直观理解力矩：杠杆、夹角与平衡

先在铰链旁推门，再用同样大的力推门把手。力相同，转动效果却大不相同。力描述推或拉，力矩则描述这股推拉如何让物体绕指定支点转动。

答案由三个问题决定：支点在哪里？力作用在哪里？指向哪里？先回答它们，力矩公式就成了图像的简明表达。

力需要力臂才能转动物体

想象从上方看一把水平的扳手。左端卡住螺栓，你在右端沿垂直手柄的方向向上拉。螺栓是支点，手柄使你的力更容易产生转动。

力不变，把手移到离螺栓一半距离的位置，转动效果也减半。如果沿手柄直线朝向或背离螺栓拉，转动效果消失，因为力的直线经过支点。

最后这句话很有用。把力箭头向两端延长成一条想象的直线，这就是作用线。支点到这条线的垂直距离就是力臂，也叫力矩臂。

在力相同的情况下，垂直距离越大，力矩越大。工具长不一定有用，还得沿能有效利用长度的方向施力。

两个等价的力矩公式

对于在固定旋转轴的垂直平面内作用的力，力矩大小为：

$$\tau = rF\sin\theta$$

$r$是支点到施力点的距离，$F$是力的大小，$\theta$是从支点向外的位置矢量与力矢量之间的夹角。

也可直接用垂直力臂 $d_\perp$：

$$d_\perp = r\sin\theta$$ $$\tau = Fd_\perp$$

两者算的是同一件事。一个用完整位置矢量长度与角度，另一个直接用垂直距离。已经得到垂直力臂后，不要再乘一次正弦。

OpenStax 的力矩章节给出矢量形式 $\boldsymbol{\tau} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}$。在平面图中，通常用大小及顺时针、逆时针符号即可，不必逐分量计算叉积。

单位是牛顿米，写作 $\mathrm{N\,m}$。它的量纲与焦耳相同，但力矩不是能量。特意把力矩单位称为牛顿米，有助于区分两者。

例题：垂直拉动

螺栓中心到手的扳手长度为 $0.25\ \mathrm{m}$。你以与手柄成直角的方向施加 $40\ \mathrm{N}$的力。

因为 $\theta = 90^\circ$，正弦等于 1：

$$\tau = (0.25)(40)\sin 90^\circ = 10\ \mathrm{N\,m}$$

同样的力若施加在 $0.10\ \mathrm{m}$处，得到：

$$\tau = (0.10)(40) = 4\ \mathrm{N\,m}$$

计算前也能解释：第一处离支点是第二处的 2.5 倍，力矩也为 2.5 倍。

这就是门把手远离铰链的原因，日常设计让公式变得可见。但这不证明更大的力一定让物体转得更多：距离和方向也重要。

例题：斜向拉动

仍用 $0.25\ \mathrm{m}$的扳手和 $40\ \mathrm{N}$的拉力，但让力与手柄向外的方向成 $30^\circ$。

$$\tau = (0.25)(40)\sin 30^\circ = 5\ \mathrm{N\,m}$$

只有垂直于手柄的力分量贡献转动：

$$F_\perp = 40\sin 30^\circ = 20\ \mathrm{N}$$

该分量乘手柄长度，仍得 $0.25(20) = 5\ \mathrm{N\,m}$。

沿手柄方向的分量仍可能给物体或支撑处施加力，只是不对螺栓产生力矩。力矩为零，不等于力为零。

每次都检查角度画在哪里。若图给的是力与手柄垂线的夹角，它不能直接当作 $\theta$。可能要取余角，或等价地改用余弦。不先辨认两个矢量就死记“永远用正弦”，会让正确公式算出错误答案。

顺时针和逆时针力矩互相对抗

平面题中选一个转动方向为正。常见做法是逆时针为正，顺时针为负。只要始终一致，反过来也可以。

假设两股力作用于中央有支点的水平横梁：

• 向下的 $30\ \mathrm{N}$施加在支点左侧 $0.40\ \mathrm{m}$处。
• 向下的 $20\ \mathrm{N}$施加在支点右侧 $0.30\ \mathrm{m}$处。

左边的力想让横梁逆时针转，右边的力想让它顺时针转。带符号的力矩为：

$$\tau_\mathrm{left} = +(30)(0.40) = +12\ \mathrm{N\,m}$$ $$\tau_\mathrm{right} = -(20)(0.30) = -6\ \mathrm{N\,m}$$

因此：

$$\tau_\mathrm{net} = 12 - 6 = +6\ \mathrm{N\,m}$$

合转动效果为逆时针。不要只看力向上还是向下来定符号。这两股力都向下，却因作用在支点两侧而让横梁朝相反方向转。

平衡同时要求力和力矩满足条件

静止横梁必须同时满足平动平衡与转动平衡：

$$\sum \mathbf{F} = 0 \qquad \sum \tau = 0$$

设一根轻质水平横梁由中央支点支撑。把 $3.0\ \mathrm{kg}$重物挂在支点左侧 $0.40\ \mathrm{m}$处。右侧的 $2.0\ \mathrm{kg}$重物应挂在哪里，才能保持平衡？

以支点求力矩：

$$(3.0g)(0.40) - (2.0g)d = 0$$

两边重力使用同一个加速度，因此 $g$约去：

$$d = \frac{3.0(0.40)}{2.0} = 0.60\ \mathrm{m}$$

较轻重物需要更长的力臂。支撑处还必须提供等于两边总重的向上力，约为 $49.1\ \mathrm{N}$，这里取 $g = 9.81\ \mathrm{m/s^2}$。

支撑力穿过支点，因此对该点的力矩为零。选这个点让力矩计算变简单，但不等于假装支撑力不存在。

若横梁本身重力不可忽略，要把它加在横梁质心。均匀横梁在中心受支撑，其重力对该支点的力矩为零；支撑点偏离中心则不然。先画受力分析图，免得把某个力悄悄漏掉。

力矩改变转动，不直接决定角速度

对于绕固定轴转动、转动惯量 $I$恒定的刚体，牛顿第二定律的转动形式是：

$$\sum \tau = I\alpha$$

角加速度 $\alpha$表示角速度变化有多快。同样的合力矩，在转动惯量更大时产生的角加速度更小。

例如，物体受到 $6\ \mathrm{N\,m}$合力矩，而转动惯量为 $I = 2\ \mathrm{kg\,m^2}$，则：

$$\alpha = \frac{6}{2} = 3\ \mathrm{rad/s^2}$$

在这些前提下，合力矩为零表示角加速度为零。已经旋转的物体仍可以保持恒定角速度。牛顿定律中，合力为零也不要求速度为零。

力矩也不同于圆周运动讨论的向内力。指向中心的力对该中心的力矩为零，却仍可改变速度方向，让物体沿圆轨道运动。

可靠的力矩检查表

选支点，画所有外力。确认每股力的作用线，再量垂直力臂或使用 $r\sin\theta$。相乘前把厘米换成米。根据每股力让物体转动的方向定正负，再将力矩相加。

平衡题要同时检查力和力矩。求角加速度时，先检查固定轴的前提，再用 $\sum\tau = I\alpha$。最后测试极限：作用线穿过支点的力，其力矩必须为零。

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