聲音強度與距離：平方反比定律計算例題

在開闊空間裡，從一個較小的聲源旁退到兩倍距離處，聲音強度會減半嗎？在最簡單的物理模型中，它會降到四分之一。功率並未消失，而是分佈在面積變為四倍的球面上。距離變為四倍時，球面面積變為十六倍，每平方公尺接收到的強度便只有原來的十六分之一。

這就是聲音強度的平方反比定律。它描述每單位面積的能量傳遞，不保證人聽起來會覺得聲音僅有原來的四分之一響。本文推導這個關係，逐步計算數字例題，把強度比換成分貝差，並指出室內空間或體積較大的聲源何時不再符合簡單模型。多普勒效應指南討論的是另一個變化：聲源與聽者相對運動時的頻率變化。

先弄清強度衡量什麼

聲波傳遞能量。功率$P$是每秒傳遞的能量，單位瓦特。強度$I$是垂直於能量傳播方向的單位面積上透過的功率，單位瓦特每平方公尺：

$$I=\frac{P}{A}.$$

這個定義不限於聽覺。OpenStax《大學物理》第1卷§17.3把它用於聲波，再引入理想球面模型。計算前先核對單位：瓦特除以平方公尺得$\mathrm{W/m^2}$。只寫瓦特的結果是功率，不是強度。

喇叭可以始終輸出相同的聲功率，但距離更遠處測到的強度會改變。功率經過的表面積隨距離增大。因此，不給出距離或測量表面就問“喇叭的強度是多少”，問題並不完整。也不能把不同距離的兩次測量當成喇叭自身輸出發生了變化。

球面面積解釋平方從何而來

設想一個小聲源向四面八方均勻輻射。在考察的距離內，沒有障礙物、反射，也沒有顯著的介質損耗。在半徑$r$處，同樣向外傳播的功率穿過面積為

$$A=4\pi r^2.$$

的球面。把這個面積代入強度定義：

$$I(r)=\frac{P}{4\pi r^2}.$$

半徑要平方，是因為球的表面積按半徑的平方增加。聲音在三維空間傳播，並不意味著要除以半徑的三次方；這裡除的是球面面積，不是球內體積。半徑加倍時，$4\pi(2r)^2=4(4\pi r^2)$。同樣的功率攤在四倍的面積上，每平方公尺便只有四分之一。

這個公式只在假設成立時有用。定向喇叭並不會向各方向等量輻射；牆面會把部分能量反射回來；當聲源尺寸與所測距離相當時，聲源也不再像一個點。球面計算是理想模型，不是對每支麥克風讀數的萬能預測。

先用比值，再拿計算器

如果聲源功率不變，用兩個球面公式相除，$P$和$4\pi$會約去：

$$\frac{I_2}{I_1}=\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2.$$

假設理想模型中，在$2.0\ \mathrm m$處測得強度為$0.0080\ \mathrm{W/m^2}$。在$4.0\ \mathrm m$處，比值是$(2.0/4.0)^2=1/4$，因此預計強度為$0.0020\ \mathrm{W/m^2}$。在$6.0\ \mathrm m$處，比值是$(2.0/6.0)^2=1/9$，約為$0.00089\ \mathrm{W/m^2}$。

要比較的是各點到聲源距離的比值，不能把多走的公尺數拿來平方。從2公尺到4公尺，距離加倍；從4公尺到6公尺，只增加到原來的1.5倍。因此，兩次移動不可能有相同的強度比。“距離加倍，強度減半”聽起來順口，卻是忽略表面積的線性錯誤。

從功率與面積算出強度

現在不預先給出強度。設一個假想點聲源均勻地向所有方向輻射聲功率$P=4\pi\times10^{-4}\ \mathrm W$。在$r=1.0\ \mathrm m$處，球面面積為$4\pi\ \mathrm{m^2}$，所以

$$I_1=\frac{4\pi\times10^{-4}\ \mathrm W}{4\pi\ \mathrm{m^2}} =1.0\times10^{-4}\ \mathrm{W/m^2}.$$

