直觀理解動量：碰撞中依然守恆的第二本賬

讓購物手推車和裝滿貨的搬家貨車以同樣的步行速度穿過停車場，再試著分別讓它們停下。速率相同，難度卻完全不同。牛頓定律可以算出每一刻需要的力，能量告訴你停車要做多少功，但它們都沒有直接說出你感覺到的東西：要消除的運動究竟有多少。

物理把這個量叫動量，它是力學中的第二本重要帳本。功與能量文章介紹了第一本，是比較兩個時刻收支的標量帳本。動量帳本也是如此，只不過記的是向量，而且有能量帳本沒有的一大優點：碰撞即使激烈、混亂、損失動能，這本賬仍能對上。車身壓皺、黏土黏合、子彈嵌進木塊，動能賬不再平衡，動量賬卻仍平衡。

這是力學系列繼運動學、牛頓定律和功與能量之後的第四篇。我們會說明動量測量什麼、衝量為何更忠實地表達牛頓第二定律、碰撞中總動量為何守恆、三類碰撞有何不同，以及拿到題目時該翻開哪本賬。

動量是物體所帶的運動

動量等於質量乘速度：

$$\vec{p} = m\vec{v}$$

單位為千克·公尺每秒。它是向量，這點非常重要。動量指向物體運動的方向，反方向的動量會抵消。2 kg 的球向右以 3 m/s 運動，動量是 $+6$；同一球向左則是 $-6$；兩個這樣的球迎面靠近，雖然都在運動，總動量卻為零。

手推車與貨車速率相同，所以動量只因質量不同，貨車的是手推車的 100 倍。停車時感到的差別正是這個倍數。動量如實衡量“運動有多少”；質量或速度加倍，動量都會加倍。相比之下，動能中的速率要平方，於是動量與能量容易混淆的根源已經出現。

衝量是牛頓表達第二定律的方式

牛頓沒有寫 $F = ma$。他寫的是力等於“運動的量”的變化率，用現代符號就是：

$$\vec{F}_{\text{net}} = \frac{\Delta \vec{p}}{\Delta t}$$

兩邊乘以時間，得到衝量-動量定理：

$$\vec{F}_{\text{net}}\,\Delta t = \Delta \vec{p}$$

左邊的力乘作用時間是衝量，單位牛頓·秒；右邊是它造成的動量變化。質量恆定時這只是 $F = ma$的另一種寫法，因為 $\Delta p = m\Delta v$且 $\Delta v / \Delta t = a$。但衝量式顯示了加速度式不太明顯的事情：短時間的大力與長時間的小力，都可能實現相同的動量變化。

這就是各種安全裝置的物理原理。以 15 m/s 行駛的車無論撞上什麼，只要停下，就得失去全部動量。堅硬的牆在百分之幾秒內讓它停下，因此力非常大。車身潰縮區把停車時間延長到十分之幾秒，力按相同比例減小。安全氣囊對頭部做的是同一件事。接板球時雙手向後收、跳下時彎膝著地、體育館裡的軟墊地板也如此：無法改變 $\Delta p$，就拉長 $\Delta t$來減小 $F$。

在力對時間圖中，衝量是曲線下面積，所以也能處理變化的力。碰撞力衝到峰值後回落，那座峰下面的面積就是衝量；平均力等於面積除以持續時間。

總動量為什麼守恆

讓兩個物體碰撞。接觸時 A 推 B，B 反過來推 A。牛頓第三定律說兩力大小相等、方向相反；接觸對雙方在同一時刻開始和結束，因此作用時間也完全相同。所以 A 受到的衝量是 B 受到衝量的負值，A 的動量變化也是 B 動量變化的負值：

$$\Delta \vec{p}_A = -\Delta \vec{p}_B \quad\Rightarrow\quad \vec{p}_A + \vec{p}_B = \text{constant}$$

一個物體失去多少動量，另一個就得到多少，精確到每克·公尺每秒。總量不變，這就是動量守恆。注意推導不需要知道撞擊有多猛烈、物體彈開還是黏住、多少能量變成熱和聲音。內部作用力總成對抵消，系統內部做什麼都不改變整個系統的動量。

只有外力能改變它，比如與地面的摩擦、重力或牆施加的力。因此動量題常說“碰撞期間”：接觸短到外力來不及施加顯著衝量，於是碰前和碰後瞬間的總動量相同。煙花在發射臺上靜止時動量為零，爆炸後瞬間所有碎片都在運動，總動量仍為零，因為碎片的動量恰好彼此抵消。

三類碰撞

三類中動量都守恆，不同的是動能會怎樣變化。碰撞題真正要區分的就是這一點。

完全非彈性：物體黏在一起。 運動的火車車廂撞上靜止車廂並連在一起，子彈嵌進木塊，兩輛車撞後鎖在一起。碰後成為一個總質量的物體，以同一速度運動，動量守恆馬上給出它的速度：

$$m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2)\,v_f$$

碰後動能總比碰前少；在動量仍守恆的前提下，這是可能損失最多動能的情況。能量去了哪裡？變形、熱和聲音，與能量文章中摩擦力填入的 $f d$那一欄相同。題目說兩個物體黏住，就用動量，不要寫 $K_1 = K_2$，因為不成立。

