司乃耳定律詳解：折射角計算例題

水杯裡的吸管看起來可能在水面處錯開。吸管沒有彎，是水下部分發出的光進入空氣時改變了方向。眼睛把這些光線沿進入眼睛的方向倒推，誤以為它們在水下也沿那條線走。這種方向變化就是折射。

光線也可能在表面彈回，那是反射。在折射題中，要追蹤穿過邊界的光線。已知入射角和兩種材料，司乃耳定律就能給出它的方向。計算很短，真正重要的是圖畫對、角度標對。

先畫邊界和法線

法線是光線到達表面的位置處，垂直於表面的一條假想直線。入射角和折射角都在各自光線與法線之間測量，絕不從光線與表面之間測。下面是空氣入水的示意圖。左右間距僅用於說明，具體角度在下文計算。

                  air, n1 = 1.00
 incoming ray  ↘  |  normal
                 \| θ1
------------------+---------------- surface
                   |\ θ2
                   | ↘ transmitted ray
                 water, n2 = 1.33

在紙上畫時，可在加號處添一小段虛線法線。把入射一側標為 $1$，透射一側標為 $2$，然後在入射光線旁寫 $\theta_1$，透射光線旁寫 $\theta_2$。好的圖能避免常見錯誤：把題目給的相對於表面的角直接放進司乃耳定律。如果表面角為 $30^\circ$，法線角就是 $90^\circ-30^\circ=60^\circ$。

OpenStax 的折射定律章節同樣從法線測角。圖還區分留在入射側的反射光與進入第二種材料的折射光。

折射率表示什麼

折射率 $n$比較光在真空中的速度 $c$與它在材料中的速度 $v$：

$$n=\frac{c}{v}.$$

在此模型中，折射率越大，光速越低。本文採用從 OpenStax 的折射章節取的近似值 $n_{\mathrm{air}}=1.00$與 $n_{\mathrm{water}}=1.33$。材料的折射率可能隨波長變化。下面只跟蹤固定頻率的一束光，並把這兩個折射率視為常數。根據 OpenStax Physics 對折射的解釋，跨越邊界時頻率不變，速度和波長會改變。

兩邊方向滿足司乃耳定律：

$$n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2.$$

角度從法線量。折射率沒有單位，正弦值也無量綱。本文的角度都用度數，計算器應放在角度模式；誤用弧度會得到錯誤的數值答案。

算之前先預測方向。第二種材料折射率較大時，$\sin\theta_2$必須較小，透射角也更小，光線向法線靠近。第二個折射率較小，若透射光存在，它會遠離法線。正入射時 $\theta_1=0^\circ$，雖然速度改變，透射光仍沿法線走，方向不彎。

例題：從空氣進入水

設空氣中的光線以相對法線 $40^\circ$的角度到達平靜水面，要求水中的角度。先標兩側：$n_1=1.00$、$n_2=1.33$、$\theta_1=40^\circ$。折射率增加，所以預測 $\theta_2<40^\circ$。

代入數字前先把司乃耳定律整理成未知正弦：

$$\sin\theta_2=\frac{n_1}{n_2}\sin\theta_1 =\frac{1.00}{1.33}\sin40^\circ =\frac{0.642788}{1.33} \approx0.483299.$$

計算器仍在角度模式，取反正弦：

$$\theta_2=\sin^{-1}(0.483299)\approx28.9^\circ.$$

結果小於 $40^\circ$，透過方向檢查。再代回去排除計算器輸錯：$1.00\sin40^\circ\approx0.6428$，$1.33\sin28.9^\circ\approx0.643$。微小差異來自四捨五入。若得到 $51^\circ$，就與進入高折射率介質的預測矛盾。

給 $28.9^\circ$加的單位是度，不是長度。這道題求方向。若考試還求速度，應另用 $v=c/n$，不要把角度當成速度。

例題：從水進入空氣

現在讓水中光線以相對法線 $30^\circ$向上到達水氣界面。標號交換：水為 $n_1=1.33$，空氣為 $n_2=1.00$。折射率降低，預測空氣中的角度大於 $30^\circ$。

$$\sin\theta_2=\frac{1.33}{1.00}\sin30^\circ =1.33(0.5)=0.665.$$

因此：

$$\theta_2=\sin^{-1}(0.665)\approx41.7^\circ.$$

和預測一樣，透射光遠離法線。回代可得 $1.33\sin30^\circ=0.665$、$1.00\sin41.7^\circ\approx0.665$，在給出的精度下吻合。