在2公尺處，面積是$16\pi\ \mathrm{m^2}$，強度是$2.5\times10^{-5}\ \mathrm{W/m^2}$；在4公尺處分別是$64\pi\ \mathrm{m^2}$和$6.25\times10^{-6}\ \mathrm{W/m^2}$。注意，分子中的功率始終沒變。在這個模型裡，局部聲強降低是幾何擴散的結果，不是聲源被調小了。

這些數字只是為了演示算術而設，不代表真實喇叭、真實房間或安全暴露時長。用它們檢查幾何關係：半徑從2公尺變成4公尺，強度再降到四分之一。若表中面積只翻倍，說明你漏掉了平方。

小心把強度比換算為分貝

聲強級使用對數刻度。對於強度$I$和參考強度$I_0$，OpenStax寫為

$$\beta=10\log_{10}\left(\frac{I}{I_0}\right)\ \mathrm{dB}.$$

取常用參考值$I_0=10^{-12}\ \mathrm{W/m^2}$，例題中1公尺處的級別是$10\log_{10}(10^{-4}/10^{-12})=80\ \mathrm{dB}$。2公尺處是$10\log_{10}(2.5\times10^7)\approx74\ \mathrm{dB}$，4公尺處約$68\ \mathrm{dB}$。在這個理想模型裡，每加倍一次距離，聲強級約下降6分貝。

不算兩個絕對級別，也能直接求差：

$$\Delta\beta=10\log_{10}\left(\frac{I_2}{I_1}\right) =10\log_{10}(1/4)\approx-6.02\ \mathrm{dB}.$$

不能從80分貝里減去它的四分之一，也不能因為強度變為四分之一就說級別是20分貝。分貝是比值的對數，強度的乘法會變成級別的加減法。而且聲強級是物理量，聽到的響度還受頻率、聽力與環境影響。這個例題不能證明有人會覺得聲音恰好小了四倍。OpenStax明確區分聲強、聲強級與響度。

簡單定律何時不適用

平方反比模型需要近似點聲源和自由聲場。在房間裡，聲音會從牆壁、天花板和地板反射回來。聽者處的總聲級不一定每距離加倍就下降6分貝。Auditory Neuroscience的解釋明確指出反射造成的限制。在戶外，障礙物、地面、聲源指向性和吸收也能改變結果。幾何關係本身沒有錯，只是真實環境不再滿足簡單假設。

靠近大型喇叭或其他延展聲源時，“一個小點向四周輻射”的圖景也可能失效。如果距離與聲源尺寸相當，不能未經檢查就套球面公式。做題時，“各向同性點聲源”“球面波”“忽略吸收”等條件表示可以使用該公式；題目沒說，就應寫明自己採用了什麼假設。

聲級計或手機應用程式可以顯示分貝數，但一個讀數不能單獨告訴你聲源的聲功率，也不能證明平方反比定律。還需要知道測量佈置與校準情況。這裡的計算從給定功率和距離預測理想強度，不是用手機讀數判斷聽力安全的方法。

兩道簡短的模型練習

**問題1。**理想自由聲場中，一個點聲源在3公尺處產生$0.0036\ \mathrm{W/m^2}$。9公尺處強度是多少？距離變成三倍，強度成為九分之一：$0.0036/9=0.00040\ \mathrm{W/m^2}$。聲強級之差為$10\log_{10}(1/9)\approx-9.54\ \mathrm{dB}$。只求差值時，不需要參考強度。

**問題2。**兩位聽者在一間有反射的小房間裡，分別距離聲源1公尺和2公尺。能保證他們聽到的總聲級相差6分貝嗎？不能。在理想條件下，直接傳播的球面分量可以算出約6分貝差，但反射可能改變兩處的總聲。答案必須說明它描述的是哪一部分。這個限制本身就是解題的一部分。

其他聲音題目中，駐波決定弦或管中能容納哪些頻率；多普勒效應描述表觀頻率變化。強度提出另一個問題：此處每平方公尺有多少功率透過？明確物理量和模型假設後，平方與對數各有清楚的任務。