Stående vågor på strängar och i rör: genomräknade exempel

En stående våg ser stilla ut på ett sätt: dess noder ligger kvar. Men strängen eller luften mellan noderna fortsätter att röra sig. Börja vid ändarna när du löser en frekvensuppgift. De avgör vilka mönster som ryms; våghastigheten omvandlar sedan varje tillåten våglängd till en frekvens.

Vi räknar tre exempel och kontrollerar varje svar mot en skiss, enheterna och nästa tillåtna svängningssätt. Modellerna gäller ideala strängar och luftpelare. Verkliga instrumentöppningar, ändrad temperatur och dämpning kräver mer omsorg. Därför visar slutavsnittet var de enkla ekvationerna slutar gälla.

En vandrande våg blir ett stående mönster

En våg som skickas längs en sträng reflekteras vid änden. När inkommande och reflekterad våg med samma frekvens överlappar kan deras utslag förstärka varandra på vissa ställen och ta ut varandra på andra. En nod har alltid noll utslag. En buk når det största utslaget för just det svängningssättet. Mönstret flyttar inte en ensam puckel stadigvarande från vänster till höger, även om ett verkligt drivet system fortfarande får och förlorar energi.

OpenStax kapitel om stående vågor härleder tillåtna svängningssätt från randvillkoren. Börja inte med att memorera en formel. Rita vad materialet får göra vid varje ände och räkna därefter hur stora delar av en våglängd som får plats.

Frekvens, våglängd och våghastighet uppfyller fortfarande

$$v=f\lambda.$$

Här är $v$ hastigheten hos en vandrande störning i mediet, $f$ antalet perioder per sekund och $\lambda$ meter per period. Det stående mönstret kommer från två sådana vågor och ändrar inte sambandet. Det skiljer sig från en ensam massa på fjäder i vår guide till harmonisk svängning. En punkt på strängen kan svänga ungefär så, men strängen har många punkter och många möjliga former.

Sträng med fasta ändar: noder vid båda ändar

En sträng som sitter ordentligt fast i båda ändar kan inte röra sig vid fästena. Rita en utslagsnod vid varje ände. Det kortaste mönstret har en buk mellan dem: en halv våglängd ryms på längden $L$. Lägg till en halv våglängd för varje högre svängningssätt:

$$L=n\frac{\lambda_n}{2},\qquad \lambda_n=\frac{2L}{n},\qquad f_n=\frac{nv}{2L},\quad n=1,2,3,\ldots$$

Det första är grundtonen, $f_1=v/(2L)$. Det andra är $2f_1$ och har ytterligare en nod inne på strängen. Det tredje är $3f_1$. Frekvenserna kan kallas harmoniska först när du har kontrollerat att båda ändarna verkligen är fasta. En fri ände ger ett annat villkor för utslaget.

Hos en ideal spänd sträng bestämmer spänningen $T$ och den linjära massdensiteten $\mu$ våghastigheten:

$$v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}.$$

Spänningen ska anges i newton och $\mu$ i kilogram per meter. Kvadratroten får då enheten meter per sekund. Modellen förutsätter en böjlig sträng, nästan konstant spänning och litet tvärgående utslag. En tjock, styv sträng som drivs kraftigt behöver inte följa varje idealisk harmonisk exakt.

Räkneexempel 1: en sträng med känd spänning

En sträng på 1,20 m har spänningen $48\ \mathrm{N}$ och linjär densitet $0.012\ \mathrm{kg/m}$. Bestäm dess första och tredje tillåtna frekvens. Börja med hastigheten:

$$v=\sqrt{48/0.012}=\sqrt{4000}\approx63.25\ \mathrm{m/s}.$$

Sedan är $f_1=63.25/(2\times1.20)\approx26.4\ \mathrm{Hz}$ och $f_3=3f_1\approx79.1\ \mathrm{Hz}$. För tredje svängningssättet är $\lambda_3=2(1.20)/3=0.80\ \mathrm{m}$. Kontroll: $v/\lambda_3=63.25/0.80\approx79.1\ \mathrm{Hz}$. Skissen måste ha noder i ändarna och två inre noder. Ett svar på dubbla grundtonen skulle beskriva andra svängningssättet, inte det tredje.

