Elektromagnetisk induktion: Faradays lag med räkneexempel

När du för en magnet mot en spole ansluten till en mätare kan visaren slå ut. Håll magneten stilla och utslaget försvinner. Dra magneten bort och utslaget byter riktning. Spolen befinner sig fortfarande i ett magnetfält när magneten hålls stilla. Det som ändrades var det magnetiska flödet genom spolen.

Elektromagnetisk induktion omvandlar en ändring av detta flöde till en elektromotorisk kraft, oftast förkortad emk. Faradays lag ger storleken på den inducerade emk:n; Lenz lag ger riktningen. Håll isär tre frågor för att använda dem: Vad passerar genom slingan? Hur ändras det? Finns det en sluten väg för ström?

Magnetiskt flöde räknar fält genom en area

Föreställ dig en plan hinna spänd över en ledningsslinga. Magnetiskt flöde mäter magnetfältet som passerar genom hinnan och tar hänsyn till riktningen. Den allmänna definitionen är

$$\Phi_B=\int_A\mathbf{B}\cdot\hat{\mathbf n}\,dA.$$

$\mathbf B$ är magnetfältet, $dA$ en liten del av ytan och $\hat{\mathbf n}$ en vald enhetsnormal som står vinkelrätt mot den. Skalärprodukten innebär att bara fältets komponent vinkelrätt mot ytan räknas. Välj vilken sida av slingan normalen pekar mot och var konsekvent. Om slingan vrids följer normalen med. Om du vänder normalen byter flödet och emk:n tecken, men den verkliga strömriktningen ändras inte.

För en plan slinga med arean $A$ i ett homogent fält med styrkan $B$ blir integralen

$$\Phi_B=BA\cos\theta,$$

där $\theta$ är vinkeln mellan fältet och ytans normal. Pekar fältet rakt genom slingan är $\theta=0^\circ$ och flödesbeloppet $BA$. Ligger fältet i slingans plan är $\theta=90^\circ$ och flödet noll. Använd inte vinkeln mellan fältet och planet utan att först omvandla den.

SI-enheten är weber, Wb: $1\ \mathrm{Wb}=1\ \mathrm{T\,m^2}$. Flödet gäller en slinga. För en spole med $N$ identiska varv som vart och ett har samma flöde är det totala flödeslänkaget $N\Phi_B$. OpenStax genomgång av Faradays lag ger både den allmänna definitionen och genvägen för homogena fält.

Ett första exempel på magnetiskt flöde

Anta att en plan slinga har arean $0.040\ \mathrm{m^2}$ i ett homogent fält på $0.30\ \mathrm T$. Fältet bildar vinkeln $60^\circ$ med slingans normal. Välj normalen så att flödet är positivt:

$$\Phi_B=(0.30)(0.040)\cos60^\circ =0.0060\ \mathrm{Wb}.$$

Rikta samma slingas normal längs fältet, så blir flödet $0.012\ \mathrm{Wb}$ trots att fältstyrkan och arean är oförändrade. En riktningsändring kan alltså inducera emk i ett konstant fält.

Faradays lag mäter ändringstakten

För $N$ identiska varv, med samma flöde genom varje, är Faradays lag

$$\mathcal E=-N\frac{d\Phi_B}{dt}.$$

Emk:n $\mathcal E$ mäts i volt. En weber per sekund är en volt. Beloppet blir större om flödet ändras snabbare och ökar med antalet varv. Den valda normalen bestämmer också positiv omloppsriktning runt slingan enligt högerhandsregeln: peka tummen längs normalen, så böjs fingrarna i positiv riktning. Minustecknet uttrycker Lenz riktningsregel. Det betyder inte att ett belopp måste rapporteras som negativt.

Om en uppgift bara ger start- och slutflöde över ett tidsintervall, beräkna medelvärdet av den inducerade emk:n:

$$\mathcal E_{\mathrm{avg}}=-N\frac{\Phi_{B,\mathrm{final}}-\Phi_{B,\mathrm{initial}}}{\Delta t}.$$

Medelvärdet ger inte emk:n vid varje ögonblick, utom om flödet ändras med konstant hastighet. Ett magnetfält som ändras är dessutom bara ett av sätten att ändra flödet. Slingans area eller vinkel kan ändras medan $B$ är konstant. Att fältet ändras någonstans utanför slingan räcker inte; flödet genom just den valda slingan måste ändras.

Räkneexempel: genomsnittlig inducerad emk

En spole har 80 varv, vart och ett med arean $0.025\ \mathrm{m^2}$. Ett homogent fält vinkelrätt mot varven ökar från $0.10\ \mathrm T$ till $0.35\ \mathrm T$ på $0.20\ \mathrm s$. Välj positiv normal längs fältet. Flödesändringen per varv blir

$$\Delta\Phi_B=A\Delta B =(0.025)(0.35-0.10) =0.00625\ \mathrm{Wb}.$$

Därmed blir den genomsnittliga emk:n

$$\mathcal E_{\mathrm{avg}} =-80\frac{0.00625}{0.20} =-2.5\ \mathrm V.$$

Dess belopp är $2.5\ \mathrm V$. Minustecknet betyder att den inducerade emk:n verkar runt slingan i motsatt riktning mot den som valts positiv utifrån normalen. Om fältet inte ökade jämnt vore $2.5\ \mathrm V$ fortfarande medelbeloppet under intervallet, men ögonblicksvärdet kunde skilja sig.

