Comprendre la quantité de mouvement intuitivement (le second registre, et pourquoi les chocs lui obéissent)

Poussez un chariot de supermarché et un camion de déménagement chargé à travers un parking, à la même allure de marche, puis essayez d'arrêter chacun d'eux. Même vitesse. Une difficulté loin d'être la même. Les lois de Newton permettent de calculer la force nécessaire à chaque instant, et l'énergie indique combien de travail coûte l'arrêt, mais ni l'une ni l'autre ne capture vraiment ce que vous ressentez : la quantité de mouvement dont il faut se débarrasser.

La quantité de mouvement est le nom que la physique donne à cette grandeur, et elle se révèle être le second grand registre de la mécanique. L'article sur le travail et l'énergie a présenté le premier, un compte scalaire qui s'équilibre entre deux instants quelconques. La quantité de mouvement est un compte vectoriel doté de la même propriété, avec un avantage énorme que le registre de l'énergie n'a pas : il s'équilibre même quand le choc est violent, désordonné et dissipatif. Des voitures qui se déforment, de l'argile qui colle, des balles qui s'enfoncent dans des blocs, tout cela rompt le registre de l'énergie et rien de tout cela ne rompt celui-ci.

Ceci est le quatrième article de la série sur la mécanique, après Cinématique, Lois de Newton, et Travail et énergie. Il explique ce que mesure la quantité de mouvement, pourquoi l'impulsion est la forme honnête de la deuxième loi de Newton, pourquoi le total se conserve dans les chocs, en quoi les trois types de choc diffèrent, et comment décider, quand un exercice se présente à vous, quel registre ouvrir.

La quantité de mouvement, le mouvement qu'un objet transporte

La quantité de mouvement est la masse fois la vitesse :

$$\vec{p} = m\vec{v}$$

mesurée en kilogrammes mètres par seconde. C'est un vecteur, et ce mot a un poids réel. La quantité de mouvement pointe dans la direction du déplacement de l'objet, et des quantités de mouvement en directions opposées s'annulent. Une bille de 2 kg se déplaçant vers la droite à 3 m/s a une quantité de mouvement $+6$ ; la même bille se déplaçant vers la gauche a $-6$ ; deux billes de ce type qui se rapprochent l'une de l'autre ont une quantité de mouvement totale nulle, même si toutes deux sont manifestement en mouvement.

Le chariot et le camion partagent la même vitesse, donc leurs quantités de mouvement ne diffèrent que par la masse, et celle du camion est cent fois plus grande. Ce facteur est exactement la différence que vous ressentez en essayant de les arrêter. La quantité de mouvement est la mesure honnête de « combien il y a de mouvement », et la masse et la vitesse y contribuent à parts égales : doubler l'une ou l'autre double la quantité de mouvement. Comparez cela à l'énergie cinétique, où la vitesse intervient au carré, et la source de la confusion entre quantité de mouvement et énergie devient déjà visible.

L'impulsion, la façon dont Newton a écrit la deuxième loi

Newton n'a pas écrit $F = ma$. Il a écrit que la force est le taux de variation de la quantité de mouvement, ce qui s'écrit en notation moderne

$$\vec{F}_{\text{net}} = \frac{\Delta \vec{p}}{\Delta t}$$

Multipliez par la durée et vous obtenez le théorème de l'impulsion :

$$\vec{F}_{\text{net}}\,\Delta t = \Delta \vec{p}$$

Le membre de gauche, la force multipliée par la durée pendant laquelle elle agit, est l'impulsion, mesurée en newtons secondes. Le membre de droite est la variation de quantité de mouvement qu'elle produit. À masse constante, ce n'est que $F = ma$ réarrangé, car $\Delta p = m\Delta v$ et $\Delta v / \Delta t = a$. Mais la forme en impulsion dit quelque chose que la forme en accélération cache : la même variation de mouvement peut s'obtenir avec une grande force pendant peu de temps ou une petite force pendant longtemps.

Ce compromis est la physique de tous les dispositifs de sécurité. Une voiture à 15 m/s qui s'arrête doit perdre toute sa quantité de mouvement, quoi qu'elle percute. Un mur rigide l'arrête en quelques centièmes de seconde, donc la force est énorme. Une zone de déformation étire l'arrêt sur quelques dixièmes, et la force chute dans la même proportion. Un airbag fait de même pour votre tête. Rattraper une balle de cricket en reculant les mains, atterrir d'un saut avec les genoux fléchis, et un sol matelassé dans une salle de sport fonctionnent tous de la même façon : ils ne peuvent pas changer $\Delta p$, donc ils allongent $\Delta t$ pour réduire $F$.

Sur un graphique force-temps, l'impulsion est l'aire sous la courbe, ce qui permet de traiter les forces variables. Une force de choc qui pique puis retombe délivre une impulsion égale à l'aire du pic, et la force moyenne est cette aire divisée par la durée.

