35 %, inte 25 %.

Uppgift 3. En räknehastighet sjunker från 1000 till 125 pulser per minut på 36 min, bakgrunden redan avdragen. Hur lång är halveringstiden? Kvoten 8 är 3 halveringstider, så $T_{1/2}=12\ \mathrm{min}$.

Uppgifter om halveringstid finns i nästan varje fysikkurs på gymnasiet; vår guide till A-level Physics visar var radioaktivt sönderfall hör hemma bland de andra färdigheterna i modern fysik. Oavsett kurs är rutinen densamma: gör enheterna lika, räkna halveringstider som $t/T_{1/2}$, låt exponenten vara bruten när den ska vara det och kontrollera att svaret hamnar mellan värdena för de närliggande hela halveringstiderna.