比熱 Q = mcΔT：加熱、冷卻與混合計算例題

兩杯水即使收到相同能量，升溫幅度也可能不同。少量水會比大量水升溫更多；同樣質量的銅和水，反應又不一樣。比熱就是這項比較中屬於材料的因素。公式 $Q=mc\Delta T$ 很短，但許多錯誤來自把熱傳與溫度混為一談、將公克直接代入每公斤的數值，或忘記冷卻時溫度變化為負。

本文依序計算加熱、求未知質量、求末溫、冷卻和絕熱混合。一張單位錯誤表與能量平衡檢查可用在其他題目。這裡使用的水、銅和鋁的數值取自 OpenStax 的比熱表。它們是教科書計算常用的代表值，不是在任何溫度下都精確不變的常數。

熱傳、溫度和熱容量是不同物理量

溫度描述材料的熱狀態。熱傳 $Q$ 是因溫度差而跨越邊界的能量，以焦耳計。高溫物體並非把「熱」當作某種物質儲存在內部；它有內能，而熱傳會讓能量進出。我們的功與能量指南介紹了更完整的能量收支觀念，有助於分清兩者。

比熱 $c$ 屬於特定材料及物態。SI 單位表示每公斤、每克耳文所需的能量：$\mathrm{J/(kg\cdot K)}$。入門題常取液態水 $c_w=4186\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}$、銅 $c_{Cu}=387\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}$、鋁 $c_{Al}=900\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}$。若材料維持原物態，這些數值表示一公斤材料升高一克耳文所需的能量。$c$ 本身也會隨溫度變化，因此以下計算假定它在指定區間內近似固定。

某份樣品的熱容量為 $C=mc$，單位 $\mathrm{J/K}$。同種材料的質量加倍，$C$ 也加倍，但 $c$ 不變。對 $0.250\ \mathrm{kg}$ 的水，$C=0.250(4186)=1046.5\ \mathrm{J/K}$。在這個模型中，每升高一克耳文約需 $1047\ \mathrm{J}$。在多物體題中分清 $c$ 和 $C$，能避免常見錯誤。

用一致單位讀懂 Q = mcΔT

溫度變化一律寫成末溫減初溫：

$$Q=mc\Delta T,\qquad \Delta T=T_f-T_i.$$

這裡 $m$ 是質量，$Q$ 是傳入物體的能量。正的 $\Delta T$ 表示加熱，對應正的 $Q$；負的 $\Delta T$ 表示冷卻，對應負的 $Q$。公式描述材料在同一物態內、$c$ 可近似固定時的升溫或降溫。

若 $c$ 的單位是 $\mathrm{J/(kg\cdot K)}$，質量須用公斤，溫度差須用克耳文。攝氏溫差的數值一樣大：從 $20^\circ\mathrm{C}$ 到 $60^\circ\mathrm{C}$，變化量是 $40^\circ\mathrm{C}=40\ \mathrm{K}$。不要對溫差再加 273.15。你也可以把 $\mathrm{J/(kg\cdot{}^\circ C)}$ 搭配攝氏溫差使用，但不能把以公克表示的質量，與每公斤的比熱直接混用。

代入前先用這張表檢查物理量和單位。每一列把題意與公式實際接受的代入量對起來。若結果不合理，先查換算，再考慮改用另一物理模型。更廣泛的錯誤模式見看似物理錯誤，其實是數學失誤。

例題 1：加熱水需要多少能量

將 $0.250\ \mathrm{kg}$ 液態水從 $20^\circ\mathrm{C}$ 加熱到 $60^\circ\mathrm{C}$，取 $c_w=4186\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}$。水全程維持液態，忽略容器和房間吸收的能量。$\Delta T=60-20=40\ \mathrm{K}$，因此

$$Q=(0.250)(4186)(40)=41{,}860\ \mathrm{J}=41.86\ \mathrm{kJ}.$$

不用重算整個乘法也能檢查：這份水的熱容量是 $1046.5\ \mathrm{J/K}$，升高 $40\ \mathrm{K}$ 需要 $40(1046.5)=41{,}860\ \mathrm{J}$。單位也成立：$\mathrm{kg}\times\mathrm{J/(kg\cdot K)}\times\mathrm{K}=\mathrm{J}$。正號符合能量流入水中的情況。

若加熱器提供的能量更多，差額可能進入容器與周圍空氣。$Q=mc\Delta T$ 算的是水收到的能量，未必等於從插座取得的電能。

例題 2：反求質量或溫度變化

假設 $12{,}558\ \mathrm{J}$ 傳入液態水，使其溫度上升 $20\ \mathrm{K}$。先整理公式，再代數字：

$$m=\frac{Q}{c\Delta T} =\frac{12{,}558}{4186(20)} =0.150\ \mathrm{kg}.$$

也就是 $150\ \mathrm{g}$。回代得 $0.150(4186)(20)=12{,}558\ \mathrm{J}$。若算出 $150\ \mathrm{kg}$，應先懷疑公克與公斤換算出了錯。

