阿基米德原理：用例题理解浮力

把空的密封瓶按进泳池水面下，手会感觉它向上推。放开后瓶子上浮，直到只有一部分还在水里。再把金属钥匙丢进同一个池子，它会下沉，但水同样向上推它。差别在于向上的力是否足够平衡物体的重力。

阿基米德原理给出这股推力的大小：浮力等于物体所排开流体的重量。 漂浮、下沉或被固定在水中的物体都适用。计算时要看有多少部分浸入流体。浮力题最常见的错误，是物体只有一部分排水，却把总体积代入。

例题取水的密度 $1000\ \mathrm{kg/m^3}$、重力加速度 $9.81\ \mathrm{m/s^2}$。它们是四舍五入后的模型数值。假设水的密度均匀，物体不吸水、不改变体积；除非明确谈到松手，例题中的物体都静止。

浮力为什么向上

水从各方向压住浸入的物体。压强随深度增加，因此水对底面的推力大于对顶面的推力。在简单对称的情况，水平方向互相抵消，剩下向上的合力。OpenStax 的浮力章节用压强解释这一现象，也说明阿基米德原理如何用于部分和完全浸没。

还可以换一种画面：暂时在脑中移走物体，让原来被排开的水重新占据那块空间。周围的水压会托住它。再换回物体，周围的水仍为占据该空间的东西提供同样向上的支撑。因此向上的力等于被排开水的重量。物体本身的重力决定这份支撑能否托住它，而不是决定支撑力是否存在。

流体密度均匀时，被排开流体的质量为 $\rho_{\mathrm{fluid}}V_{\mathrm{displaced}}$。乘 $g$得到重量：

$$F_{\mathrm{b}}=\rho_{\mathrm{fluid}}gV_{\mathrm{displaced}}$$

用单位检验：$(\mathrm{kg/m^3})(\mathrm{m/s^2})(\mathrm{m^3})=\mathrm{kg\,m/s^2}=\mathrm{N}$。浮力是以牛顿计量的力，不是以千克计量的质量。加州大学圣巴巴拉分校的阿基米德演示展示公式，也比较水下悬挂球的秤读数减少量与收集到的排水量。

公式里应该用哪个体积？

用被排开流体的体积。只要流体不能穿过物体，它就等于物体浸在流体中的部分体积。

• 固体完全没入水中时，排水体积等于物体整个外部体积。
• 物体的一部分浮在水面上时，排水体积仅等于浸没体积。
• 逐步把物体放进水中时，浸没部分越多，排水体积越大，直到完全没入。

直接求浮力的式子不需要物体的质量或密度。比较浮力与重力、或求漂浮位置时才要它们。先画水线，然后只用线下体积。

例题：悬在水中的下沉物体

取一个紧凑物体，质量 $1.0\ \mathrm{kg}$，外部体积 $0.5\ \mathrm{L}=0.0005\ \mathrm{m^3}$。用秤的细钩把它完全放入水中保持悬挂，不让它碰到底部。把空气中的重量写作 $mg$时，忽略空气本身很小的浮力。

重力为：

$$W=mg=(1.0)(9.81)=9.81\ \mathrm{N}$$

完全浸没，故排开 $0.0005\ \mathrm{m^3}$的水。浮力为：

$$F_{\mathrm{b}}=(1000)(9.81)(0.0005)=4.905\ \mathrm{N}$$

重力仍以 $9.81\ \mathrm{N}$向下拉，水以 $4.905\ \mathrm{N}$向上推。秤提供剩下的向上力，读数为：

$$T=W-F_{\mathrm{b}}=9.81-4.905=4.905\ \mathrm{N}$$

这个读数是物体悬在水中时的视重。NASA 的浮力课程用另一套单位进行相同的力相减。物体并未失去质量，是水托住了部分重力。若解开挂钩，重力大于浮力，物体会向下加速。若碰到底部，底面还会施加接触力，此时悬挂秤的方程不再完整描述受力平衡。

判断是否漂浮前，先画受力

受力分析图方法在这里尤其有用。只画作用在物体上的力。对于悬挂物体，画向下的重力 $W$、向上的浮力 $F_{\mathrm{b}}$和向上的秤拉力 $T$。静止时 $T+F_{\mathrm{b}}-W=0$。秤若松开它，删掉 $T$，再对剩余合力使用牛顿第二定律。

自由漂浮且静止的物体没有秤支撑，也不接触底部，只靠重力与浮力平衡：

$$F_{\mathrm{b}}=W$$

这条等式是达到平衡的结果，不是水提前知道了物体重量。物体会上下移动，直到浸入足够多，排开与自身等重的水。增加载荷，漂浮物沉得更深；减少载荷，它升得更高。牛顿定律指南解释合力为零为何能描述静止或匀速运动，而不平衡的力会改变运动。