彈性：彈開而沒有動能損失。 檯球、鋼珠，作為很好的近似還有氣體分子。動量與動能都守恆，因此有兩條方程可求碰後兩個未知速度。最清楚的特例是一維、質量相等：原來運動的球停下，原來靜止的球以原來的速率離開，打過檯球的人都見過。一般的正面彈性碰撞中，接近時的相對速率等於分離時的相對速率，能繞過二次方程計算。

非彈性，但不是完全非彈性：彈開並損失一些動能。 幾乎所有真實碰撞都在這類。落下後彈不回原高度的球、碰後分開的車、網球發球都是例子。動量守恆，動能降低多少可能由題目給定，也可能要你求；光有動量守恆還少一個條件。

記住三者的方法：動量守恆式總要寫；只有題目說彈性時才另外加上動能守恆式，說黏在一起時絕不能加。

兩個完整例題

一輛車撞上靜止車，兩車黏在一起。 3 kg 的小車以 4 m/s 撞上靜止的 1 kg 小車並黏合。碰前動量為 $3 \times 4 + 1 \times 0 = 12$。碰後總質量 4 kg，以 $12 / 4 = 3\ \mathrm{m/s}$運動。碰前動能為 $\tfrac{1}{2}(3)(16) = 24\ \mathrm{J}$，碰後為 $\tfrac{1}{2}(4)(9) = 18\ \mathrm{J}$。6 焦耳轉成了熱和碰撞時的聲響。動量恰好平衡，動能少了四分之一。這就是“非彈性”的數值表現。

反衝。 60 kg 的滑冰者在冰上靜止，把 2 kg 的球以 15 m/s 向前丟擲。碰前總動量為零，之後滑冰者的動量必須抵消球的動量：$60\,v = -2 \times 15$，所以 $v = -0.5\ \mathrm{m/s}$，即每秒向後 0.5 米。沒有其他人推滑冰者；滑冰者推了球，其餘由第三定律解釋。火箭、槍械和消防水管的反衝也只是換了數字的同一計算。

動量賬還是能量賬，該翻哪本？

兩種守恆量回答不同問題。許多學生的失誤是選自己熟悉的，而不是當前適用的。

該用動量賬的時候：

• 兩個或更多物體相互作用，要求相互作用剛結束時的速度。
• 題目出現黏合、連線、嵌入、爆炸、反衝或碰撞。
• 物體被壓皺或黏住，動能顯然不守恆。
• 已知作用時間與速度變化，要求力，或反過來求其中一個量。

該用能量賬的時候：

• 單個物體沿路徑或經過高度變化，要求另一位置的速率。
• 題目說明彈性碰撞，需要第二條方程。
• 已知距離上的摩擦力是唯一的損失。

兩本賬經常接力。彈道擺是典型例子：子彈嵌進懸掛物塊時用動量，因為二者黏住；物塊隨後擺到一定高度時用能量，因為這時是一個物體克服重力上升。順序反過來或在嵌入階段使用能量，答案會差得很大。難點不是知道兩條定律，而是認出當前解題步驟該用哪一條。

錯誤從哪裡來

把動量當標量。 正面碰撞時漏寫某個速度的符號，答案會完全不同。定一個正方向，每個速度都帶上符號，再檢查最終符號是否符合物理情形。

黏合碰撞中仍令動能守恆。 物體黏在一起意味著動能已經損失。寫 $K_{\text{before}} = K_{\text{after}}$會得到矛盾或錯誤速度。這裡僅用動量守恆。

忘記衝量是力乘時間，不是隻有力。 長時間持續的小力可能比短暫的大力帶來更多衝量。關鍵是力對時間圖下的面積。

外力作用很久卻仍套用動量守恆。 車上坡時的動量不守恆，因為重力和摩擦在這段時間施加了衝量。守恆適用於短暫相互作用，或沒有合外力的系統。

弄錯碰後哪部分質量運動。 完全非彈性碰撞時總質量一起動；彈性碰撞時兩者仍是不同物體，可能有不同速度。讀題時找“黏在一起”這個條件。

動量的用途

運動學描述運動，牛頓定律解釋原因，功與能量讓你跳過路徑，動量則讓你跳過碰撞細節。你不必知道接觸期間的力、持續時間或接觸面的形狀；只需知道碰前各動量，碰後總量就是同一個數。這本賬經得起激烈碰撞。

它也指向後面的主題。角動量是旋轉物體上的同一思路，解釋陀螺為何保持直立，以及花樣滑冰選手收起雙臂時為何越轉越快。第二定律的衝量-動量形式能延伸到相對論，而原樣的 $F = ma$不行。起初看似源於牛頓第三定律的守恆律，實際上有更深的來源：物理定律在這裡與向左一米處相同。每一條物理守恆律背後都有對稱性，動量的那種最簡單。

練熟這一主題，仍按有效學習物理的方法給出的流程：選正方向，寫碰前碰後帶符號的動量，從題目措辭判斷動能是否也守恆，求解，再檢查符號和極限。Physics Zen 的動量與碰撞主題前四項技能免費，只有最後的質心技能需要 Premium。這個主題用新數值練衝量與平均力、黏合碰撞與反衝、從等質量開始的彈性碰撞，幫你掌握選擇兩本賬的習慣，而不是記住一道例題。