克希荷夫定律詳解：節點與迴路法則例題

兩節電池、三個電阻，問題是：電流經過較小的電池時流向哪邊？多數人會從它的正極畫出箭頭，因為平常電池就是這樣供電。但下面電路中猜錯了，代數會以負值告訴你。看懂這個負號，就是學會克希荷夫定律的重要一半。

本文說明兩條法則，列一張跨越元件時的符號表，然後解兩回路電路，其中一條電流故意猜反。最後分析橋式電路，說明何時連串並聯化簡都無法開始。所有例題使用理想導線、沒有內阻的理想電池和穩態直流。

節點法則是電荷記帳

節點是三根或更多導線相遇的點。克希荷夫第一定律，即節點法則或電流定律，指出流入節點的總電流等於流出的總電流：

$$\sum I_{\text{in}}=\sum I_{\text{out}}$$

OpenStax 的克希荷夫法則章節以電荷守恆解釋：電流是電荷流動，電荷不會不斷堆積在導線裡，抵達節點的必須離開。如果一根線流入 3 A，另一根流出 2 A，第三根就流出 1 A。

每個節點都能列式，但若電路有 $n$個節點，只有 $n-1$條獨立方程，最後一條重複已有資訊。

迴路法則是電位記帳

克希荷夫第二定律，即迴路法則或電壓定律，指出沿任意閉合迴路走一圈，將每次電位變化相加，結果為零：

$$\sum \Delta V=0$$

你回到原點，而一點只能有一個電位。OpenStax 也把它與能量連結：電源提供給沿迴路運動電荷的能量，會由迴路中的其他元件繼續轉移。

法則很簡單，容易失分的是符號，先把它們定清楚：

OpenStax 給出的也是這四條規則。注意兩點：電阻的符號取決於你畫的電流箭頭，不取決於尚未知曉的真實電流；電池的符號只取決於先經過哪一極，與流經電池的電流方向無關。

有一條電流猜錯的雙迴路電路

想象上下兩根水平導線，上方連接於節點 A，下方連接於節點 B。三條鉛直支路將它們接起來：

$I_1$與 $I_3$箭頭都從電池正極流出。這是自然的猜法，但對 3 V 電池是錯的。無需設法避免，方法本身能處理。

節點 A。 兩條電流流入，一條流出：

$$I_1+I_3=I_2$$

左迴路。 從 B 沿左支路向上，經過上方導線到 A，再沿中間支路向下回到 B。穿過 12 V 電池時從負到正，得 $+12$；穿過 2 Ω 電阻時沿 $I_1$，得 $-2I_1$；中間支路沿 $I_2$向下，得 $-3I_2$：

$$12-2I_1-3I_2=0$$

右迴路。 從 B 沿右支路向上到 A，再沿中間支路向下：

$$3-3I_3-3I_2=0$$

三個未知數，三條獨立方程。現在求解。

解完再讀負號

右迴路化為 $I_2+I_3=1$，所以 $I_3=1-I_2$。由節點式把 $I_1$換成 $I_2-I_3$，代入左迴路：

$$12-2(I_2-I_3)-3I_2=0\quad\Rightarrow\quad 12-5I_2+2I_3=0$$

代入 $I_3=1-I_2$：

$$12-5I_2+2-2I_2=0\quad\Rightarrow\quad I_2=2\ \mathrm{A}$$

隨後 $I_3=1-2=-1\ \mathrm{A}$，$I_1=I_2-I_3=2-(-1)=3\ \mathrm{A}$。

$I_3$的負號是本題核心。大小 1 A 正確，實際方向卻與箭頭相反：電流沿右支路向下，從 3 V 電池正極流入。OpenStax 同樣指出，假定方向錯了，電流會算成負值，但答案仍正確。

兩個習慣可以避免負號害你出錯：

• 別翻轉箭頭重頭算。 方程建立在你最初的箭頭上，內部完全一致。
• 後續步驟保留負值。 只有在 $I_1=I_2-I_3$ 中把 $I_3$代入 $-1$，才會得到 3 A。丟掉負號只得到 1 A，錯誤還會擴散。

物理上，12 V 電池正在驅使電流反向穿過 3 V 電池。若後者是可充電電池，此時便在充電。若聯立方程這一步不順，我們的其實是數學失誤的物理錯誤指南有兩個未知數與聯立方程的部分。

