Kondensatoren in Reihe und parallel: Ladung, Spannung und Kapazität

Zwei Kondensatoren mit je 6 Mikrofarad können an derselben 12-Volt-Quelle unterschiedliche Ersatzkapazitäten ergeben. Liegen beide an denselben zwei Knoten, beträgt die Ersatzkapazität 12 Mikrofarad. Schaltet man sie hintereinander, beträgt sie 3 Mikrofarad. Die Bauteile haben sich nicht verändert. Ihre Verbindung bestimmt, welche Größe sie gemeinsam haben.

Bei einem Kondensatornetz ist die nützliche Frage nicht „Welche Formel merke ich mir?“, sondern „Welche Platten liegen an denselben Knoten, und welcher Zwischenknoten ist isoliert?“ Dieser Leitfaden betrachtet ideale Kondensatoren, ideale Leitungen und eine konstante Spannung an einem Netz, dessen Kondensatoren und isolierte innere Knoten anfangs ungeladen sind. Diese Voraussetzungen sind wichtig für die übliche Regel des gleichen Ladungsbetrags in Reihe.

Zuerst: Ladung pro Volt

Ein Kondensator besteht aus zwei getrennten leitenden Platten. Im einfachen Modell trägt eine Platte die Ladung $+Q$, die andere $-Q$. Das Symbol $Q$ bezeichnet den Betrag auf einer Platte, nicht die Summe der Beträge beider Platten. Die Kapazität gibt an, wie viel von diesem Ladungsbetrag pro Volt zwischen den Platten gespeichert wird:

$$C=\frac{Q}{V},\qquad Q=CV$$

Ein Farad ist ein Coulomb pro Volt. In Rechenaufgaben halten Mikrofarad und Mikrocoulomb die Zahlen übersichtlich: $1\ \mu\mathrm{F}\times1\ \mathrm{V}=1\ \mu\mathrm{C}$. Ein Kondensator mit 6 Mikrofarad an 12 Volt trägt daher auf jeder Platte einen Ladungsbetrag von $Q=72\ \mu\mathrm{C}$. Der OpenStax-Abschnitt zur Kapazität definiert diesen Zusammenhang.

Verwechseln Sie Kapazität nicht mit Ladung. Die Kapazität ist eine Eigenschaft des idealen Bauteils; die Ladung ändert sich, wenn sich die Spannung daran ändert. Addieren Sie auch nicht die Ladungsbeträge der positiven und negativen Platte und behaupten Sie dann, der Kondensator speichere das Doppelte von $Q$. Seine Nettoladung ist null, während die Platten gleich große, entgegengesetzte Ladungen tragen.

Parallel: eine Spannung, Ladungen addieren sich

Zwei Kondensatoren sind parallel geschaltet, wenn jeder an demselben Knotenpaar liegt. Beide sehen dieselbe Spannungsdifferenz $V$. Jeder hat einen eigenen Plattenladungsbetrag, $Q_1=C_1V$ beziehungsweise $Q_2=C_2V$. Die Quelle liefert die Summe an die Platten auf der positiven Seite:

$$Q_{\mathrm{total}}=Q_1+Q_2=(C_1+C_2)V$$

Für den Ersatzkondensator gilt $Q_{\mathrm{total}}=C_{\mathrm{p}}V$; daraus folgt

$$C_{\mathrm{p}}=C_1+C_2$$

Bei mehr als zwei parallelen Kondensatoren addieren Sie ebenfalls die Kapazitäten. Diese Regel bedeutet nicht, dass die Ladungen gleich sind. Die größere Kapazität trägt bei gleicher Spannung mehr Ladung.

Nehmen Sie $C_1=2\ \mu\mathrm{F}$ und $C_2=4\ \mu\mathrm{F}$ an einer 12-Volt-Quelle. Für beide gilt $V_1=V_2=12\ \mathrm{V}$. Ihre Ladungsbeträge sind

$$Q_1=(2\ \mu\mathrm{F})(12\ \mathrm{V})=24\ \mu\mathrm{C},\qquad Q_2=(4\ \mu\mathrm{F})(12\ \mathrm{V})=48\ \mu\mathrm{C}$$

Zusammen entnehmen sie der Quelle $72\ \mu\mathrm{C}$, entsprechend $(6\ \mu\mathrm{F})(12\ \mathrm{V})$. Gleiche Spannung und unterschiedliche Ladung folgen genau aus $Q=CV$.

