基尔霍夫定律详解：节点与回路法则例题

两节电池、三个电阻，问题是：电流经过较小的电池时流向哪边？多数人会从它的正极画出箭头，因为平常电池就是这样供电。但下面电路中猜错了，代数会以负值告诉你。看懂这个负号，就是学会基尔霍夫定律的重要一半。

本文说明两条法则，列一张跨越元件时的符号表，然后解两回路电路，其中一条电流故意猜反。最后分析桥式电路，说明何时连串并联化简都无法开始。所有例题使用理想导线、没有内阻的理想电池和稳态直流。

节点法则是电荷记账

节点是三根或更多导线相遇的点。基尔霍夫第一定律，即节点法则或电流定律，指出流入节点的总电流等于流出的总电流：

$$\sum I_{\text{in}}=\sum I_{\text{out}}$$

OpenStax 的基尔霍夫法则章节以电荷守恒解释：电流是电荷流动，电荷不会不断堆积在导线里，抵达节点的必须离开。如果一根线流入 3 A，另一根流出 2 A，第三根就流出 1 A。

每个节点都能列式，但若电路有 $n$个节点，只有 $n-1$条独立方程，最后一条重复已有信息。

回路法则是电势记账

基尔霍夫第二定律，即回路法则或电压定律，指出沿任意闭合回路走一圈，将每次电势变化相加，结果为零：

$$\sum \Delta V=0$$

你回到原点，而一点只能有一个电势。OpenStax 也把它与能量联系：电源提供给沿回路运动电荷的能量，会由回路中的其他元件继续转移。

法则很简单，容易失分的是符号，先把它们定清楚：

OpenStax 给出的也是这四条规则。注意两点：电阻的符号取决于你画的电流箭头，不取决于尚未知晓的真实电流；电池的符号只取决于先经过哪一极，与流经电池的电流方向无关。

有一条电流猜错的双回路电路

想象上下两根水平导线，上方连接于节点 A，下方连接于节点 B。三条竖直支路将它们接起来：

$I_1$与 $I_3$箭头都从电池正极流出。这是自然的猜法，但对 3 V 电池是错的。无需设法避免，方法本身能处理。

节点 A。 两条电流流入，一条流出：

$$I_1+I_3=I_2$$

左回路。 从 B 沿左支路向上，经过上方导线到 A，再沿中间支路向下回到 B。穿过 12 V 电池时从负到正，得 $+12$；穿过 2 Ω 电阻时沿 $I_1$，得 $-2I_1$；中间支路沿 $I_2$向下，得 $-3I_2$：

$$12-2I_1-3I_2=0$$

右回路。 从 B 沿右支路向上到 A，再沿中间支路向下：

$$3-3I_3-3I_2=0$$

三个未知数，三条独立方程。现在求解。

解完再读负号

右回路化为 $I_2+I_3=1$，所以 $I_3=1-I_2$。由节点式把 $I_1$换成 $I_2-I_3$，代入左回路：

$$12-2(I_2-I_3)-3I_2=0\quad\Rightarrow\quad 12-5I_2+2I_3=0$$

代入 $I_3=1-I_2$：

$$12-5I_2+2-2I_2=0\quad\Rightarrow\quad I_2=2\ \mathrm{A}$$

随后 $I_3=1-2=-1\ \mathrm{A}$，$I_1=I_2-I_3=2-(-1)=3\ \mathrm{A}$。

$I_3$的负号是本题核心。大小 1 A 正确，实际方向却与箭头相反：电流沿右支路向下，从 3 V 电池正极流入。OpenStax 同样指出，假定方向错了，电流会算成负值，但答案仍正确。

两个习惯可以避免负号害你出错：

• 别翻转箭头重头算。 方程建立在你最初的箭头上，内部完全一致。
• 后续步骤保留负值。 只有在 $I_1=I_2-I_3$ 中把 $I_3$代入 $-1$，才会得到 3 A。丢掉负号只得到 1 A，错误还会扩散。

物理上，12 V 电池正在驱使电流反向穿过 3 V 电池。若后者是可充电电池，此时便在充电。若联立方程这一步不顺，我们的其实是数学失误的物理错误指南有两个未知数与联立方程的部分。

