Ljudintensitet och avstånd: räkneexempel med inversa kvadratlagen

Gå dubbelt så långt bort från en liten ljudkälla i ett öppet område. Halveras ljudintensiteten? I den enklaste fysikaliska modellen sjunker den till en fjärdedel. Effekten har inte försvunnit. Den sprids över en sfärisk yta med fyra gånger större area. På fyra gånger avståndet är ytan sexton gånger större, så varje kvadratmeter tar emot bara en sextondel av den ursprungliga intensiteten.

Detta är inversa kvadratlagen för ljudintensitet. Den handlar om energiflöde per area, inte om ett löfte att en människa uppfattar ljudet som fyra gånger svagare. Den här guiden härleder sambandet, räknar exempel, omvandlar ett intensitetsförhållande till en skillnad i decibel och visar när ett rum eller en stor källa bryter den enkla bilden. Dopplerguiden behandlar en annan förändring: frekvens när källa och lyssnare rör sig i förhållande till varandra.

Börja med vad intensitet mäter

En ljudvåg transporterar energi. Effekt $P$ är energi per sekund, mätt i watt. Intensitet $I$ är effekten som passerar genom en areaenhet vinkelrätt mot energiflödet, mätt i watt per kvadratmeter:

$$I=\frac{P}{A}.$$

Definitionen gäller inte bara hörsel. OpenStax University Physics, volym 1, §17.3 använder den för ljud och introducerar sedan den ideala sfärmodellen. Kontrollera enheterna före räkningen: watt delat med kvadratmeter ger $\mathrm{W/m^2}$. Ett svar enbart i watt är effekt, inte intensitet.

En högtalare kan avge samma akustiska effekt medan intensiteten på en plats längre bort ändras. Ytan som effekten passerar växer med avståndet. Därför är frågan om ”högtalarens intensitet” ofullständig utan ett avstånd eller en mätyta. Två mätningar på olika avstånd kan inte jämföras som om själva källan hade ändrat effekt.

Sfärens yta visar var kvadraten kommer ifrån

Föreställ dig en liten källa som strålar lika åt alla håll, utan hinder, reflexioner eller betydande förlust av effekt till mediet över avstånden vi undersöker. Vid radien $r$ passerar samma utåtgående effekt genom sfärens yta

$$A=4\pi r^2.$$

Sätt in denna area i intensitetsdefinitionen:

$$I(r)=\frac{P}{4\pi r^2}.$$

Radien kvadreras eftersom sfärens ytarea växer med radien i kvadrat. Lagen blir inte en invers kubiklag bara för att ljud färdas i tredimensionellt rum. Vi delar med en yta, inte med volymen innanför. Om radien fördubblas blir $4\pi(2r)^2=4(4\pi r^2)$. Samma effekt fördelas över fyra gånger större yta, och varje kvadratmeter får en fjärdedel.

Formeln är bara användbar när dess antaganden passar. En riktad högtalare strålar inte lika i alla riktningar. En vägg skickar energi tillbaka. En källa som är stor jämfört med avståndet ser inte ut som en punkt. Behandla sfärberäkningen som en idealmodell, inte som en allmän förutsägelse för en mikrofon.

Använd förhållandet före miniräknaren

Om källans effekt är oförändrad kan du dividera de två sfärformlerna. $P$ och $4\pi$ förkortas bort:

$$\frac{I_2}{I_1}=\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2.$$

Anta att intensiteten i idealmodellen är $0.0080\ \mathrm{W/m^2}$ vid $2.0\ \mathrm m$. På $4.0\ \mathrm m$ är förhållandet $(2.0/4.0)^2=1/4$, så förväntad intensitet är $0.0020\ \mathrm{W/m^2}$. På $6.0\ \mathrm m$ blir förhållandet $(2.0/6.0)^2=1/9$, ungefär $0.00089\ \mathrm{W/m^2}$.

Det är förhållandet mellan avstånden från källan som spelar roll. Kvadrera inte antalet meter du har flyttat dig. Från 2 till 4 m fördubblas avståndet; från 4 till 6 m multipliceras det med 1,5. Därför kan ändringarna inte ge samma intensitetsförhållande. ”Dubbelt så långt bort ger halva intensiteten” är det lockande linjära svaret, men det missar den växande arean.

Räkna från effekt via area till intensitet

Börja nu utan ett känt intensitetsvärde. Låt en hypotetisk punktkälla sända ut den akustiska effekten $P=4\pi\times10^{-4}\ \mathrm W$ lika i alla riktningar. På $r=1.0\ \mathrm m$ är sfärens area $4\pi\ \mathrm{m^2}$. Alltså

$$I_1=\frac{4\pi\times10^{-4}\ \mathrm W}{4\pi\ \mathrm{m^2}} =1.0\times10^{-4}\ \mathrm{W/m^2}.$$

På 2,0 m är arean $16\pi\ \mathrm{m^2}$ och intensiteten $2.5\times10^{-5}\ \mathrm{W/m^2}$. På 4,0 m är de $64\pi\ \mathrm{m^2}$ och $6.25\times10^{-6}\ \mathrm{W/m^2}$. Effekten i täljaren ändras aldrig. I denna modell beror den lägre lokala intensiteten på geometrisk spridning, inte på att någon sänker volymen hos källan.