In Reihe: ein Ladungsbetrag, Spannungen addieren sich

Schalten Sie dieselben Kondensatoren hintereinander zwischen die Quellanschlüsse. Zwischen ihnen liegt ein einziger innerer Knoten ohne dritten angeschlossenen Draht. Im angenommenen Modell hat er anfangs keine Nettoladung und bleibt isoliert. Die auf einer Seite induzierte Ladung muss durch eine gleich große Ladung mit entgegengesetztem Vorzeichen auf der anderen Seite ausgeglichen werden. Beide Kondensatoren erhalten deshalb denselben Ladungsbetrag $Q$, obwohl die Vorzeichen ihrer Platten verschieden sind.

Die Quellspannung ist die Summe der Spannungsbeträge an den Kondensatoren. Da $V_i=Q/C_i$ gilt,

$$V=V_1+V_2=\frac{Q}{C_1}+\frac{Q}{C_2}=Q\left(\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}\right)$$

Für den Ersatzkondensator gilt außerdem $V=Q/C_{\mathrm{s}}$; daraus folgt

$$\frac{1}{C_{\mathrm{s}}}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2},\qquad C_{\mathrm{s}}=\frac{C_1C_2}{C_1+C_2}\quad\text{für zwei Kondensatoren}$$

Für 2 und 4 Mikrofarad in Reihe ist $C_{\mathrm{s}}=8/6=4/3\ \mu\mathrm{F}$. Bei 12 Volt beträgt der gemeinsame Ladungsbetrag

$$Q=C_{\mathrm{s}}V=\frac{4}{3}\ \mu\mathrm{F}\times12\ \mathrm{V}=16\ \mu\mathrm{C}$$

Am 2-Mikrofarad-Kondensator liegt $V_1=Q/C_1=8\ \mathrm{V}$, am 4-Mikrofarad-Kondensator $V_2=4\ \mathrm{V}$. Die beiden Spannungen ergeben zusammen 12 Volt. Bei gleicher Ladung erhält die kleinere Kapazität die größere Spannung. Gleiche Ladung bedeutet also nicht gleiche Spannung.

Die Ersatzkapazität der Reihenschaltung ist kleiner als die kleinere Einzelkapazität. Halten Sie zur Begründung $Q$ fest. Die beiden Spannungsabfälle addieren sich, daher benötigt das gesamte Paar pro Ladungseinheit mehr Volt als jedes Bauteil allein. Der Gesamtwert $Q/V$ muss somit kleiner sein. Die OpenStax-Herleitung für Reihe und Parallel verwendet dieselbe Logik der gemeinsamen Ladung beziehungsweise Spannung.

Die Abkürzung „gleicher Ladungsbetrag“ setzt das beschriebene Anfangsmodell voraus. Ein anfangs geladener Kondensator oder ein Zwischenknoten mit nicht verschwindender Nettoladung kann stattdessen eine Ladungsbilanz an jedem Knoten erfordern. Ein Brückennetz lässt sich möglicherweise nicht allein durch einfache Reihen- und Parallelgruppen zusammenfassen. Klären Sie die Schaltung, bevor Sie die Abkürzung verwenden.

Lesen Sie das Wort Ladung in einer Reihenlösung genau. Die zwei einander zugewandten Platten am isolierten Zwischenknoten tragen entgegengesetzte Vorzeichen. „Beide Kondensatoren haben die Ladung $Q$“ meint gleiche Beträge auf ihren Platten. Das bedeutet nicht, dass positive Ladung durch den isolierenden Spalt zwischen den Platten wandert. Ebenso liegt die Quellspannung von 12 Volt an der gesamten Reihe, während jeder Kondensator nur seinen Anteil erhält. Beachten Sie Plattenvorzeichen und Spannungspunkte, auch wenn die Aufgabe nur nach Beträgen fragt. So vermeiden Sie, eine richtige Ersatzkapazität mit einer falschen Spannungs- oder Ladungszuordnung zu kombinieren.

