斯涅尔定律详解：折射角计算例题

水杯里的吸管看起来可能在水面处错开。吸管没有弯，是水下部分发出的光进入空气时改变了方向。眼睛把这些光线沿进入眼睛的方向倒推，误以为它们在水下也沿那条线走。这种方向变化就是折射。

光线也可能在表面弹回，那是反射。在折射题中，要追踪穿过边界的光线。已知入射角和两种材料，斯涅尔定律就能给出它的方向。计算很短，真正重要的是图画对、角度标对。

先画边界和法线

法线是光线到达表面的位置处，垂直于表面的一条假想直线。入射角和折射角都在各自光线与法线之间测量，绝不从光线与表面之间测。下面是空气入水的示意图。左右间距仅用于说明，具体角度在下文计算。

                  air, n1 = 1.00
 incoming ray  ↘  |  normal
                 \| θ1
------------------+---------------- surface
                   |\ θ2
                   | ↘ transmitted ray
                 water, n2 = 1.33

在纸上画时，可在加号处添一小段虚线法线。把入射一侧标为 $1$，透射一侧标为 $2$，然后在入射光线旁写 $\theta_1$，透射光线旁写 $\theta_2$。好的图能避免常见错误：把题目给的相对于表面的角直接放进斯涅尔定律。如果表面角为 $30^\circ$，法线角就是 $90^\circ-30^\circ=60^\circ$。

OpenStax 的折射定律章节同样从法线测角。图还区分留在入射侧的反射光与进入第二种材料的折射光。

折射率表示什么

折射率 $n$比较光在真空中的速度 $c$与它在材料中的速度 $v$：

$$n=\frac{c}{v}.$$

在此模型中，折射率越大，光速越低。本文采用从 OpenStax 的折射章节取的近似值 $n_{\mathrm{air}}=1.00$与 $n_{\mathrm{water}}=1.33$。材料的折射率可能随波长变化。下面只跟踪固定频率的一束光，并把这两个折射率视为常数。根据 OpenStax Physics 对折射的解释，跨越边界时频率不变，速度和波长会改变。

两边方向满足斯涅尔定律：

$$n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2.$$

角度从法线量。折射率没有单位，正弦值也无量纲。本文的角度都用度数，计算器应放在角度模式；误用弧度会得到错误的数值答案。

算之前先预测方向。第二种材料折射率较大时，$\sin\theta_2$必须较小，透射角也更小，光线向法线靠近。第二个折射率较小，若透射光存在，它会远离法线。正入射时 $\theta_1=0^\circ$，虽然速度改变，透射光仍沿法线走，方向不弯。

例题：从空气进入水

设空气中的光线以相对法线 $40^\circ$的角度到达平静水面，要求水中的角度。先标两侧：$n_1=1.00$、$n_2=1.33$、$\theta_1=40^\circ$。折射率增加，所以预测 $\theta_2<40^\circ$。

代入数字前先把斯涅尔定律整理成未知正弦：

$$\sin\theta_2=\frac{n_1}{n_2}\sin\theta_1 =\frac{1.00}{1.33}\sin40^\circ =\frac{0.642788}{1.33} \approx0.483299.$$

计算器仍在角度模式，取反正弦：

$$\theta_2=\sin^{-1}(0.483299)\approx28.9^\circ.$$

结果小于 $40^\circ$，通过方向检查。再代回去排除计算器输错：$1.00\sin40^\circ\approx0.6428$，$1.33\sin28.9^\circ\approx0.643$。微小差异来自四舍五入。若得到 $51^\circ$，就与进入高折射率介质的预测矛盾。

给 $28.9^\circ$加的单位是度，不是长度。这道题求方向。若考试还求速度，应另用 $v=c/n$，不要把角度当成速度。

例题：从水进入空气

现在让水中光线以相对法线 $30^\circ$向上到达水气界面。标号交换：水为 $n_1=1.33$，空气为 $n_2=1.00$。折射率降低，预测空气中的角度大于 $30^\circ$。

$$\sin\theta_2=\frac{1.33}{1.00}\sin30^\circ =1.33(0.5)=0.665.$$

因此：

$$\theta_2=\sin^{-1}(0.665)\approx41.7^\circ.$$

和预测一样，透射光远离法线。回代可得 $1.33\sin30^\circ=0.665$、$1.00\sin41.7^\circ\approx0.665$，在给出的精度下吻合。

