直觀理解力矩：槓桿、夾角與平衡

先在鉸鏈旁推門，再用同樣大的力推門把手。力相同，轉動效果卻大不相同。力描述推或拉，力矩則描述這股推拉如何讓物體繞指定支點轉動。

答案由三個問題決定：支點在哪裡？力作用在哪裡？指向哪裡？先回答它們，力矩公式就成了圖的簡明表達。

力需要力臂才能轉動物體

想象從上方看一把水平的扳手。左端卡住螺栓，你在右端沿垂直手柄的方向向上拉。螺栓是支點，手柄使你的力更容易產生轉動。

力不變，把手移到離螺栓一半距離的位置，轉動效果也減半。如果沿手柄直線朝向或背離螺栓拉，轉動效果消失，因為力的直線經過支點。

最後這句話很有用。把力箭頭向兩端延長成一條想象的直線，這就是作用線。支點到這條線的垂直距離就是力臂，也叫力矩臂。

在力相同的情況下，垂直距離越大，力矩越大。工具長不一定有用，還得沿能有效利用長度的方向施力。

兩個等價的力矩公式

對於在固定旋轉軸的垂直平面內作用的力，力矩大小為：

$$\tau = rF\sin\theta$$

$r$是支點到施力點的距離，$F$是力的大小，$\theta$是從支點向外的位置向量與力向量之間的夾角。

也可直接用垂直力臂 $d_\perp$：

$$d_\perp = r\sin\theta$$ $$\tau = Fd_\perp$$

兩者算的是同一件事。一個用完整位置向量長度與角度，另一個直接用垂直距離。已經得到垂直力臂後，不要再乘一次正弦。

OpenStax 的力矩章節給出向量形式 $\boldsymbol{\tau} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}$。在平面圖中，通常用大小及順時針、逆時針符號即可，不必逐分量計算叉積。

單位是牛頓米，寫作 $\mathrm{N\,m}$。它的量綱與焦耳相同，但力矩不是能量。特意把力矩單位稱為牛頓米，有助於區分兩者。

例題：垂直拉動

螺栓中心到手的扳手長度為 $0.25\ \mathrm{m}$。你以與手柄成直角的方向施加 $40\ \mathrm{N}$的力。

因為 $\theta = 90^\circ$，正弦等於 1：

$$\tau = (0.25)(40)\sin 90^\circ = 10\ \mathrm{N\,m}$$

同樣的力若施加在 $0.10\ \mathrm{m}$處，得到：

$$\tau = (0.10)(40) = 4\ \mathrm{N\,m}$$

計算前也能解釋：第一處離支點是第二處的 2.5 倍，力矩也為 2.5 倍。

這就是門把手遠離鉸鏈的原因，日常設計讓公式變得可見。但這不證明更大的力一定讓物體轉得更多：距離和方向也重要。

例題：斜向拉動

仍用 $0.25\ \mathrm{m}$的扳手和 $40\ \mathrm{N}$的拉力，但讓力與手柄向外的方向成 $30^\circ$。

$$\tau = (0.25)(40)\sin 30^\circ = 5\ \mathrm{N\,m}$$

只有垂直於手柄的力分量貢獻轉動：

$$F_\perp = 40\sin 30^\circ = 20\ \mathrm{N}$$

該分量乘手柄長度，仍得 $0.25(20) = 5\ \mathrm{N\,m}$。

沿手柄方向的分量仍可能給物體或支撐處施加力，只是不對螺栓產生力矩。力矩為零，不等於力為零。

每次都檢查角度畫在哪裡。若圖給的是力與手柄垂線的夾角，它不能直接當作 $\theta$。可能要取餘角，或等價地改用餘弦。不先辨認兩個向量就死記“永遠用正弦”，會讓正確公式算出錯誤答案。

順時針和逆時針力矩互相對抗

平面題中選一個轉動方向為正。常見做法是逆時針為正，順時針為負。只要始終一致，反過來也可以。

假設兩股力作用於中央有支點的水平橫樑：

• 向下的 $30\ \mathrm{N}$施加在支點左側 $0.40\ \mathrm{m}$處。
• 向下的 $20\ \mathrm{N}$施加在支點右側 $0.30\ \mathrm{m}$處。

左邊的力想讓橫樑逆時針轉，右邊的力想讓它順時針轉。帶符號的力矩為：

$$\tau_\mathrm{left} = +(30)(0.40) = +12\ \mathrm{N\,m}$$ $$\tau_\mathrm{right} = -(20)(0.30) = -6\ \mathrm{N\,m}$$

因此：

$$\tau_\mathrm{net} = 12 - 6 = +6\ \mathrm{N\,m}$$

合轉動效果為逆時針。不要只看力向上還是向下來定符號。這兩股力都向下，卻因作用在支點兩側而讓橫樑朝相反方向轉。

平衡同時要求力和力矩滿足條件

靜止橫樑必須同時滿足平動平衡與轉動平衡：

$$\sum \mathbf{F} = 0 \qquad \sum \tau = 0$$

設一根輕質水平橫樑由中央支點支撐。把 $3.0\ \mathrm{kg}$重物掛在支點左側 $0.40\ \mathrm{m}$處。右側的 $2.0\ \mathrm{kg}$重物應掛在哪裡，才能保持平衡？

以支點求力矩：

$$(3.0g)(0.40) - (2.0g)d = 0$$

兩邊重力使用同一個加速度，因此 $g$約去：

$$d = \frac{3.0(0.40)}{2.0} = 0.60\ \mathrm{m}$$

較輕重物需要更長的力臂。支撐處還必須提供等於兩邊總重的向上力，約為 $49.1\ \mathrm{N}$，這裡取 $g = 9.81\ \mathrm{m/s^2}$。

支撐力穿過支點，因此對該點的力矩為零。選這個點讓力矩計算變簡單，但不等於假裝支撐力不存在。

若橫樑本身重力不可忽略，要把它加在橫樑質心。均勻橫樑在中心受支撐，其重力對該支點的力矩為零；支撐點偏離中心則不然。先畫受力分析圖，免得把某個力悄悄漏掉。

力矩改變轉動，不直接決定角速度

對於繞固定軸轉動、轉動慣量 $I$恆定的剛體，牛頓第二定律的轉動形式是：

$$\sum \tau = I\alpha$$

角加速度 $\alpha$表示角速度變化有多快。同樣的合力矩，在轉動慣量更大時產生的角加速度更小。

例如，物體受到 $6\ \mathrm{N\,m}$合力矩，而轉動慣量為 $I = 2\ \mathrm{kg\,m^2}$，則：

$$\alpha = \frac{6}{2} = 3\ \mathrm{rad/s^2}$$

在這些前提下，合力矩為零表示角加速度為零。已經旋轉的物體仍可以保持恆定角速度。牛頓定律中，合力為零也不要求速度為零。

力矩也不同於圓周運動討論的向內力。指向中心的力對該中心的力矩為零，卻仍可改變速度方向，讓物體沿圓軌道運動。

可靠的力矩檢查表

選支點，畫所有外力。確認每股力的作用線，再量垂直力臂或使用 $r\sin\theta$。相乘前把公分換成公尺。根據每股力讓物體轉動的方向定正負，再將力矩相加。

平衡題要同時檢查力和力矩。求角加速度時，先檢查固定軸的前提，再用 $\sum\tau = I\alpha$。最後測試極限：作用線穿過支點的力，其力矩必須為零。

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