双重检验：节点电压与功率平衡

节点电压。 每条支路都连接 A 和 B，所以都应给出相同电势差 $V_A-V_B$。中间：$3\times2=6\ \mathrm{V}$。左边：电池使电势升高 12 V，电阻使它降低 $2\times3=6\ \mathrm{V}$，剩 6 V。右边：$3-3\times(-1)=6\ \mathrm{V}$。三条支路，一个答案。

功率平衡。 OpenStax 建议比较电源供出的功率与其他元件吸收的功率，来检查基尔霍夫解。在这里：

供出 36 W；吸收 18 + 12 + 3 + 3 = 36 W。只有把 3 V 电池算作吸收功率，这笔账才平衡。负电流在能量账上再次出现。若误把 $I_3$看作 +1 A，账会差 6 W。

什么时候串并联化简就够了

串并联电路指南逐步化简网络：找共用一条无分支路径或同一对节点的两只电阻，合并，再重复。能这样做就用它，相当于基尔霍夫规则已经替你应用过。

有两种情形办不到。第一种是上面的电路，不同支路里各有电池，不能把任意两支路合并成一只电阻。第二种是桥式电路。在节点 A、B 间接 12 V 电源。左臂由 A 经过 1 Ω 到 C，再经 4 Ω 到 B；右臂由 A 经 4 Ω 到 D，再经 1 Ω 到 B。另用一只 2 Ω 的桥臂电阻连接 C、D。

这里没有任何两个电阻同时共享两端，也没有能独自处于无分支路径的电阻，故无从开始化简。OpenStax 也指出很多电路都是如此。改在 C、D 列节点法则，令 B 为 0 V：

$$\frac{12-V_C}{1}=\frac{V_C}{4}+\frac{V_C-V_D}{2},\qquad \frac{12-V_D}{4}=\frac{V_D}{1}+\frac{V_D-V_C}{2}$$

解得 $V_C=8\ \mathrm{V}$、$V_D=4\ \mathrm{V}$。所以 2 A 从 C 经桥臂流向 D，电源提供 6 A，整个网络等效为 2 Ω。在 C 点核对：1 Ω 电阻带来 4 A，4 Ω 电阻流出 2 A，桥臂又流出 2 A。

诱人的捷径是忽略桥臂，把左右两臂当作两条 5 Ω 路径并联。结果为 2.5 Ω、4.8 A，比真实 6 A 少 20%。这只有在桥式电路平衡时才对：左右臂按相同比例分压，C、D 电势相同，没有电流通过桥臂。本例左臂上方为 1 Ω，右臂上方为 4 Ω，比例相反，所以桥臂有电流。

两道带答案的练习电路

1. 两节电池都放电。 沿用上面的双回路结构，左支路改为 12 V 电池加 3 Ω 电阻，中间为 2 Ω 电阻，右支路为 9 V 电池加 3 Ω 电阻，两电池正极都朝上。求三条电流并核对功率。答案：$I_1=2\ \mathrm{A}$、$I_2=3\ \mathrm{A}$、$I_3=1\ \mathrm{A}$，方向均与原箭头一致，且 $V_A-V_B=6\ \mathrm{V}$。功率供应为 $24+9=33\ \mathrm{W}$，电阻消耗为 $12+18+3=33\ \mathrm{W}$。

2. 平衡桥。 同样 12 V 桥形电路，左臂依次是 1 Ω、2 Ω，右臂依次是 2 Ω、4 Ω，桥臂电阻取任意值。求桥臂与电源电流。答案为 $V_C=V_D=8\ \mathrm{V}$，桥臂电流 0 A；左右臂分别是 3 Ω、6 Ω 并联，总共 2 Ω，电源提供 6 A。只有这种情形才能删去桥臂。

练到符号不再难倒你

每个电路使用同一方法：先画箭头，列节点，按符号表列回路，求解，读符号，再用功率核对。改变的是你面对负号时能多快不再犹豫。基尔霍夫定律出现在我们的A-Level 物理学习计划的电学单元，同样习惯也适用于电容器网络；电容器串并联指南同样使用节点的电荷守恒。

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