对比两题：传播方向、折射率顺序及给定的入射角都变了。不要只交换 $n_1$、$n_2$，却仍保留旧的 $\theta_1$。介质 1 永远是这次计算中光线出发的介质。

检查不可能的答案和临界角

实数角度的正弦不会超过一。若斯涅尔定律算出 $\sin\theta_2>1$，不要强行让计算器给值，也不要把它四舍五入成一。光从高折射率进入低折射率时，它标志着理想光线模型中的全反射区间；该入射角没有透射折射光线。

在临界入射角时，透射光会沿界面走，此时 $\theta_2=90^\circ$。在斯涅尔定律代入 $\sin90^\circ=1$，求得临界角：

$$\sin\theta_c=\frac{n_2}{n_1},\qquad \theta_c=\sin^{-1}\!\left(\frac{n_2}{n_1}\right),\quad n_1>n_2.$$

采用本文的近似水气折射率，$\theta_c=\sin^{-1}(1.00/1.33)\approx48.8^\circ$。这是用所选数值单独舍入的结果；OpenStax 全反射章节给出规则和边界图。前面的 $30^\circ$小于临界角，因此有透射光。若法线角为 $60^\circ$，公式却要求 $\sin\theta_2=1.33\sin60^\circ\approx1.152$，不可能成立；在本模型中光线发生全反射。

等号情况也重要。恰在临界角时，折射方向为沿表面的 $90^\circ$；入射角大于临界角才发生全反射。空气入水时起点折射率较小，因此不可能发生全反射。也要把普通的部分反射与此极限情况分开：有透射光时，界面仍可能反射一部分光。

三道附答案的练习题

1. 角度相对表面给出。 一束光从空气射向平坦水面，与表面夹 $25^\circ$。斯涅尔定律应代入多少入射角？折射角是多少？法线垂直表面，所以 $\theta_1=90^\circ-25^\circ=65^\circ$。继续：

$$\sin\theta_2=\frac{1.00}{1.33}\sin65^\circ \approx\frac{0.906308}{1.33}\approx0.681434, \qquad \theta_2\approx43.0^\circ.$$

答案从法线测量，且入水时小于 $65^\circ$。

2. 光线垂直表面。 光从水到空气，入射角相对法线为 $0^\circ$。斯涅尔定律有 $1.33\sin0^\circ=1.00\sin\theta_2=0$，所以 $\theta_2=0^\circ$。透射方向仍然笔直，这不代表两种材料的折射率相同。

3. 是否有透射光？ 水到空气的光线以法线角 $\theta_1=50^\circ$入射，得到 $\sin\theta_2=1.33\sin50^\circ\approx1.019$。超过一，此模型中不存在实际的透射角。等价地，$50^\circ$高于约 $48.8^\circ$的临界角。不要把 $\sin^{-1}(1.019)$当成实数角度回答。

会标法线并能在计算前预测偏折方向后，到 Physics Zen 的光学主题练习反射、折射和临界角。画图较多的考试题也需要这套习惯：A-Level 物理备考、Abitur 物理备考和Bac 物理备考给出更完整的复习计划。每次遇到新折射题，先说出入射介质，从法线测两角，按反正弦键前检查正弦值。

常见问题

斯涅尔定律为什么用正弦？

正弦表示光线方向沿界面的分量有多大。平面边界处的波动几何把两侧的这部分联系起来，得到 $n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2$。实际求光线方向时，关键是角度从法线量，各折射率必须配对应介质中的角。

光折射时频率会改变吗？

不会。在这里的边界模型中频率不变，速度与波长随介质改变。材料折射率也可能随波长变化，多色光因此会分开；数值例题只跟踪一个选定折射率组合下的单束光。

折射率越大，折射角就一定越大吗？

不是。要比较两种折射率与入射角。介质 1 中入射角固定时，$n_2$越大，介质 2 中相对法线的角度越小。$0^\circ$正入射时方向根本不弯。比较数值前先说清所指哪个角。