Kirchhoffsche Regeln erklärt: Knotenregel und Maschenregel mit Beispielen

Zwei Batterien, drei Widerstände und eine Frage: In welche Richtung fließt der Strom durch die kleinere Batterie? Die meisten zeichnen einen Pfeil aus ihrem Pluspol heraus, weil Batterien das eben tun. In der Schaltung unten ist diese Vermutung falsch, und die Rechnung sagt es dir, indem sie eine negative Zahl liefert. Dieses Minuszeichen richtig zu lesen, ist der größte Teil dessen, was die Kirchhoffschen Regeln von dir verlangen.

Dieser Leitfaden nennt die beiden Regeln, gibt eine Tabelle für die Vorzeichen beim Durchlaufen und rechnet dann eine Schaltung mit zwei Maschen, bei der ein Strom absichtlich in die falsche Richtung angesetzt wird. Zum Schluss folgt eine Brückenschaltung, der klassische Fall, in dem das Zusammenfassen von Reihen- und Parallelschaltungen gar nicht erst anfangen kann. Überall gelten ideale Leitungen, ideale Batterien ohne Innenwiderstand und stationärer Gleichstrom.

Die Knotenregel ist Buchhaltung für Ladung

Ein Knoten ist ein Punkt, an dem drei oder mehr Leitungen zusammentreffen. Die erste Kirchhoffsche Regel, die Knotenregel, besagt, dass die Summe der Ströme, die in einen Knoten hineinfließen, gleich der Summe der Ströme ist, die hinausfließen:

$$\sum I_{\text{ein}}=\sum I_{\text{aus}}$$

Das Kapitel von OpenStax zu den Kirchhoffschen Regeln führt das auf die Ladungserhaltung zurück: Strom ist ein Fluss von Ladung, Ladung staut sich nicht in einer Leitung, also muss alles, was an einem Knoten ankommt, ihn auch wieder verlassen. Kommen auf einer Leitung 3 A an und gehen auf einer anderen 2 A weg, trägt die dritte Leitung 1 A hinaus.

Du kannst die Regel an jedem Knoten anwenden, aber bei einer Schaltung mit $n$ Knoten sind nur $n-1$ der Gleichungen unabhängig. Die letzte wiederholt nur, was du schon weißt.

Die Maschenregel ist Buchhaltung für Potenzial

Die zweite Kirchhoffsche Regel, die Maschenregel, besagt: Wenn du eine beliebige geschlossene Masche einmal umläufst und alle Änderungen des elektrischen Potenzials addierst, ist die Summe null:

$$\sum \Delta V=0$$

Du endest dort, wo du angefangen hast, und ein Punkt hat nur ein Potenzial. OpenStax verknüpft die Regel mit der Energie: Was eine Quelle der Ladung auf dem Umlauf an Energie zuführt, geben die Bauteile in dieser Masche weiter.

Die Regel ist einfach. An den Vorzeichen gehen Punkte verloren, also lege sie ein für alle Mal fest:

Du durchläufst	Richtung des Umlaufs	Potenzialänderung
Widerstand $R$	in Richtung des angenommenen Stroms $I$	$-IR$
Widerstand $R$	gegen den angenommenen Strom $I$	$+IR$
Batterie $\varepsilon$	vom − Pol zum + Pol	$+\varepsilon$
Batterie $\varepsilon$	vom + Pol zum − Pol	$-\varepsilon$

Das sind dieselben vier Regeln wie bei OpenStax. Zwei Dinge fallen auf. Das Vorzeichen am Widerstand hängt von dem Strompfeil ab, den du gezeichnet hast, nicht vom wahren Strom, den du noch nicht kennst. Das Vorzeichen an der Batterie hängt nur davon ab, welchen Pol du zuerst erreichst, nie vom Strom durch sie.

Eine Schaltung mit zwei Maschen und einer falschen Vermutung

Stell dir zwei waagerechte Leitungen vor, die obere an Knoten A verbunden, die untere an Knoten B. Drei senkrechte Zweige verbinden sie:

Zweig	Enthält (von unten nach oben)	Angenommener Strom
Links	12-V-Batterie, + oben, dann ein 2-Ω-Widerstand	$I_1$, aufwärts in A hinein
Mitte	3-Ω-Widerstand	$I_2$, abwärts aus A heraus
Rechts	3-V-Batterie, + oben, dann ein 3-Ω-Widerstand	$I_3$, aufwärts in A hinein

Die Pfeile für $I_1$ und $I_3$ zeigen beide aus den Pluspolen heraus. Das ist die natürliche Vermutung und für die 3-V-Batterie die falsche. Versuche nicht, das zu vermeiden. Das Verfahren kommt damit zurecht.

