弦与管中的驻波：从边界条件解例题

驻波在一个方面看似静止：波节留在原位。但波节之间的弦或空气仍在运动。求频率时，先看两端。端点决定哪种波形能存在；波速再把每个允许的波长换成频率。

本文计算三个例题，并用草图、单位和下一个允许的振动模式检查答案。我们使用理想的弦和空气柱。真实乐器的开口端、温度变化与阻尼需要更仔细处理，因此最后一节指出简单公式的边界。

行波怎样形成驻波图样

波沿弦传播，在端点反射。相同频率的入射波与反射波叠加，有些位置的位移加强，有些相互抵消。波节的位移始终为零；波腹的位移达到该模式的最大值。整幅图样并非一个波峰持续从左移到右，不过在实际受驱动的系统中，能量仍会被提供并耗散。

OpenStax 的驻波章节从端点条件推导允许的模式。关键不是先背公式。先画出材料在每个端点能怎样运动，再数两个端点之间容得下几个波长的分段。

频率、波长和波速仍满足

$$v=f\lambda.$$

$v$是行进扰动在介质中的传播速度，$f$是每秒的周期数，$\lambda$是每周期对应的米数。驻波由两列这样的波形成，不改变这条关系。它也不同于我们的简谐运动指南中弹簧上的单个质点：弦上的某一点可以近似如此振动，但整条弦有许多点和多种可能的模式形状。

两端固定的弦：两端都是位移波节

两端绑紧的弦不能在固定点移动。先在两端画位移波节。最短的图样在中间只有一个波腹，长度 $L$容纳半个波长。模式每升一级，再加入半个波长：

$$L=n\frac{\lambda_n}{2},\qquad \lambda_n=\frac{2L}{n},\qquad f_n=\frac{nv}{2L},\quad n=1,2,3,\ldots$$

第一个模式是基频，$f_1=v/(2L)$。第二个为 $2f_1$，弦内部多一个波节。第三个为 $3f_1$。称这些频率为谐波前，先确认两端真的固定。自由端对位移会提出另一种条件。

理想拉紧的弦由张力 $T$与线密度 $\mu$决定波速：

$$v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}.$$

张力用牛顿，$\mu$用千克每米；开平方后单位为米每秒。这个模型假设弦柔软、张力近似不变且横向位移很小。它不表示又粗又硬、受到强烈驱动的真实弦会精确遵守每个理想谐波。

例题 1：张力已知的弦

一根长 1.20 m 的弦，张力为 $48\ \mathrm{N}$，线密度 $0.012\ \mathrm{kg/m}$。求第一和第三个允许频率。先算波速：

$$v=\sqrt{48/0.012}=\sqrt{4000}\approx63.25\ \mathrm{m/s}.$$

接着 $f_1=63.25/(2\times1.20)\approx26.4\ \mathrm{Hz}$，$f_3=3f_1\approx79.1\ \mathrm{Hz}$。第三模式的 $\lambda_3=2(1.20)/3=0.80\ \mathrm{m}$。核对：$v/\lambda_3=63.25/0.80\approx79.1\ \mathrm{Hz}$。草图应在两端有波节，内部再有两个波节。如果得到基频的两倍，算的是第二模式而非第三模式。

张力改变 $v$，所有模式的频率也会改变。张力翻倍不意味着频率翻倍：开方公式给出的倍数是 $\sqrt{2}$。若保持波速不变而改变长度，作用不同：频率与 $L$成反比。比较两根弦前，要说明哪个量保持不变。

管的端点：先说是位移还是压强

管中的声音是纵波。空气沿管前后运动，同时压强升降。不说明画的是哪个量，“波节”就有歧义。在近似封闭端，空气位移受限制，因此这里是位移波节、压强波腹。在近似开口端，空气更自由地运动，局部压强接近大气压，因此这里是位移波腹、压强变化的波节。

田纳西大学的气柱资料明确把压强与位移的边界条件配对。两列互补。如果图把闭端标成压强波节，接着又使用位移公式，就是把两套模型混在一起。OpenStax 的声波正常模式用位移画出管中允许的波形。解题前在草图上方写“空气位移”，再放置波节和波腹；下方可标压强作交叉检查。

两端开放的管在两个端点都是位移波腹。最简单的图样在 $L$中包含半个波长。虽然两端是波腹而不是波节，其可容纳波长的数法与两端固定的弦相同。因此，理想两端开管满足 $f_n=nv/(2L)$，其中 $n=1,2,3,\ldots$。两端都封闭的管也有对称边界，位移波节位于两端，在简化模型中频率序列相同。