Siffrorna är påhittade för att visa beräkningen. De beskriver ingen verklig högtalare, mätlokal eller säker exponeringstid. Använd dem för att kontrollera geometrin: när radien fördubblas från 2 till 4 m blir intensiteten återigen en fjärdedel. Om din tabell bara fördubblar arean har kvadraten försvunnit.

Omvandla ett intensitetsförhållande till decibel

En ljudintensitetsnivå anges på en logaritmisk skala. För intensitet $I$ och referensintensitet $I_0$ skriver OpenStax

$$\beta=10\log_{10}\left(\frac{I}{I_0}\right)\ \mathrm{dB}.$$

Med den vanliga referensen $I_0=10^{-12}\ \mathrm{W/m^2}$ har värdet vid 1 m nivån $10\log_{10}(10^{-4}/10^{-12})=80\ \mathrm{dB}$. Vid 2 m blir det $10\log_{10}(2.5\times10^7)\approx74\ \mathrm{dB}$. Vid 4 m är nivån cirka $68\ \mathrm{dB}$. Varje fördubbling av avståndet motsvarar ungefär 6 dB lägre nivå i detta idealfall.

Skillnaden går att få utan att beräkna någon av de absoluta nivåerna:

$$\Delta\beta=10\log_{10}\left(\frac{I_2}{I_1}\right) =10\log_{10}(1/4)\approx-6.02\ \mathrm{dB}.$$

Ta inte bort en fjärdedel av 80 dB och säg inte att nivån är 20 dB bara för att intensiteten blev en fjärdedel. Decibel är logaritmer av förhållanden, så multiplikation av intensitet blir addition eller subtraktion av nivåer. Intensitetsnivå är dessutom en fysikalisk storhet; upplevd ljudstyrka beror på frekvens, hörsel och sammanhang. Exemplet visar inte att någon hör ljudet som fyra gånger svagare. OpenStax skiljer mellan intensitet, intensitetsnivå och upplevd styrka.

Se var den enkla modellen slutar gälla

Inversa kvadratlagen kräver en ungefär punktformig källa och ett fritt fält. I ett rum kommer reflekterat ljud tillbaka från väggar, golv och tak. Den totala nivån vid lyssnaren behöver då inte falla med 6 dB för varje fördubbling av avståndet. Auditory Neurosciences förklaring nämner uttryckligen reflexionsbegränsningen. Utomhus kan även hinder, mark, källans riktning och absorption ändra resultatet. Geometrin är inte fel; den verkliga situationen uppfyller inte längre de enkla antagandena.

Nära en stor högtalare eller annan utsträckt källa kan bilden av en liten punkt som strålar åt alla håll också vara dålig. Använd inte sfärformeln på ett avstånd jämförbart med källans storlek utan att kontrollera modellen. I en uppgift ger ord som ”isotrop punktkälla”, ”sfärisk våg” och ”försumma absorption” stöd för formeln. Om de saknas, säg vilket antagande du gör.

En ljudnivåmätare eller telefonapp kan visa ett dB-tal. Talet ensamt identifierar varken källans akustiska effekt eller bevisar inversa kvadratlagen. Du behöver känna till mätuppställning och kalibrering. Här förutsäger vi ideal intensitet från given effekt och givet avstånd; detta är ingen metod för att bedöma hörselsäkerhet från en telefonavläsning.

Två korta problem för att prova modellen

Problem 1. En punktkälla i idealiskt fritt fält ger $0.0036\ \mathrm{W/m^2}$ på 3 m. Vilken intensitet fås på 9 m? Avståndet tredubblas, så intensiteten blir en niondel: $0.0036/9=0.00040\ \mathrm{W/m^2}$. Nivåskillnaden blir $10\log_{10}(1/9)\approx-9.54\ \mathrm{dB}$. Referensintensiteten behövs inte för att räkna ut denna skillnad.

Problem 2. Två lyssnare står 1 m och 2 m från en källa i ett litet rum med reflexioner. Kan du lova en skillnad på 6 dB? Nej. För den direkta sfäriska komponenten ger idealmodellen omkring 6 dB, men reflexionerna kan ändra det totala ljudet på båda platserna. Ange vilken storhet ditt svar gäller. Förbehållet är en del av lösningen.

För andra ljudberäkningar avgör stående vågor vilka frekvenser som ryms på en sträng eller i ett rör, medan Dopplereffekten beskriver en skenbar frekvensändring. Intensitet ställer en annan fråga: hur mycket effekt passerar här genom varje kvadratmeter? När storhet och modellantaganden är tydliga har både kvadraten och logaritmen var sin uppgift.