Ändrad strängspänning ändrar $v$ och alla frekvenser. Dubbla spänningen dubblar inte frekvensen: kvadratroten ger faktorn $\sqrt{2}$. Ändrar du längden medan hastigheten är oförändrad varierar frekvensen omvänt med $L$. Säg vad som hålls konstant innan du jämför två strängar.

Rörändar: ange utslag eller tryck

Ljud i ett rör är en longitudinell störning. Luften rör sig fram och tillbaka längs röret medan trycket stiger och sjunker. Ordet ”nod” är tvetydigt tills du säger vad du ritar. Vid en ungefär sluten ände är luftens rörelse begränsad: utslagsnod och tryckbuk. Vid en ungefär öppen ände rör sig luften friare och tryckvariationen är nära noll eftersom trycket följer atmosfärstrycket: utslagsbuk och trycknod.

University of Tennessees anteckningar om luftpelare visar uttryckligen hur tryck- och utslagsvillkor hör ihop. Kolumnerna kompletterar varandra. En skiss som märker en sluten ände som trycknod och sedan använder en formel för utslag blandar två beskrivningar. OpenStax svängningssätt för ljud visar rörens tillåtna mönster med utslag. Skriv ”luftutslag” över skissen innan du räknar och placera noder och bukar. Markera tryck under som kontroll.

Ett rör öppet i båda ändar har utslagsbukar vid båda ändar. Det enklaste mönstret rymmer en halv våglängd över $L$, likt den fasta strängen sett till våglängdens andel, fast ändarna är bukar i stället för noder. Därför är $f_n=nv/(2L)$ för $n=1,2,3,\ldots$ i det ideala öppna röret. Ett rör slutet i båda ändar har också symmetriska villkor och samma frekvensföljd i den enkla modellen, men med utslagsnoder vid båda ändar.

Räkneexempel 2: ett öppet rör

Ta ett idealt rör på 0,85 m, öppet i båda ändar, och anta ljudhastigheten $340\ \mathrm{m/s}$ i just denna uppgift. Grundtonen rymmer en halv våglängd: $\lambda_1=2L=1.70\ \mathrm{m}$. Frekvensen är $f_1=340/1.70=200\ \mathrm{Hz}$. Nästa tillåtna svängningssätt är $f_2=400\ \mathrm{Hz}$ med $\lambda_2=0.85\ \mathrm{m}$.

Kontrollera geometrin innan du litar på siffrorna: de öppna ändarna är utslagsbukar och nästa svängningssätt lägger ytterligare en halv våglängd längs röret. Kontrollera enheterna: meter per sekund delat med meter blir inversa sekunder, alltså hertz. Antagna 340 m/s är ett givet uppgiftsvärde, inte en universell ljudhastighet. Temperatur och medium kan ändra den.

Ett slutet-öppet rör tillåter udda harmoniska toner

Stäng ena änden och lämna den andra öppen. Utslaget måste vara en nod vid ena änden och en buk vid den andra. Det kortaste mönstret behöver bara en kvarts våglängd över $L$, så $\lambda_1=4L$ och $f_1=v/(4L)$. Nästa mönster som uppfyller samma villkor kräver tre kvarts våglängder. Därefter följer fem:

$$L=(2k-1)\frac{\lambda_k}{4},\qquad f_k=(2k-1)\frac{v}{4L},\quad k=1,2,3,\ldots$$

Frekvenserna är $f_1,3f_1,5f_1,\ldots$. ”Bara udda harmoniska toner” gäller dessa ideala ändvillkor. Det andra tillåtna svängningssättet är den tredje harmoniska, inte den andra. Den skillnaden hindrar felsvaret $2f_1$ för ett slutet-öppet rör. Om en uppgift säger ”andra resonansen” använder du $3f_1$ i den ideala modellen.