Pourquoi le total se conserve

Prenez maintenant deux objets et laissez-les entrer en collision. Pendant le contact, l'objet A pousse sur B et B repousse A. D'après la troisième loi de Newton, ces forces sont égales en intensité et opposées en direction, et elles agissent exactement pendant la même durée, car le contact commence et se termine au même instant pour les deux. L'impulsion sur A est donc l'opposée de l'impulsion sur B, et la variation de la quantité de mouvement de A est l'opposée de celle de B :

$$\Delta \vec{p}_A = -\Delta \vec{p}_B \quad\Rightarrow\quad \vec{p}_A + \vec{p}_B = \text{constant}$$

Ce que perd l'un en quantité de mouvement, l'autre le gagne, au gramme-mètre-par-seconde près. Le total ne change jamais. C'est la conservation de la quantité de mouvement, et remarquez ce qu'elle n'a pas exigé : elle ne dit rien de la violence du choc, du fait que les objets aient rebondi ou soient restés collés, ni de la quantité d'énergie devenue chaleur et son. Les forces internes s'annulent par paires, toujours, si bien que la quantité de mouvement totale d'un système reste intacte face à tout ce que le système se fait à lui-même.

Seule une force extérieure peut le modifier. Le frottement avec le sol, la pesanteur, un mur. C'est pourquoi les exercices sur la quantité de mouvement contiennent la formule « pendant le choc » : le contact est assez bref pour que les forces extérieures n'aient pas le temps de délivrer une impulsion significative, si bien que la quantité de mouvement totale juste avant égale celle juste après. Un feu d'artifice a une quantité de mouvement nulle sur son pas de tir, et une quantité de mouvement totale nulle à l'instant qui suit son explosion, même si chaque fragment est en mouvement ; les quantités de mouvement des fragments sont disposées de façon à s'annuler.

Les trois types de choc

La quantité de mouvement se conserve dans les trois. La différence porte sur ce qui arrive à l'énergie cinétique, et c'est la seule question qu'un exercice sur les chocs pose vraiment.

Parfaitement inélastique : ils restent collés. Un wagon qui roule vers un wagon immobile et s'y attelle. Une balle qui se loge dans un bloc. Deux voitures qui se retrouvent soudées. Après le choc, il n'y a plus qu'un seul objet, de masse totale, se déplaçant à une seule vitesse, et la conservation de la quantité de mouvement la donne immédiatement :

$$m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2)\,v_f$$

L'énergie cinétique après le choc est toujours inférieure à celle d'avant, et ce cas perd le maximum possible tout en conservant la quantité de mouvement. Où est passée l'énergie ? Dans la déformation, la chaleur et le son, la même colonne $f d$ que le frottement alimentait dans l'article sur l'énergie. Si un exercice vous donne deux objets qui restent collés, la quantité de mouvement est l'outil à utiliser, et vous ne devez pas écrire $K_1 = K_2$, car c'est faux.

Élastique : ils rebondissent sans rien perdre. Les boules de billard, les roulements à billes en acier, et, en très bonne approximation, les molécules de gaz. La quantité de mouvement et l'énergie cinétique se conservent toutes les deux, ce qui donne deux équations et permet de résoudre pour deux vitesses finales inconnues. Le cas particulier le plus net est celui des masses égales en une dimension : la bille en mouvement s'arrête net et la bille immobile repart à la vitesse initiale, le coup que tout joueur de billard connaît. En général, pour un choc élastique frontal, la vitesse relative d'approche égale la vitesse relative de séparation, un raccourci qui remplace l'algèbre du second degré.

Inélastique, mais pas parfaitement : ils rebondissent et en perdent une partie. Presque tous les chocs réels. Une balle qui rebondit sans tout à fait retrouver sa hauteur de départ, un accident de voiture où les véhicules se séparent, un service au tennis. La quantité de mouvement se conserve, l'énergie cinétique chute d'une quantité que l'exercice donne ou demande, et il faut une information de plus que la seule quantité de mouvement ne fournit.

La façon de retenir les trois cas : la conservation de la quantité de mouvement est l'équation que vous écrivez toujours. La conservation de l'énergie est l'équation que vous ajoutez seulement quand l'énoncé dit élastique, et jamais quand il dit que les objets restent collés.

Deux exemples résolus

Un chariot percute un chariot immobile et s'y attelle. Un chariot de 3 kg à 4 m/s percute un chariot de 1 kg au repos et les deux s'attellent. La quantité de mouvement avant vaut $3 \times 4 + 1 \times 0 = 12$. Après, la paire de 4 kg se déplace à $12 / 4 = 3\ \mathrm{m/s}$. L'énergie cinétique avant vaut $\tfrac{1}{2}(3)(16) = 24\ \mathrm{J}$ ; après, $\tfrac{1}{2}(4)(9) = 18\ \mathrm{J}$. Six joules sont devenus de la chaleur et le bruit du loquet. Quantité de mouvement : parfaitement équilibrée. Énergie : en baisse d'un quart. C'est ce que signifie « inélastique », numériquement.

Recul. Un patineur de 60 kg, immobile sur la glace, lance une balle de 2 kg vers l'avant à 15 m/s. La quantité de mouvement totale avant est nulle, donc après, la quantité de mouvement du patineur doit annuler celle de la balle : $60\,v = -2 \times 15$, ce qui donne $v = -0.5\ \mathrm{m/s}$, un demi-mètre par seconde vers l'arrière. Personne n'a poussé le patineur ; le patineur a poussé la balle, et la troisième loi a fait le reste. Les fusées, les armes à feu et le recul d'une lance à incendie relèvent du même calcul, avec d'autres nombres.