例题：物块有多少体积在水下？

考虑总体积 $1.0\ \mathrm{L}=0.001\ \mathrm{m^3}$、平均密度 $600\ \mathrm{kg/m^3}$的密封物块。它的质量为 $(600)(0.001)=0.6\ \mathrm{kg}$，重力为：

$$W=(0.6)(9.81)=5.886\ \mathrm{N}$$

让它自由漂浮。静止时，排开水的重量必须为 $5.886\ \mathrm{N}$。求对应水量：

$$V_{\mathrm{displaced}}=\frac{W}{\rho_{\mathrm{water}}g} =\frac{5.886}{(1000)(9.81)} =0.0006\ \mathrm{m^3}=0.6\ \mathrm{L}$$

所以 $0.6/1.0=0.60$，即物块体积的 60% 在水下。理想模型中，剩下 40% 在水面上。密度比也直接给出同一结果：

$$\frac{V_{\mathrm{submerged}}}{V_{\mathrm{object}}} =\frac{\rho_{\mathrm{object,average}}}{\rho_{\mathrm{fluid}}} =\frac{600}{1000}=0.60$$

这条捷径假设物体自由漂浮且达到平衡、流体密度均匀，并用物体整个外部体积计算平均密度。它不是用来求被绳子托着或停在底部的下沉物体浸没比例的公式。在这个简化情况，自由漂浮平衡下比值也不会超过 1：若物体平均密度大于流体密度，它漂浮时排不开足够重量的流体。

现在把同一物块完全压进水里并保持不动。它排开全部 $1.0\ \mathrm{L}$，浮力变为 $(1000)(9.81)(0.001)=9.81\ \mathrm{N}$，重力仍为 $5.886\ \mathrm{N}$。在施加限制力之前，合力会是向上的 $9.81-5.886=3.924\ \mathrm{N}$，因此需要向下压住它。物块自由漂浮时，不要把浮力写成 $9.81\ \mathrm{N}$；那时浮力是 $5.886\ \mathrm{N}$，因为只有 $0.6\ \mathrm{L}$浸在水里。

Physics Zen 的流体主题专门练排开体积与受力平衡。先把体积换成立方米，再用牛顿比较力。

两道简短练习题

问题 1。 一个刚体完全浸没，排开 $0.002\ \mathrm{m^3}$的水。取前述模型数值，浮力是多少？答案是向上 $(1000)(9.81)(0.002)=19.62\ \mathrm{N}$。这一步无需物体质量；判断松手后是否上浮才需要。

问题 2。 一个自由漂浮的密封物体在模型水中的平均密度为 $750\ \mathrm{kg/m^3}$。多少比例的体积在水下？答案是 $750/1000=0.75$，即 75%。若外部体积为 $2.0\ \mathrm{L}$，浸没体积就是 $1.5\ \mathrm{L}$。用质量检验：$(750)(0.002)=1.5\ \mathrm{kg}$，等于模型中 $1.5\ \mathrm{L}$水的质量。

常见错误

只漂浮一部分却使用总体积。 只有水下部分排开液体。用平衡方程求这个体积，不要假设等于整个物块。

认为下沉就没有浮力。 下沉物体所受向上力可能很大，只是松手后不足以平衡重力。

把视重当成重力改变。 物体重力始终是 $mg$。秤读数减小是因为水另提供一个向上的力。

混用升与立方米。 1 升等于 $0.001\ \mathrm{m^3}$。若密度以每立方米为单位，先换算再相乘。

超出前提仍用漂浮密度比。 被向下压住、底面托住的物体，或密度随深度变化的流体，都要列真实的受力平衡。画图并重新确认排开体积。

常见问题

越深，浮力越大吗？

在这个恒定密度模型中，已完全浸没的刚体再往深处移动，排水体积不变，所以 $\rho gV$也不变。物体正在进入水中时，浸没体积增加，浮力才增加。若物体可压缩或流体密度随深度变化，则需另行分析。

重船为什么能浮起，小金属钥匙却下沉？

判断标准不只是重量。船体围住空间，把那部分体积也计入后，平均密度足够低，水线到达顶部之前就能排开与船等重的水。紧凑钥匙的平均密度高于水，完全浸没也得不到足以平衡重力的浮力。

排开的水等于溢出的水吗？

排水体积是物体排除水的那部分空间。在溢水容器中，等体积的水可能流出；在泳池中，水位会上升。浮力取决于被排开流体的重量，而不取决于你有没有收集溢出的水。