Räkneexempel 3: ett rör slutet i ena änden

Använd ett slutet-öppet rör på 0,50 m och det angivna uppgiftsvärdet $v=340\ \mathrm{m/s}$. Första resonansen: $\lambda_1=4(0.50)=2.0\ \mathrm{m}$, så $f_1=340/2.0=170\ \mathrm{Hz}$. Andra tillåtna resonansen: $3f_1=510\ \mathrm{Hz}$, med $\lambda=340/510\approx0.667\ \mathrm{m}$. Tre fjärdedelar av den våglängden är ungefär 0,50 m, så mönstret ryms i röret. Däremot skulle $2f_1=340\ \mathrm{Hz}$ kräva ett utslagsmönster som missar ett randvillkor.

Kontroll av randvillkor: sluten ände ger utslagsnod och tryckbuk; öppen ände ger utslagsbuk och trycknod. Kontrollera sedan enheterna, numreringen av udda harmoniska toner och $v=f\lambda$. Alla fyra kontroller ska stämma innan du accepterar svaret.

Stående vågor bestämmer möjliga frekvenser; dessa intensitetsexempel räknar effekt per area vid olika avstånd.

Där den ideala modellen slutar

Luften vid en öppen rörmynning slutar inte röra sig exakt vid den fysiska kanten. Ett verkligt rör har därför en effektiv akustisk längd som skiljer sig lite från uppmätt längd. Det kallas ändkorrektion. University of Connecticuts anteckningar om luftpelare förklarar varför akustisk och fysisk längd skiljer sig. Storleken beror på öppningen och omgivningen, så en helt idealiserad rörformel kan inte förutsäga varje verklig resonans på hertzen när. I exemplen ovan används uttryckligen den enkla randmodellen med uppmätt $L$ som effektiv längd.

Temperatur ändrar ljudhastigheten. Antaganden om stela väggar och förluster spelar också roll. En strängs styvhet och dämpning kan flytta eller sudda ut svängningssätt. Det är skäl att läsa uppgiftens antaganden, inte att överge nodskissen. Skissen visar vilken ideal familj du ska börja med och vilken korrektion en svårare uppgift kan behöva.

För inte över regeln om udda harmoniska toner till varje ljudkälla. Den hör till en ungefär sluten och en ungefär öppen ände. En luftpelare som är öppen i båda ändar har hela heltalsföljden i samma idealisering. En vibrerande sträng har sina egna villkor för fasta ändar. Randvillkoren, inte instrumentets namn, väljer formeln.

Öva uppställningen före aritmetiken

Rita ändvillkoren för en ny uppgift, skriv om noderna gäller utslag eller tryck, räkna den tillåtna andelen av $\lambda$ och sätt först därefter in $v$ och $L$. Avsluta med att räkna baklänges via $v=f\lambda$. Den sista raden fångar många fel med en faktor två.

I området Vågor och ljud i Physics Zen ingår färdigheten stående vågor för strängar och rör med nya värden och kontrollerade lösningar. Använd exemplen som mallar: stränghastighet från spänning och densitet, öppet rör med en halv våglängd och slutet-öppet rör med udda antal kvarts våglängder.

Vanliga frågor

Varför finns ingen andra harmonisk i ett slutet-öppet rör? Ett mönster med en halv våglängd kan inte sätta en utslagsnod vid ena änden och en utslagsbuk vid den andra. Bara en, tre, fem och vidare udda antal kvarts våglängder uppfyller båda villkoren i idealmodellen.

Är en öppen ände en nod eller en buk? För luftens utslag är den ungefär en buk; för tryckvariationen ungefär en nod. Säg vilken storhet du menar innan du använder något av orden.

Kan jag använda rörets uppmätta längd direkt? Använd längden som en läroboksuppgift ger under sina ideala antaganden. Verkliga mätningar kan behöva ändkorrektion, så notera om angiven längd är fysisk eller effektiv.