Quantité de mouvement ou énergie : quel registre ouvrir

Les deux grandeurs conservées répondent à des questions différentes, et l'erreur que commettent la plupart des élèves est de se tourner vers celle qui leur est familière plutôt que vers la bonne.

Ouvrez le registre de la quantité de mouvement quand :

• Deux objets ou plus interagissent, et vous voulez une vitesse juste après l'interaction.
• L'énoncé dit coller, atteler, s'enfoncer, exploser, reculer ou entrer en collision.
• L'énergie cinétique n'est manifestement pas conservée, parce que quelque chose s'est déformé ou est resté collé.
• Vous avez besoin d'une force à partir d'une durée et d'une variation de vitesse, ou l'inverse.

Ouvrez le registre de l'énergie quand :

• Un seul objet se déplace sur une hauteur ou le long d'une trajectoire, et vous voulez sa vitesse ailleurs.
• L'énoncé dit élastique, et vous avez besoin d'une seconde équation.
• Le frottement sur une distance connue est la seule perte.

Les deux registres coopèrent en permanence. Le pendule balistique est le relais classique : une balle s'enfonce dans un bloc suspendu (quantité de mouvement, car elle s'y colle), puis le bloc s'élève à une certaine hauteur (énergie, car c'est désormais un seul objet qui s'élève contre la pesanteur). Faites-le dans l'autre ordre, ou utilisez l'énergie pour l'étape de l'enfoncement, et la réponse sera fausse d'un facteur important. La compétence n'est pas de connaître l'une ou l'autre loi. C'est de repérer laquelle concerne l'étape en cours de l'exercice.

D'où viennent les erreurs

Traiter la quantité de mouvement comme un scalaire. Oublier le signe d'une vitesse dans un choc frontal change complètement la réponse. Choisissez un sens positif, écrivez chaque vitesse avec son signe, et vérifiez que le signe de la réponse finale a un sens physique.

Conserver l'énergie cinétique dans un choc où les objets restent collés. L'énoncé dit que les objets s'attellent, ce qui signifie que de l'énergie a été perdue, et écrire $K_{\text{before}} = K_{\text{after}}$ produit une contradiction ou une vitesse fausse. Seulement la quantité de mouvement.

Oublier que l'impulsion est une force multipliée par une durée, pas seulement une force. Une petite force maintenue longtemps peut porter plus d'impulsion qu'une grande force qui agit brièvement. C'est l'aire sous le graphique force-temps qui compte.

Appliquer la conservation de la quantité de mouvement sur un long intervalle avec des forces extérieures. La quantité de mouvement d'une voiture ne se conserve pas pendant qu'elle monte une côte, car la pesanteur et le frottement délivrent une impulsion pendant ce temps. La conservation vaut pour les interactions brèves, ou pour les systèmes sans force extérieure résultante.

Confondre quelle masse se déplace ensuite. Dans un choc parfaitement inélastique, c'est la masse combinée qui se déplace ; dans un choc élastique, les deux masses gardent leur identité propre et peuvent se déplacer à des vitesses différentes. Repérez dans l'énoncé le mot coller.

À quoi sert la quantité de mouvement

La cinématique a décrit le mouvement, les lois de Newton l'ont expliqué, et le travail et l'énergie ont permis de sauter la trajectoire. La quantité de mouvement permet de sauter le choc. Vous n'avez pas besoin de connaître la force, la durée, ou la forme du contact ; vous avez besoin des quantités de mouvement à l'entrée, et le total à la sortie est le même nombre. C'est le registre qui survit à la violence.

Elle ouvre aussi des perspectives. Le moment cinétique est la même idée pour les objets en rotation, et c'est lui qui maintient un gyroscope droit et accélère un patineur artistique quand il ramène ses bras. La forme en impulsion de la deuxième loi est celle qui survit dans la relativité, là où $F = ma$ ne survit pas. Et la loi de conservation elle-même, qui semblait découler de la troisième loi de Newton, se révèle venir de quelque chose de plus profond : le fait que les lois de la physique sont les mêmes ici qu'un mètre plus à gauche. Chaque loi de conservation de la physique repose sur une symétrie, et celle de la quantité de mouvement est la plus simple.

Pour que ce thème devienne un réflexe, appliquez la même boucle que toujours, celle décrite dans Comment étudier la physique efficacement : choisir un sens positif, écrire les quantités de mouvement avant et après avec leurs signes, décider d'après l'énoncé si l'énergie se conserve aussi, résoudre, puis vérifier les signes et les cas limites. Le thème Quantité de mouvement & chocs de Physics Zen, qui fait partie de Premium, fait tourner cette boucle sur de nouvelles valeurs pour l'impulsion et la force moyenne, les chocs avec collage et le recul, et les chocs élastiques en partant du cas des masses égales, pour que l'habitude des deux registres devienne la vôtre plutôt qu'un exemple résolu en particulier.