キルヒホッフの法則：節点と閉路を計算例で解く

電池が2つ、抵抗器が3つある回路で、小さいほうの電池を電流がどちらへ流れるか問われたとします。多くの人は、電池なら正極から電流が出るはずだと考えて矢印を描きます。しかし次の回路ではそれが間違いで、計算結果が負の数として教えてくれます。この負号を正しく解釈することが、キルヒホッフの法則を使う重要な部分です。

ここでは2つの法則と、部品を通るときの符号表を紹介し、あえて電流の向きを間違えて仮定した2閉路の回路を解きます。最後に、直列・並列の合成から始められない典型例、ブリッジ回路を扱います。すべて理想的な導線と内部抵抗のない理想電池を使い、定常状態の直流を仮定します。

節点の法則は電荷の収支

節点は、3本以上の導線が合流する場所です。キルヒホッフの第1法則である節点の法則、または電流則は、節点に入る電流の合計が出る電流の合計と等しいと述べます。

$$\sum I_{\text{in}}=\sum I_{\text{out}}$$

OpenStaxのキルヒホッフの法則の章は電荷保存から説明します。電流は電荷の流れで、導線の中に電荷はたまらないため、節点に入った分は必ず出ます。1本から3 Aが入り、別の1本から2 Aが出るなら、3本目からは1 Aが出ます。

すべての節点に法則を使えますが、節点が $n$ 個ある回路では、独立した式は $n-1$ 本だけです。最後の1本は、それまでの情報を繰り返します。

閉路の法則は電位の収支

キルヒホッフの第2法則である閉路の法則、または電圧則は、閉じた経路を1周した電位の変化の和がゼロになると述べます。

$$\sum \Delta V=0$$

出発した地点へ戻り、1つの地点の電位は1つだからです。OpenStaxはこの法則をエネルギーに結び付けています。電源が電荷へ与えた分は、閉路のほかの部品へ移ります。

法則は単純ですが、符号で失点しやすくなります。次のように決めておきましょう。

OpenStaxも同じ4つの規則を示しています。2点に注意してください。抵抗器の符号は、まだわからない実際の電流ではなく、自分で描いた電流の矢印で決まります。電池の符号は先に通る端子だけで決まり、電池を通る電流の向きには依存しません。

向きを誤って仮定した2閉路の回路

上下に水平な2本の導線を考えます。上は節点A、下は節点Bでつながり、その間に3本の鉛直な枝があります。

$I_1$ と $I_3$ の矢印は電池の正極から出ています。自然な仮定ですが、3 V電池については間違いです。避けようとする必要はありません。この方法なら解けます。

節点A。 電流が2つ入り、1つ出るので、

$$I_1+I_3=I_2$$

左の閉路。 Bから左の枝を上がり、上の導線をAまで進み、中央の枝をBまで下がります。12 Vの電池を負極から正極へ通るので $+12$、2 Ωの抵抗器を $I_1$ と同じ向きに通るので $-2I_1$、中央の枝を $I_2$ と同じ向きに下がるので $-3I_2$ です。

$$12-2I_1-3I_2=0$$

右の閉路。 Bから右の枝をAまで上がり、中央の枝を下がります。

$$3-3I_3-3I_2=0$$

未知数3つに対して独立した式が3本です。解いてみましょう。

解いてから負号を解釈する

右の閉路の式は $I_2+I_3=1$ となるので、$I_3=1-I_2$ です。節点の式から $I_1$ を $I_2-I_3$ に置き換え、左の閉路に代入します。

$$12-2(I_2-I_3)-3I_2=0\quad\Rightarrow\quad 12-5I_2+2I_3=0$$

さらに $I_3=1-I_2$ を代入すると、

$$12-5I_2+2-2I_2=0\quad\Rightarrow\quad I_2=2\ \mathrm{A}$$

です。したがって $I_3=1-2=-1\ \mathrm{A}$、$I_1=I_2-I_3=2-(-1)=3\ \mathrm{A}$ となります。

$I_3$ の負号がここでの主な学びです。大きさ1 Aは正しく、向きが矢印と反対です。電流は右の枝を下向きに流れ、3 V電池の正極へ入ります。OpenStaxも、誤った向きに仮定した電流は負の結果になるが、答えとしては正しいと述べています。

符号ミスを防ぐ習慣は2つです。

• 矢印を逆にして最初から解き直さない。 式は最初に描いた矢印に基づいており、互いに整合しています。
• 後の式でも負号を保つ。 $I_1=I_2-I_3$ の $I_3$ に $-1$ を入れて初めて3 Aになります。負号を落とすと1 Aとなり、誤りが広がります。

物理的には、12 V電池が3 V電池を逆向きに電流を流すよう駆動しています。そこに充電できる電池を置けば、充電される状態です。連立方程式が難しければ、実は数学のミスである物理の間違いで2つの未知数と連立方程式の節を確認できます。