Knoten A. Zwei Ströme hinein, einer heraus:

$$I_1+I_3=I_2$$

Linke Masche. Beginne bei B und gehe den linken Zweig hinauf, oben nach A und dann den mittleren Zweig hinunter nach B. Beim Durchlaufen der 12-V-Batterie von − nach + erhältst du $+12$. Der 2-Ω-Widerstand in Richtung von $I_1$ ergibt $-2I_1$. Abwärts durch die Mitte in Richtung von $I_2$ ergibt $-3I_2$:

$$12-2I_1-3I_2=0$$

Rechte Masche. Beginne bei B, gehe den rechten Zweig hinauf nach A und dann die Mitte hinunter:

$$3-3I_3-3I_2=0$$

Drei Unbekannte, drei unabhängige Gleichungen. Jetzt wird gelöst.

Lösen, dann das Vorzeichen lesen

Die rechte Masche vereinfacht sich zu $I_2+I_3=1$, also $I_3=1-I_2$. Setze die Knotengleichung in die linke Masche ein und ersetze $I_1$ durch $I_2-I_3$:

$$12-2(I_2-I_3)-3I_2=0\quad\Rightarrow\quad 12-5I_2+2I_3=0$$

Setze $I_3=1-I_2$ ein:

$$12-5I_2+2-2I_2=0\quad\Rightarrow\quad I_2=2\ \mathrm{A}$$

Dann ist $I_3=1-2=-1\ \mathrm{A}$ und $I_1=I_2-I_3=2-(-1)=3\ \mathrm{A}$.

Das Minuszeichen bei $I_3$ ist die ganze Lehre. Der Betrag, 1 A, stimmt. Die Richtung ist dem Pfeil entgegengesetzt: Der Strom fließt im rechten Zweig abwärts und tritt am Pluspol in die 3-V-Batterie ein. OpenStax sagt genau das: Ein in die falsche Richtung angenommener Strom kommt negativ heraus, und das Ergebnis ist trotzdem richtig.

Zwei Gewohnheiten verhindern, dass dich das Vorzeichen erwischt:

• Drehe den Pfeil nicht um, um von vorn anzufangen. Die Gleichungen wurden mit deinen Pfeilen aufgestellt und passen zu ihnen.
• Nimm den negativen Wert in jeden weiteren Schritt mit. $I_1=I_2-I_3$ ergibt nur dann 3 A, wenn $I_3$ als $-1$ eingeht. Lässt du das Vorzeichen weg, kommt 1 A heraus, und der Fehler pflanzt sich fort.

Physikalisch treibt die 12-V-Batterie den Strom rückwärts durch die 3-V-Batterie. Ein wiederaufladbarer Akku an dieser Stelle würde geladen. Wenn dir der Rechenschritt selbst Schwierigkeiten macht, hat unser Leitfaden zu Physikfehlern, die eigentlich Mathefehler sind einen Abschnitt zu zwei Unbekannten und Gleichungssystemen.

Doppelt kontrollieren: Spannung zwischen den Knoten und Leistungsbilanz

Spannung zwischen A und B. Jeder Zweig verbindet A mit B, also muss jeder dieselbe Potenzialdifferenz $V_A-V_B$ liefern. Mitte: $3\times2=6\ \mathrm{V}$. Links: Die Batterie hebt das Potenzial um 12 V an, der Widerstand lässt es um $2\times3=6\ \mathrm{V}$ abfallen, übrig bleiben 6 V. Rechts: $3-3\times(-1)=6\ \mathrm{V}$. Drei Zweige, ein Ergebnis.

Leistungsbilanz. OpenStax empfiehlt, eine Kirchhoff-Lösung zu prüfen, indem man die von den Quellen gelieferte Leistung mit der Leistung vergleicht, die die übrigen Bauteile aufnehmen. Hier:

Bauteil	Leistung
12-V-Batterie, 3 A aus dem Pluspol	liefert $12\times3=36\ \mathrm{W}$
2-Ω-Widerstand, 3 A	$3^2\times2=18\ \mathrm{W}$
3-Ω-Widerstand in der Mitte, 2 A	$2^2\times3=12\ \mathrm{W}$
3-Ω-Widerstand rechts, 1 A	$1^2\times3=3\ \mathrm{W}$
3-V-Batterie, 1 A in den Pluspol	nimmt $3\times1=3\ \mathrm{W}$ auf

Geliefert: 36 W. Aufgenommen: 18 + 12 + 3 + 3 = 36 W. Die Bilanz geht nur auf, wenn die 3-V-Batterie als Leistung aufnehmend gezählt wird, also wieder der negative Strom, diesmal in Energie ausgedrückt. Hättest du $I_3$ als +1 A gelesen, wäre die Rechnung um 6 W daneben.

Wann Reihen- und Parallelschaltung genügt

Unser Leitfaden zu Reihen- und Parallelschaltungen vereinfacht ein Netzwerk Schritt für Schritt: Suche zwei Widerstände auf einem unverzweigten Pfad oder an denselben zwei Knoten, fasse sie zusammen, wiederhole das. Wenn das funktioniert, nutze es. Es sind die Kirchhoffschen Regeln, die schon für dich angewendet wurden.

