阿基米德原理：用例題理解浮力

把空的密封瓶按進泳池水面下，手會感覺它向上推。放開後瓶子上浮，直到只有一部分還在水裡。再把金屬鑰匙丟進同一個池子，它會下沉，但水同樣向上推它。差別在於向上的力是否足夠平衡物體的重力。

阿基米德原理給出這股推力的大小：浮力等於物體所排開流體的重量。 漂浮、下沉或被固定在水中的物體都適用。計算時要看有多少部分浸入流體。浮力題最常見的錯誤，是物體只有一部分排水，卻把總體積代入。

例題取水的密度 $1000\ \mathrm{kg/m^3}$、重力加速度 $9.81\ \mathrm{m/s^2}$。它們是四捨五入後的模型數值。假設水的密度均勻，物體不吸水、不改變體積；除非明確談到鬆手，例題中的物體都靜止。

浮力為什麼向上

水從各方向壓住浸入的物體。壓力隨深度增加，因此水對底面的推力大於對頂面的推力。在簡單對稱的情況，水平方向互相抵消，剩下向上的合力。OpenStax 的浮力章節用壓力解釋這一現象，也說明阿基米德原理如何用於部分和完全浸沒。

還可以換一種畫面：暫時在腦中移走物體，讓原來被排開的水重新佔據那塊空間。周圍的水壓會托住它。再換回物體，周圍的水仍為佔據該空間的東西提供同樣向上的支撐。因此向上的力等於被排開水的重量。物體本身的重力決定這份支撐能否托住它，而不是決定支撐力是否存在。

流體密度均勻時，被排開流體的質量為 $\rho_{\mathrm{fluid}}V_{\mathrm{displaced}}$。乘 $g$得到重量：

$$F_{\mathrm{b}}=\rho_{\mathrm{fluid}}gV_{\mathrm{displaced}}$$

用單位檢驗：$(\mathrm{kg/m^3})(\mathrm{m/s^2})(\mathrm{m^3})=\mathrm{kg\,m/s^2}=\mathrm{N}$。浮力是以牛頓計量的力，不是以公斤計量的質量。加州大學聖巴巴拉分校的阿基米德演示展示公式，也比較水下懸掛球的秤讀數減少量與收集到的排水量。

公式裡應該用哪個體積？

用被排開流體的體積。只要流體不能穿過物體，它就等於物體浸在流體中的部分體積。

• 固體完全沒入水中時，排水體積等於物體整個外部體積。
• 物體的一部分浮在水面上時，排水體積僅等於浸沒體積。
• 逐步把物體放進水中時，浸沒部分越多，排水體積越大，直到完全沒入。

直接求浮力的式子不需要物體的質量或密度。比較浮力與重力、或求漂浮位置時才要它們。先畫水線，然後只用線下體積。

例題：懸在水中的下沉物體

取一個緊湊物體，質量 $1.0\ \mathrm{kg}$，外部體積 $0.5\ \mathrm{L}=0.0005\ \mathrm{m^3}$。用秤的細鉤把它完全放入水中保持懸掛，不讓它碰到底部。把空氣中的重量寫作 $mg$時，忽略空氣本身很小的浮力。

重力為：

$$W=mg=(1.0)(9.81)=9.81\ \mathrm{N}$$

完全浸沒，故排開 $0.0005\ \mathrm{m^3}$的水。浮力為：

$$F_{\mathrm{b}}=(1000)(9.81)(0.0005)=4.905\ \mathrm{N}$$

重力仍以 $9.81\ \mathrm{N}$向下拉，水以 $4.905\ \mathrm{N}$向上推。秤提供剩下的向上力，讀數為：

$$T=W-F_{\mathrm{b}}=9.81-4.905=4.905\ \mathrm{N}$$

這個讀數是物體懸在水中時的視重量。NASA 的浮力課程用另一套單位進行相同的力相減。物體並未失去質量，是水托住了部分重力。若解開掛鉤，重力大於浮力，物體會向下加速。若碰到底部，底面還會施加接觸力，此時懸掛秤的方程不再完整描述受力平衡。

判斷是否漂浮前，先畫受力

受力分析圖方法在這裡尤其有用。只畫作用在物體上的力。對於懸掛物體，畫向下的重力 $W$、向上的浮力 $F_{\mathrm{b}}$和向上的秤拉力 $T$。靜止時 $T+F_{\mathrm{b}}-W=0$。秤若鬆開它，刪掉 $T$，再對剩餘合力使用牛頓第二定律。

自由漂浮且靜止的物體沒有秤支撐，也不接觸底部，只靠重力與浮力平衡：

$$F_{\mathrm{b}}=W$$

這條等式是達到平衡的結果，不是水提前知道了物體重量。物體會上下移動，直到浸入足夠多，排開與自身等重的水。增加載重，漂浮物沉得更深；減少載荷，它升得更高。牛頓定律指南解釋合力為零為何能描述靜止或等速度運動，而不平衡的力會改變運動。

