半衰期公式：放射性衰變計算例題詳解

中午時，一個樣品的放射性活度為 1200 貝克。這種同位素的半衰期是 6.0 小時。隔天早上 6 點，偵測器會顯示多少？答案不是從 1200 連續減去三次相同的量。每經過一個半衰期，就會減少當時剩下的量的一半，所以讀數依序是 1200、600、300、150。這個乘法規律就是半衰期公式的全部內容。

本文從經過整數個半衰期的簡單情況講起，一路講到考試中最容易出錯的幾類問題：非整數個半衰期、由兩次測量求半衰期、改用衰變常數、由原子核數目求活度，以及用剩下的碳-14 推算樣品年代。這些例題練習的衰變技能列在核物理主題中。

同一衰變規律的兩種寫法

對單一原子核來說，放射性衰變是隨機的；但對大量原子核來說，它非常有規律。如果一開始有 $N_0$ 個未衰變的原子核，半衰期為 $T_{1/2}$，那麼經過時間 $t$ 後剩下的數目為

$$N(t)=N_0\left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}.$$

指數 $t/T_{1/2}$ 就是已經經過的半衰期個數。它不一定是整數。

教科書也常用衰變常數 $\lambda$ 來寫這個規律。OpenStax《大學物理》第 3 冊 §10.3 給出

$$N(t)=N_0e^{-\lambda t},\qquad \lambda=\frac{\ln 2}{T_{1/2}}\approx\frac{0.693}{T_{1/2}}.$$

兩種寫法是一致的，因為 $\left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}=e^{-(\ln 2)t/T_{1/2}}$。題目以半衰期個數來敘述時，用半衰期形式；題目給出或要求 $\lambda$ 時，用指數形式。母核種的質量及其活度也符合同樣的關係，因為兩者都與 $N$ 成正比。

動手計算前，先把 $t$ 和 $T_{1/2}$ 換成同一單位。小時除以天會得到一個看似合理、其實錯誤的數字。

例題 1：經過整數個半衰期

回到開頭的樣品：$A_0=1200\ \mathrm{Bq}$，$T_{1/2}=6.0\ \mathrm h$。從中午到隔天早上 6 點共 18 小時，也就是 $18/6.0=3$ 個半衰期。

$$A=1200\ \mathrm{Bq}\times\left(\frac{1}{2}\right)^{3}=\frac{1200\ \mathrm{Bq}}{8}=150\ \mathrm{Bq}.$$

列一張小表，規律一目了然，也能抓出計算錯誤：

常見的錯誤答案是每 6 小時減去 600 Bq，到 12 小時就變成零。衰變速率與剩下的量成正比，所以每一步減少的量越來越小。

例題 2：經過非整數個半衰期

某種假想同位素的半衰期為 8.0 天，一個射源一開始含有 40 mg 這種同位素。20 天後還剩多少？

經過的半衰期個數為 $20/8.0=2.5$。公式可以直接處理：

$$m=40\ \mathrm{mg}\times\left(\frac{1}{2}\right)^{2.5}\approx40\ \mathrm{mg}\times0.177\approx7.1\ \mathrm{mg}.$$

驗算一下大小：經過 2 個半衰期剩 10 mg，經過 3 個半衰期剩 5 mg。結果落在 5 mg 與 10 mg 之間是對的，而且比較接近 5 而不是 10，因為曲線在每個區間一開始下降得最快。10 和 5 正中間的 7.5 mg 只是線性估計，不是衰變規律。

這 7.1 mg 是剩下的母核種。樣品的總質量並沒有減少 33 mg；大部分已衰變的原子以子核的形式仍留在樣品中。

例題 3：由兩次讀數求半衰期

對於一個純射源，偵測器先顯示 800 Bq，3.0 小時後扣除背景輻射顯示 500 Bq。半衰期是多少？

由半衰期形式解出半衰期個數：

$$\frac{t}{T_{1/2}}=\log_2\left(\frac{A_0}{A}\right)=\log_2(1.6)=\frac{\ln 1.6}{\ln 2}\approx0.678.$$

於是

$$T_{1/2}=\frac{3.0\ \mathrm h}{0.678}\approx4.4\ \mathrm h.$$

合理性檢查：3.0 小時內活度下降不到一半，所以半衰期一定比 3.0 小時長。如果算出的半衰期是負數，或讀數還沒減半卻得到比經過時間還短的半衰期，就表示比值顛倒了。