對比兩題：傳播方向、折射率順序及給定的入射角都變了。不要只交換 $n_1$、$n_2$，卻仍保留舊的 $\theta_1$。介質 1 永遠是這次計算中光線出發的介質。

檢查不可能的答案和臨界角

實數角度的正弦不會超過一。若司乃耳定律算出 $\sin\theta_2>1$，不要強行讓計算器給值，也不要把它四捨五入成一。光從高折射率進入低折射率時，它標誌著理想光線模型中的全反射區間；該入射角沒有透射折射光線。

在臨界入射角時，透射光會沿界面走，此時 $\theta_2=90^\circ$。在司乃耳定律代入 $\sin90^\circ=1$，求得臨界角：

$$\sin\theta_c=\frac{n_2}{n_1},\qquad \theta_c=\sin^{-1}\!\left(\frac{n_2}{n_1}\right),\quad n_1>n_2.$$

採用本文的近似水與空氣的折射率，$\theta_c=\sin^{-1}(1.00/1.33)\approx48.8^\circ$。這是用所選數值單獨四捨五入的結果；OpenStax 全反射章節給出規則和邊界圖。前面的 $30^\circ$小於臨界角，因此有透射光。若法線角為 $60^\circ$，公式卻要求 $\sin\theta_2=1.33\sin60^\circ\approx1.152$，不可能成立；在本模型中光線發生全反射。

等號情況也重要。恰在臨界角時，折射方向為沿表面的 $90^\circ$；入射角大於臨界角才發生全反射。空氣入水時起點折射率較小，因此不可能發生全反射。也要把普通的部分反射與此極限情況分開：有透射光時，界面仍可能反射一部分光。

三道附答案的練習題

1. 角度相對表面給出。 一束光從空氣射向平坦水面，與表面夾 $25^\circ$。司乃耳定律應代入多少入射角？折射角是多少？法線垂直表面，所以 $\theta_1=90^\circ-25^\circ=65^\circ$。繼續：

$$\sin\theta_2=\frac{1.00}{1.33}\sin65^\circ \approx\frac{0.906308}{1.33}\approx0.681434, \qquad \theta_2\approx43.0^\circ.$$

答案從法線測量，且入水時小於 $65^\circ$。

2. 光線垂直表面。 光從水到空氣，入射角相對法線為 $0^\circ$。司乃耳定律有 $1.33\sin0^\circ=1.00\sin\theta_2=0$，所以 $\theta_2=0^\circ$。透射方向仍然筆直，這不代表兩種材料的折射率相同。

3. 是否有透射光？ 水到空氣的光線以法線角 $\theta_1=50^\circ$入射，得到 $\sin\theta_2=1.33\sin50^\circ\approx1.019$。超過一，此模型中不存在實際的透射角。等價地，$50^\circ$高於約 $48.8^\circ$的臨界角。不要把 $\sin^{-1}(1.019)$當成實數角度回答。

會標法線並能在計算前預測偏折方向後，到 光學練習反射、折射和臨界角。畫圖較多的考試題也需要這套習慣：A-Level 物理備考、Abitur 物理備考和Bac 物理備考給出更完整的複習計劃。每次遇到新折射題，先說出入射介質，從法線測兩角，按反正弦鍵前檢查正弦值。

常見問題

司乃耳定律為什麼用正弦？

正弦表示光線方向沿界面的分量有多大。平面邊界處的波動幾何把兩側的這部分連結起來，得到 $n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2$。實際求光線方向時，關鍵是角度從法線量，各折射率必須配對應介質中的角。

光折射時頻率會改變嗎？

不會。在這裡的邊界模型中頻率不變，速度與波長隨介質改變。材料折射率也可能隨波長變化，多色光因此會分開；數值例題只跟蹤一個選定折射率組合下的單束光。

折射率越大，折射角就一定越大嗎？

不是。要比較兩種折射率與入射角。介質 1 中入射角固定時，$n_2$越大，介質 2 中相對法線的角度越小。$0^\circ$正入射時方向根本不彎。比較數值前先說清所指哪個角。