雙重檢驗：節點電壓與功率平衡

節點電壓。 每條支路都連接 A 和 B，所以都應給出相同電位差 $V_A-V_B$。中間：$3\times2=6\ \mathrm{V}$。左邊：電池使電位升高 12 V，電阻使它降低 $2\times3=6\ \mathrm{V}$，剩 6 V。右邊：$3-3\times(-1)=6\ \mathrm{V}$。三條支路，一個答案。

功率平衡。 OpenStax 建議比較電源供出的功率與其他元件吸收的功率，來檢查克希荷夫解。在這裡：

供出 36 W；吸收 18 + 12 + 3 + 3 = 36 W。只有把 3 V 電池算作吸收功率，這筆帳才平衡。負電流在能量帳上再次出現。若誤把 $I_3$看作 +1 A，帳會差 6 W。

什麼時候串並聯化簡就夠了

串並聯電路指南逐步化簡網路：找共用一條無分支路徑或同一對節點的兩隻電阻，合併，再重複。能這樣做就用它，相當於克希荷夫規則已經替你應用過。

有兩種情形辦不到。第一種是上面的電路，不同支路裡各有電池，不能把任意兩支路合併成一隻電阻。第二種是橋式電路。在節點 A、B 間接 12 V 電源。左臂由 A 經過 1 Ω 到 C，再經 4 Ω 到 B；右臂由 A 經 4 Ω 到 D，再經 1 Ω 到 B。另用一隻 2 Ω 的橋臂電阻連接 C、D。

這裡沒有任何兩個電阻同時共享兩端，也沒有能獨自處於無分支路徑的電阻，故無從開始化簡。OpenStax 也指出很多電路都是如此。改在 C、D 列節點法則，令 B 為 0 V：

$$\frac{12-V_C}{1}=\frac{V_C}{4}+\frac{V_C-V_D}{2},\qquad \frac{12-V_D}{4}=\frac{V_D}{1}+\frac{V_D-V_C}{2}$$

解得 $V_C=8\ \mathrm{V}$、$V_D=4\ \mathrm{V}$。所以 2 A 從 C 經橋臂流向 D，電源提供 6 A，整個網路等效為 2 Ω。在 C 點核對：1 Ω 電阻帶來 4 A，4 Ω 電阻流出 2 A，橋臂又流出 2 A。

誘人的捷徑是忽略橋臂，把左右兩臂當作兩條 5 Ω 路徑並聯。結果為 2.5 Ω、4.8 A，比真實 6 A 少 20%。這只有在橋式電路平衡時才對：左右臂按相同比例分壓，C、D 電位相同，沒有電流透過橋臂。本例左臂上方為 1 Ω，右臂上方為 4 Ω，比例相反，所以橋臂有電流。

兩道帶答案的練習電路

1. 兩節電池都放電。 沿用上面的雙迴路結構，左支路改為 12 V 電池加 3 Ω 電阻，中間為 2 Ω 電阻，右支路為 9 V 電池加 3 Ω 電阻，兩電池正極都朝上。求三條電流並核對功率。答案：$I_1=2\ \mathrm{A}$、$I_2=3\ \mathrm{A}$、$I_3=1\ \mathrm{A}$，方向均與原箭頭一致，且 $V_A-V_B=6\ \mathrm{V}$。功率供應為 $24+9=33\ \mathrm{W}$，電阻消耗為 $12+18+3=33\ \mathrm{W}$。

2. 平衡橋。 同樣 12 V 橋形電路，左臂依次是 1 Ω、2 Ω，右臂依次是 2 Ω、4 Ω，橋臂電阻取任意值。求橋臂與電源電流。答案為 $V_C=V_D=8\ \mathrm{V}$，橋臂電流 0 A；左右臂分別是 3 Ω、6 Ω 並聯，總共 2 Ω，電源提供 6 A。只有這種情形才能刪去橋臂。

練到符號不再難倒你

每個電路使用同一方法：先畫箭頭，列節點，按符號表列迴路，求解，讀符號，再用功率核對。改變的是你面對負號時能多快不再猶豫。克希荷夫定律出現在我們的A-Level 物理學習計劃的電學單元，同樣習慣也適用於電容器網路；電容器串並聯指南同樣使用節點的電荷守恆。

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