例題：物塊有多少體積在水下？

考慮總體積 $1.0\ \mathrm{L}=0.001\ \mathrm{m^3}$、平均密度 $600\ \mathrm{kg/m^3}$的密封物塊。它的質量為 $(600)(0.001)=0.6\ \mathrm{kg}$，重力為：

$$W=(0.6)(9.81)=5.886\ \mathrm{N}$$

讓它自由漂浮。靜止時，排開水的重量必須為 $5.886\ \mathrm{N}$。求對應水量：

$$V_{\mathrm{displaced}}=\frac{W}{\rho_{\mathrm{water}}g} =\frac{5.886}{(1000)(9.81)} =0.0006\ \mathrm{m^3}=0.6\ \mathrm{L}$$

所以 $0.6/1.0=0.60$，即物塊體積的 60% 在水下。理想模型中，剩下 40% 在水面上。密度比也直接給出同一結果：

$$\frac{V_{\mathrm{submerged}}}{V_{\mathrm{object}}} =\frac{\rho_{\mathrm{object,average}}}{\rho_{\mathrm{fluid}}} =\frac{600}{1000}=0.60$$

這條捷徑假設物體自由漂浮且達到平衡、流體密度均勻，並用物體整個外部體積計算平均密度。它不是用來求被繩子託著或停在底部的下沉物體浸沒比例的公式。在這個簡化情況，自由漂浮平衡下比值也不會超過 1：若物體平均密度大於流體密度，它漂浮時排不開足夠重量的流體。

現在把同一物塊完全壓進水裡並保持不動。它排開全部 $1.0\ \mathrm{L}$，浮力變為 $(1000)(9.81)(0.001)=9.81\ \mathrm{N}$，重力仍為 $5.886\ \mathrm{N}$。在施加限制力之前，合力會是向上的 $9.81-5.886=3.924\ \mathrm{N}$，因此需要向下壓住它。物塊自由漂浮時，不要把浮力寫成 $9.81\ \mathrm{N}$；那時浮力是 $5.886\ \mathrm{N}$，因為只有 $0.6\ \mathrm{L}$浸在水裡。

Physics Zen 的流體專門練排開體積與受力平衡。先把體積換成立方公尺，再用牛頓比較力。

兩道簡短練習題

問題 1。 一個剛體完全浸沒，排開 $0.002\ \mathrm{m^3}$的水。取前述模型數值，浮力是多少？答案是向上 $(1000)(9.81)(0.002)=19.62\ \mathrm{N}$。這一步無需物體質量；判斷鬆手後是否上浮才需要。

問題 2。 一個自由漂浮的密封物體在模型水中的平均密度為 $750\ \mathrm{kg/m^3}$。多少比例的體積在水下？答案是 $750/1000=0.75$，即 75%。若外部體積為 $2.0\ \mathrm{L}$，浸沒體積就是 $1.5\ \mathrm{L}$。用質量檢驗：$(750)(0.002)=1.5\ \mathrm{kg}$，等於模型中 $1.5\ \mathrm{L}$水的質量。

常見錯誤

只漂浮一部分卻使用總體積。 只有水下部分排開液體。用平衡方程求這個體積，不要假設等於整個物塊。

認為下沉就沒有浮力。 下沉物體所受向上力可能很大，只是鬆手後不足以平衡重力。

把視重量當成重力改變。 物體重力始終是 $mg$。秤讀數減小是因為水另提供一個向上的力。

混用公升與立方公尺。 1 公升等於 $0.001\ \mathrm{m^3}$。若密度以每立方公尺為單位，先換算再相乘。

超出前提仍用漂浮密度比。 被向下壓住、底面托住的物體，或密度隨深度變化的流體，都要列真實的受力平衡。畫圖並重新確認排開體積。

常見問題

越深，浮力越大嗎？

在這個恆定密度模型中，已完全浸沒的剛體再往深處移動，排水體積不變，所以 $\rho gV$也不變。物體正在進入水中時，浸沒體積增加，浮力才增加。若物體可壓縮或流體密度隨深度變化，則需另行分析。

重船為什麼能浮起，小金屬鑰匙卻下沉？

判斷標準不只是重量。船體圍住空間，把那部分體積也計入後，平均密度足夠低，水線到達頂部之前就能排開與船等重的水。緊湊鑰匙的平均密度高於水，完全浸沒也得不到足以平衡重力的浮力。

排開的水等於溢出的水嗎？

排水體積是物體排除水的那部分空間。在溢水容器中，等體積的水可能流出；在泳池中，水位會上升。浮力取決於被排開流體的重量，而不取決於你有沒有收集溢出的水。