當下降倍數剛好是 2 的整數次方時，不需要用對數。10 小時內從 960 Bq 降到 240 Bq 是 4 倍，也就是 2 個半衰期，因此 $T_{1/2}=5.0\ \mathrm h$。

例題 4：由原子核數目求衰變常數和活度

一個射源含有某同位素的原子核 $N=2.0\times10^{15}$ 個，該同位素的半衰期為 $T_{1/2}=8.0$ 天。它的活度是多少貝克？

活度是每秒的衰變次數，所以先把半衰期換算成秒：$8.0\ \mathrm{d}=8.0\times86400\ \mathrm s=6.91\times10^{5}\ \mathrm s$。接著

$$\lambda=\frac{\ln 2}{T_{1/2}}=\frac{0.693}{6.91\times10^{5}\ \mathrm s}\approx1.0\times10^{-6}\ \mathrm{s^{-1}},$$ $$A=\lambda N\approx1.0\times10^{-6}\ \mathrm{s^{-1}}\times2.0\times10^{15}\approx2.0\times10^{9}\ \mathrm{Bq}.$$

如果半衰期仍用天當單位，結果就會是每天的衰變次數，大約是貝克數值的 86 400 倍。$\lambda$ 的單位決定了 $A$ 的單位。

例題 5：結果不是整數的碳-14 定年

OpenStax 給出碳-14 的半衰期為 5730 年。某件木器每公克的碳-14 活度是同類活樹木的 30%。假設初始比例與活樹相同，它有多少年歷史？

$$t=T_{1/2}\log_2\left(\frac{A_0}{A}\right)=5730\times\log_2\left(\frac{1}{0.30}\right)\approx5730\times1.74\approx9.95\times10^{3}.$$

這件木器大約有 10 000 年歷史。驗算一下範圍：剩 25% 剛好是 2 個半衰期，也就是 11 460 年。30% 比 25% 稍多，所以年代應該稍短一些，結果正是如此。

這個答案建立在「初始比例與活體材料相同」的假設上。真正的放射性碳定年實驗室會依大氣中碳-14 的變化進行校正，所以這裡只把它當作物理練習，而不是實驗室定年結果。

容易失分的錯誤

• 每次減去相同的量。 每個半衰期都讓當下的量減半。線性相減會減到零，衰變規律永遠不會。
• 時間單位混用。 $t$ 和 $T_{1/2}$ 必須是同一單位；想得到以貝克為單位的活度，$\lambda$ 必須用 $\mathrm{s^{-1}}$ 表示。
• 搞混 log 與 ln。 $\ln 2\approx0.693$，而 $\log_{10}2\approx0.301$。如果對比值取 $\log_{10}$，就要除以 $\log_{10}2$，而不是 0.693。更多這類陷阱請見其實是數學錯誤的物理錯誤。
• 把母核種和整個樣品搞混。 公式追蹤的是未衰變的母核，而不是樣品的總質量。
• 忽略背景輻射。 實驗室量到的計數率包含背景輻射。求比值之前先扣除。

三道練習題及答案

練習 1. 一種 $T_{1/2}=15\ \mathrm h$ 的同位素初始活度為 6400 Bq。60 小時後活度是多少？經過 4 個半衰期：$6400/16=400\ \mathrm{Bq}$。

練習 2. 經過 1.5 個半衰期後，樣品還剩幾成？$\left(\frac{1}{2}\right)^{1.5}\approx0.354$，約 35%，不是 25%。

練習 3. 扣除背景後的計數率在 36 分鐘內從每分鐘 1000 次降到 125 次。半衰期是多少？比值 8 對應 3 個半衰期，所以 $T_{1/2}=12\ \mathrm{min}$。

幾乎所有高中物理課程都會考到半衰期；我們的 A-level Physics 備考指南 介紹了放射性衰變在其他近代物理技能中的位置。不論修哪一門課程，步驟都一樣：統一單位，用 $t/T_{1/2}$ 計算半衰期個數，需要時保留小數指數，並檢查結果是否落在相鄰整數個半衰期對應的數值之間。