2つの方法で検算する：節点電圧と電力収支

節点電圧。 どの枝もAとBをつなぐため、電位差 $V_A-V_B$ は同じはずです。中央は $3\times2=6\ \mathrm{V}$ です。左では電池が電位を12 V上げ、抵抗器で $2\times3=6\ \mathrm{V}$ 下げるので6 Vが残ります。右では $3-3\times(-1)=6\ \mathrm{V}$ です。3本の枝で同じ答えになります。

電力収支。 OpenStaxは、電源が供給する電力と他の部品が受け取る電力を比べて、キルヒホッフの解を確かめることを勧めています。ここでは次のとおりです。

供給電力は36 W、吸収電力は18 + 12 + 3 + 3 = 36 Wです。3 V電池を電力の受け取り側に数えて初めて収支が合います。先ほどの負の電流を、エネルギーで表したものです。$I_3$ を+1 Aと誤解すれば、6 Wの差が出ます。

直列・並列にまとめるだけで済む場合

直列回路と並列回路のガイドでは、分岐のない1本の経路または同じ2つの節点を共有する抵抗器の組を見つけ、まとめて繰り返します。この方法が使えるなら使いましょう。キルヒホッフの法則をあらかじめ適用した形だからです。

使えない状況は2つあります。1つ目は上の回路です。別々の枝に電池があるので、どの2本の枝も抵抗器1つへまとめられません。2つ目はブリッジ回路です。電源12 VをAとBの間につなぎます。左の枝はAから1 Ωの抵抗器を通ってC、次に4 Ωの抵抗器を通ってBへ進みます。右の枝はAから4 Ωを通ってD、次に1 Ωを通ってBへ進みます。CとDを2 Ωのブリッジ抵抗器でつなぎます。

ここでは同じ2つの端点を共有する抵抗器の組も、分岐のない単一経路の組もなく、合成を始められません。OpenStaxは、このような回路が多いと述べています。代わりに、Bを0 Vとし、CとDに節点の法則を使います。

$$\frac{12-V_C}{1}=\frac{V_C}{4}+\frac{V_C-V_D}{2},\qquad \frac{12-V_D}{4}=\frac{V_D}{1}+\frac{V_D-V_C}{2}$$

解は $V_C=8\ \mathrm{V}$、$V_D=4\ \mathrm{V}$ です。したがってブリッジにはCからDへ2 Aが流れ、電源は6 Aを供給し、全体の合成抵抗は2 Ωです。Cで確かめると、1 Ωの抵抗器から4 Aが入り、4 Ωの抵抗器へ2 A、ブリッジへ2 Aが出ます。

ブリッジを無視して、2本の枝を5 Ωずつの並列として扱いたくなるかもしれません。その場合、2.5 Ω、4.8 Aとなり、実際の6 Aより20パーセント低い値です。この近道が有効なのは、ブリッジが平衡のときだけです。2本の枝が同じ比率で電圧を分け、CとDの電位が等しく、間に電流が流れない場合です。ここでは左の枝の上が1 Ω、右の枝の上が4 Ωで、比率が逆なのでブリッジに電流が流れます。

答え付きの練習回路を2つ

1. 両方の電池が電力を供給する。 上の2閉路と同じ配置で、左の枝は12 V電池と3 Ωの抵抗器、中央は2 Ωの抵抗器、右は9 V電池と3 Ωの抵抗器です。電池の正極は両方とも上です。3つの電流を求め、電力を確かめてください。答えは $I_1=2\ \mathrm{A}$、$I_2=3\ \mathrm{A}$、$I_3=1\ \mathrm{A}$ で、すべて最初の矢印と同じ向きです。$V_A-V_B=6\ \mathrm{V}$ となります。電力は $24+9=33\ \mathrm{W}$ が供給され、抵抗器で $12+18+3=33\ \mathrm{W}$ が消費されます。

2. 平衡なブリッジ。 同じブリッジの形で電源12 V、左は1 Ωと2 Ω、右は2 Ωと4 Ωを上から順につなぎます。ブリッジ抵抗器は任意の値です。ブリッジと電源の電流を求めてください。答えは $V_C=V_D=8\ \mathrm{V}$ なので、ブリッジ電流は0 Aです。2本の枝は3 Ωと6 Ωの並列で、合成抵抗は2 Ω、電源電流は6 Aです。この場合に限りブリッジを無視できます。

符号に迷わなくなるまで練習する

どの回路でも手順は同じです。最初に矢印を描き、節点の法則を使い、符号表に従って閉路の式を書き、解き、符号を解釈し、電力を確かめます。違いは負号を見てもためらわずに進められるかどうかです。キルヒホッフはA-Level Physicsの学習計画の電気の単元に含まれます。コンデンサーの回路にも同じ習慣が役立ちます。コンデンサーの直列と並列のガイドでも節点での電荷保存を使います。

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