Ein gemischtes Netz verkleinern und wieder auflösen

Ein Kondensator mit 12 Mikrofarad liegt in Reihe mit einer Parallelschaltung aus 2 und 4 Mikrofarad. Das ganze Netz liegt an einer 12-Volt-Quelle. Fassen Sie zuerst die Parallelgruppe zusammen:

$$C_{23}=2+4=6\ \mu\mathrm{F}$$

Jetzt liegen 12 Mikrofarad in Reihe mit 6 Mikrofarad:

$$C_{\mathrm{eq}}=\frac{12\times6}{12+6}=4\ \mu\mathrm{F}$$

Die Quelle liefert den Ladungsbetrag $Q_{\mathrm{eq}}=C_{\mathrm{eq}}V=48\ \mu\mathrm{C}$. Dies ist zugleich der Ladungsbetrag am 12-Mikrofarad-Kondensator und an der ersatzweise zusammengefassten 6-Mikrofarad-Gruppe, denn diese beiden Gruppen liegen in Reihe. Am 12-Mikrofarad-Kondensator liegt $V_1=48/12=4\ \mathrm{V}$. Für die Parallelgruppe bleiben $8\ \mathrm{V}$.

Beide Kondensatoren innerhalb dieser Parallelgruppe sehen 8 Volt. Ihre Ladungsbeträge sind

$$Q_2=(2\ \mu\mathrm{F})(8\ \mathrm{V})=16\ \mu\mathrm{C},\qquad Q_3=(4\ \mu\mathrm{F})(8\ \mathrm{V})=32\ \mu\mathrm{C}$$

Die Zweigladungen summieren sich zu $48\ \mu\mathrm{C}$, also zur Ladung der ersatzweise zusammengefassten Reihengruppe. Die Spannungsprüfung lautet $4+8=12\ \mathrm{V}$. Ein häufiger Fehler ist, jedem Zweig 48 Mikrocoulomb zuzuschreiben, weil die Ersatzgruppe diese Ladung hat. Die gesamte Gruppe hat denselben Ladungsbetrag wie der Kondensator in Reihe; ihre Zweige teilen ihn entsprechend ihren Kapazitäten auf.

Das Beispiel hat dieselbe Struktur wie das gemischte Netz bei OpenStax. Die Schritte gelten aber für jedes reduzierbare Netz: nach gemeinsamen Knoten gruppieren, von innen zusammenfassen, die Quellladung bestimmen und dann wieder nach außen arbeiten. Fassen Sie Kondensatoren nicht bloß deshalb zusammen, weil sie in einer Zeichnung nebeneinander stehen. Unser Leitfaden zu Reihen- und Parallelschaltungen erklärt, wie man Knoten erkennt. Seine Zahlenbeispiele behandeln allerdings Widerstände, deren Reihen- und Parallelformeln umgekehrt verlaufen.

Vier Prüfungen für das Ergebnis

1. Topologie: Parallele Bauteile teilen beide Endknoten. Bauteile in Reihe teilen einen isolierten Zwischenknoten ohne weiteren Zweig.
2. Betrag: Bei positiven idealen Kapazitäten ist die parallele Ersatzkapazität größer als jedes Mitglied; die Ersatzkapazität in Reihe ist kleiner als jedes Mitglied.
3. Einheiten: Mikrofarad mal Volt ergibt Mikrocoulomb. Geben Sie Ladung nicht in Farad und Kapazität nicht in Coulomb an.
4. Rückrechnung: Die Spannungen der parallelen Zweige stimmen überein, die Spannungsabfälle in Reihe ergeben die Quellspannung, und die Zweigladungen summieren sich zur Ladung ihrer Parallelgruppe.

Machen Sie eine kurze Rückwärtsprüfung. Zwei Kondensatoren in Reihe haben $C_1=3\ \mu\mathrm{F}$ und $C_2=6\ \mu\mathrm{F}$ an 18 Volt. Ihre Ersatzkapazität beträgt 2 Mikrofarad, daher hat jeder einen Ladungsbetrag von $36\ \mu\mathrm{C}$. Ihre Spannungen betragen 12 und 6 Volt. Der größere Kondensator erhält die kleinere Spannung; zusammen ergeben die Abfälle 18 Volt. Falls Sie an beiden Kondensatoren 18 Volt erhalten haben, haben Sie versehentlich die Parallelregel angewandt.

Im Kondensatorenthema von Physics Zen können Sie mit Aufgaben zu Ladung, Kapazität und Energie zunächst die Grundbeziehung üben, bevor Sie gemischte Netze angehen. Notieren Sie bei jeder Rechnung die Verbindungsart und die Einheiten. Wenn diese stimmen, ist die Arithmetik meist einfach.