In zwei Situationen funktioniert es nicht mehr. Die erste ist die Schaltung oben: Mit einer Batterie in zwei verschiedenen Zweigen lässt sich kein Zweigpaar zu einem einzigen Widerstand zusammenfassen. Die zweite ist eine Brücke. Schließe eine 12-V-Quelle zwischen den Knoten A und B an. Ein linker Arm führt von A über 1 Ω zum Knoten C und dann über 4 Ω nach B. Ein rechter Arm führt von A über 4 Ω zum Knoten D und dann über 1 Ω nach B. Ein 2-Ω-Brückenwiderstand verbindet C und D.

Keine zwei Widerstände haben hier beide Anschlusspunkte gemeinsam, und keiner liegt allein auf einem unverzweigten Pfad, das Zusammenfassen hat also keinen Anfang. OpenStax weist darauf hin, dass viele Schaltungen so sind. Schreibe stattdessen die Knotenregel an C und an D auf, mit B bei 0 V:

$$\frac{12-V_C}{1}=\frac{V_C}{4}+\frac{V_C-V_D}{2},\qquad \frac{12-V_D}{4}=\frac{V_D}{1}+\frac{V_D-V_C}{2}$$

Die Lösung ist $V_C=8\ \mathrm{V}$ und $V_D=4\ \mathrm{V}$. Also fließen 2 A über die Brücke von C nach D, die Quelle liefert 6 A, und das Netzwerk wirkt wie 2 Ω. Kontrolle bei C: 4 A kommen durch den 1-Ω-Widerstand an, 2 A gehen durch den 4-Ω-Widerstand weg und 2 A über die Brücke.

Die verführerische Abkürzung besteht darin, die Brücke zu ignorieren und die Arme als zwei parallele 5-Ω-Pfade zu behandeln. Das ergibt 2,5 Ω und 4,8 A, also 20 Prozent zu wenig gegenüber den tatsächlichen 6 A. Die Abkürzung gilt nur bei einer abgeglichenen Brücke, das heißt, wenn die Arme die Spannung im selben Verhältnis teilen, sodass C und D auf demselben Potenzial liegen und kein Strom über die Brücke fließt. Hier setzt der linke Arm seine 1 Ω nach oben und der rechte Arm seine 4 Ω, die Verhältnisse sind also vertauscht, und die Brücke führt Strom.

Zwei Übungsschaltungen mit Lösungen

1. Beide Batterien entladen sich. Nutze die Anordnung mit zwei Maschen von oben mit einer 12-V-Batterie und einem 3-Ω-Widerstand im linken Zweig, 2 Ω in der Mitte und einer 9-V-Batterie mit einem 3-Ω-Widerstand im rechten Zweig, beide mit + oben. Bestimme alle drei Ströme und prüfe die Leistung. Lösungen: $I_1=2\ \mathrm{A}$, $I_2=3\ \mathrm{A}$, $I_3=1\ \mathrm{A}$, alle in Richtung der ursprünglichen Pfeile, und $V_A-V_B=6\ \mathrm{V}$. Leistung: $24+9=33\ \mathrm{W}$ geliefert, $12+18+3=33\ \mathrm{W}$ in den Widerständen.

2. Eine abgeglichene Brücke. Dieselbe Brückenform bei 12 V, linker Arm 1 Ω dann 2 Ω, rechter Arm 2 Ω dann 4 Ω, beliebiger Brückenwiderstand. Bestimme den Brückenstrom und den Quellenstrom. Lösungen: $V_C=V_D=8\ \mathrm{V}$, die Brücke führt also 0 A; die Arme sind 3 Ω und 6 Ω parallel, zusammen 2 Ω, und die Quelle liefert 6 A. Hier, und nur hier, darf man die Brücke weglassen.

Übe, bis die Vorzeichen automatisch sitzen

Das Verfahren ändert sich von Schaltung zu Schaltung nicht: erst die Pfeile, dann die Knoten, dann die Maschen mit der Vorzeichentabelle, lösen, die Vorzeichen lesen, mit der Leistung prüfen. Was sich ändert, ist, wie schnell du das ohne Zögern vor einem Minus schaffst. Kirchhoff kommt im Elektrizitätsteil unseres A-Level-Lernplans für Physik vor, und dieselben Gewohnheiten gelten bei Kondensatornetzwerken, wo unser Leitfaden zu Kondensatoren in Reihen- und Parallelschaltung die Ladungserhaltung an einem Knoten auf dieselbe Weise nutzt.

In Physics Zen führt das Thema Schaltungen über das Ohmsche Gesetz, Reihen- und Parallelschaltungen und elektrische Leistung zu einer Fertigkeit „Kirchhoffsche Regeln“ mit Schaltungen mit zwei Quellen. Diese Fertigkeit gehört auf iPhone und Android zu Premium. Jede Aufgabe kommt mit neuen Werten, sofortiger Kontrolle und einer Musterlösung, damit du das Lesen eines negativen Stroms übst, bis es sich nicht mehr wie ein Fehler anfühlt.