換另一個未知數：給 $0.500\ \mathrm{kg}$ 的鋁 $9000\ \mathrm{J}$。用 $c_{Al}=900\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}$，升溫量為

$$\Delta T=\frac{Q}{mc}= \frac{9000}{0.500(900)}=20\ \mathrm{K}.$$

若初溫是 $20^\circ\mathrm{C}$，末溫便是 $40^\circ\mathrm{C}$。上升量以 $20\ \mathrm{K}$ 表示，初溫與末溫則用攝氏度。兩者不矛盾：克耳文和攝氏度每一格大小相同，只是零點不同。

例題 3：冷卻與負的 Q

一塊 $0.200\ \mathrm{kg}$ 的銅從 $80^\circ\mathrm{C}$ 降到 $30^\circ\mathrm{C}$。取 $c_{Cu}=387\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}$，$\Delta T=30-80=-50\ \mathrm{K}$：

$$Q_{Cu}=(0.200)(387)(-50)=-3870\ \mathrm{J}.$$

按「流入物體」為正的約定，負號表示能量離開銅塊。銅釋放的能量大小是 $3870\ \mathrm{J}$。不要說銅「含有負的熱」。如果在絕熱系統中，另一物體接收了全部能量，其 $Q$ 為正的 $3870\ \mathrm{J}$。若系統對外開放，部分能量可能流向環境；沒有更多資料，就不能把全部能量指定給單一接收者。

量級也合理：銅塊的熱容量是 $0.200(387)=77.4\ \mathrm{J/K}$。乘上下降的 $50\ \mathrm{K}$，得到 $3870\ \mathrm{J}$；能量流出時加負號。

例題 4：將熱銅放入冷水

把 $0.200\ \mathrm{kg}$、初溫 $90^\circ\mathrm{C}$ 的銅，放進 $0.300\ \mathrm{kg}$、初溫 $20^\circ\mathrm{C}$ 的液態水。假設容器絕熱、其熱容量可忽略，且沒有相變。兩者達到共同的末溫 $T_f$。銅失去的能量等於水得到的能量：

$$Q_{Cu}+Q_w=0,$$ $$(0.200)(387)(T_f-90) +(0.300)(4186)(T_f-20)=0.$$

銅的熱容量是 $77.4\ \mathrm{J/K}$，水的是 $1255.8\ \mathrm{J/K}$。整理後得

$$T_f=\frac{77.4(90)+1255.8(20)}{77.4+1255.8} =24.06^\circ\mathrm{C}.$$

結果介於 $20^\circ\mathrm{C}$ 和 $90^\circ\mathrm{C}$，且更靠近水的初溫，因為這份水的熱容量大得多。高於 $90^\circ\mathrm{C}$ 或低於 $20^\circ\mathrm{C}$ 的答案會違反沒有外來能量的假設。

用未四捨五入的值檢查平衡：銅有 $Q_{Cu}=77.4(24.0639-90)=-5103.45\ \mathrm{J}$，水有 $Q_w=1255.8(24.0639-20)=+5103.45\ \mathrm{J}$。除四捨五入誤差外，兩者相加為零。OpenStax 的量熱學章節使用相同的損失加所得平衡。真實容器也會吸收能量，較完整的能量平衡必須納入其熱容量。

何時不該用這個公式

公式假設材料在同一物態中改變溫度。熔化或沸騰時，能量可以持續流入，溫度在相變期間卻近似不變。把 $\Delta T=0$ 代入 $mc\Delta T$，便斷言不需能量，是用了錯誤模型。多階段題應分成用 $mc\Delta T$ 的升降溫段，以及用 $mL$ 的相變段，並使用題目提供的適當潛熱。OpenStax 將相變另行討論。

比熱也不是在任何溫度或物態下都完全固定。開放系統不會把所有傳入能量留在指定樣品。入門題通常給定 $c$ 和可忽略的損失；應把這些假設寫在公式旁。對實驗或真實裝置，應測量或建立容器、環境及溫度依存性的模型，而不是強套單一教科書數值。

遇到新題，先列出物體、以公斤表示的質量、材料與物態、附單位的 $c$，以及 $T_f-T_i$。判斷 $Q$ 是流入或流出該物體。混合題對每個物體各寫一個有正負號的 $Q$；只有把系統視為絕熱時，才令其總和為零。Physics Zen 的熱與溫度主題可以用新數值及完整解答練這個步驟。單位與能量平衡檢查應是計算的一部分，不是事後補做。