例题 2：两端开放的管

取一根理想的双端开管，长度 0.85 m，并为这道题假设声速为 $340\ \mathrm{m/s}$。基频容纳半个波长：$\lambda_1=2L=1.70\ \mathrm{m}$。频率 $f_1=340/1.70=200\ \mathrm{Hz}$。下一个允许模式为 $f_2=400\ \mathrm{Hz}$，$\lambda_2=0.85\ \mathrm{m}$。

相信数字前先核对几何：开口的两端应是位移波腹；第二模式在管内增加半个波长。再核对单位：米每秒除以米得到每秒，即赫兹。假设的 340 m/s 是题目指定值，不是普适的声速；温度和介质都会改变它。

一端封闭、一端开放的管只允许奇数次谐波

现在封闭管的一端，另一端开放。位移一端须为波节，另一端须为波腹。最短图样在 $L$中只需四分之一个波长，所以 $\lambda_1=4L$，$f_1=v/(4L)$。接下来满足相同端点条件的图样需要四分之三个波长，再下一个需要四分之五个：

$$L=(2k-1)\frac{\lambda_k}{4},\qquad f_k=(2k-1)\frac{v}{4L},\quad k=1,2,3,\ldots$$

频率依次是 $f_1,3f_1,5f_1,\ldots$。“只有奇数次谐波”描述的是这一理想边界条件。第二个允许模式是第三谐波，而不是第二谐波。这一区别可防止把闭开管的第二共振误写成 $2f_1$。若题目说“第二次共振”，理想模型中应使用 $3f_1$。

例题 3：一端封闭的管

管长 0.50 m，一端封闭、一端开放，使用题目给定的 $v=340\ \mathrm{m/s}$。第一次共振：$\lambda_1=4(0.50)=2.0\ \mathrm{m}$，因此 $f_1=340/2.0=170\ \mathrm{Hz}$。第二个允许的共振为 $3f_1=510\ \mathrm{Hz}$，此时 $\lambda=340/510\approx0.667\ \mathrm{m}$。这个波长的四分之三约为 0.50 m，正好符合管长。相反，$2f_1=340\ \mathrm{Hz}$需要一种不能同时满足两端条件的位移图样。

**边界条件检查：**封闭端是位移波节、压强波腹；开放端是位移波腹、压强波节。然后检查单位、奇数次谐波的编号，以及 $v=f\lambda$。接受结果前，四项检查都应一致。

驻波决定允许的频率；声音强度例题计算距离变化时单位面积的功率。

理想模型在哪里失效

开口处的空气不会恰好在物理边缘停止运动。因此，真实管的声学有效长度与实际测得的长度略有不同。这叫端部修正；康涅狄格大学的气柱资料解释声学长度为何不同于物理长度。修正量取决于开口与周围环境，因此完全理想化的管公式不能把每次真实共振都预测到 1 Hz。上面的例题明确使用简单边界模型，并把测得的 $L$当作有效长度。

温度改变声速；刚性管壁的假设和能量损失也有影响。弦的刚性与阻尼可能移动或模糊模式。这些都是要读清题目假设的理由，并不意味着应丢掉波节草图。草图告诉你应从哪个理想系列起步，更高级的题可能需要哪种修正。

不要把奇数次谐波规则套到所有声源上。它属于一端近似封闭、另一端近似开放的组合。在同样的理想化条件下，两端开口的气柱允许完整的整数序列。振动的弦有自己的固定端条件。选择公式的是边界，不是乐器的名称。

先练立式，再做算术

遇到新题，先画端点条件，注明波节指位移还是压强，数清允许的 $\lambda$的哪一部分能放进去，然后才代入 $v$与 $L$。最后再用 $v=f\lambda$反算。最后这一步能抓到许多两倍误差。

Physics Zen 的波动与声音练习包含弦和管的驻波技能，每次提供新数值与经过核对的解答。把本文的三题当作模板：从张力和线密度求弦速，由半波长求开管频率，以及按奇数个四分之一波长求闭开管频率。

常见问题

**为什么一端封闭的管没有第二谐波？**半波长图样无法让一端是位移波节、另一端是波腹。在理想模型中，只有一个、三个、五个等奇数个四分之一波长能同时符合两端条件。

**开口端是波节还是波腹？**对空气的位移来说，它近似为波腹；对压强变化来说，它近似为波节。使用这些词前先说清物理量。

**能直接使用管的实测长度吗？**在教科书题中，按照题目指定的理想假设使用给定长度。真实测量可能需要端部修正，因此应注意给出的长度是物理长度还是有效长度。