Lenz lag: motverka ändringen, inte fältet

Avgör om det ursprungliga flödet genom slingan ökar eller minskar innan du väljer medurs eller moturs. Den inducerade strömmen, om kretsen är sluten, skapar ett magnetfält som motverkar ändringen. OpenStax avsnitt om Lenz lag kopplar riktningsregeln till energins bevarande.

Tänk dig en slinga som ligger plant på en sida. Ett magnetfält pekar in i sidan och växer. Flödet inåt ökar. Slingans inducerade fält måste peka ut ur sidan för att motverka ökningen. Rikta höger tumme ut ur sidan och låt fingrarna böjas i strömmens riktning: sett ovanifrån går strömmen moturs.

Låt nu det ursprungliga fältet fortfarande peka in i sidan, men avta. Det inducerade fältet ska peka in i sidan för att motverka minskningen av flödet. Högerhandsregeln ger medurs ström. Det ursprungliga fältet pekar åt samma håll i båda fallen; det är ändringen som avgör induktionsriktningen.

Samma steg fungerar med en magnet i rörelse. Ange vilken pol som vetter mot slingan och vilken sida du betraktar, bestäm flödesändringen och använd sedan högerhandsregeln. Svaret ”medurs” ensamt är ofullständigt om betraktningssidan inte anges.

Emk kan finnas utan ström runt slingan

En inducerad emk driver laddningar runt slingan. För att en ledningsström ska kunna cirkulera kontinuerligt behövs en sluten ledningsväg. Klipp av ledningen och ett ändrat flöde ger fortfarande en inducerad emk, men laddning kan inte fortsätta över glappet. Om slingan är sluten och resistansen känd ger en enkel resistiv modell strömbeloppet $I=|\mathcal E|/R$. Enbart emk:n bestämmer inte strömmen; resistansen spelar också roll. Vår guide till serie- och parallellkopplade kretsar tar upp den delen.

En generator använder principen genom att rotera en spole relativt ett magnetfält. Vinkeln och därmed flödet ändras. En stillastående slinga i ett oförändrat homogent fält har konstant flöde och ingen inducerad emk enligt Faradays lag, trots att fältet passerar genom den. En ledare i rörelse kan kräva en mer noggrann kretsmodell, men regeln om flöde genom en sluten slinga är rätt utgångspunkt för exemplen här.

Blanda inte ihop inducerad emk med elektrostatisk potentialskillnad i ett problem om stillastående laddningar. Båda mäts i volt, men ett föränderligt magnetiskt flöde kan driva laddning runt en sluten väg. Jämför statiska fält i guiden om elektrisk potential och elektriskt fält.

Tre övningsuppgifter med lösningar

1. Ändrad area i ett konstant fält. En ledande rektangulär slinga med ett varv ligger vinkelrätt mot ett homogent fält på $0.40\ \mathrm T$. Arean den omsluter minskar från $0.030\ \mathrm{m^2}$ till $0.010\ \mathrm{m^2}$ på $0.50\ \mathrm s$. Hur stort är medelbeloppet av den inducerade emk:n? Välj normalen längs fältet. Flödesändringen är $0.40(0.010-0.030)=-0.0080\ \mathrm{Wb}$. Därför blir $|\mathcal E_{\mathrm{avg}}|=0.0080/0.50=0.016\ \mathrm V$. Fältet var konstant; arean ändrades.

2. Vrid en spole. En spole med 20 varv och arean $0.010\ \mathrm{m^2}$ ligger i ett homogent fält på $0.50\ \mathrm T$. På $0.10\ \mathrm s$ vrids normalen från parallell med fältet till vinkelrät mot det. Bestäm medelbeloppet av emk:n. Flödet per varv går från $BA=0.0050\ \mathrm{Wb}$ till noll. Alltså blir $|\mathcal E_{\mathrm{avg}}|=20(0.0050)/0.10=1.0\ \mathrm V$. För detta medelvärde behöver vridningen inte ske med jämn hastighet.

3. Riktning och ström. Sett ovanifrån pekar ett magnetfält ut ur sidan genom en sluten spole med 5 varv och blir starkare. Åt vilket håll går den inducerade strömmen? Flödet utåt ökar, så det inducerade fältet måste peka in i sidan. Högerhandsregeln ger medurs sett ovanifrån. Om spolen öppnas finns fortfarande inducerad emk, men ingen cirkulerande ström genom brottet.

Öva flödesberäkningar och inducerad emk i området Magnetism och induktion i Physics Zen. Induktion förekommer både i A-Level-fysik och i tyska Abitur. Våra guider för A-Level-fysik och Abitur-fysik visar hur ämnet hänger ihop med andra avsnitt om elektriska och magnetiska fält.